本文旨在探討對稱（symmetry）與拓樸（topology）和物質相態（phases/states of matter）的關係。

固態物理學作為量子力學最成功的應用，使我們得以研究材料的能帶結構，而進一步去理解材料的電學與熱學性質。能帶結構的出現，源自材料內部原子週期性排列的晶格結構。當電子波被晶格散射，會使系統的能量分佈變得不連續。於是，禁止電子存在的能量空隙稱為能隙，允許存在的能量則構成能帶。我們可以想像，能帶結構如同一棟電子居住的建築物，只是其樓層結構有能量對動量的依賴關係。

本文介紹拓樸不變量與體－邊界對應（bulk-edge correspondence）原理在非量子系統中的呈現方式。包括卷繞數、札克相、陳數，與拓樸極化等不變量，以及對應的拓樸邊界態都給出直觀而詳細的解釋。文末以兩個力學系統實例展示上述概念的應用。

壹. 古典場模型與數值模擬

GP 方程式是平均場近似下的理論，它僅能描述凝聚體波函數在絕對零度下的同調演化。我們採用古典場方法來處理 BEC 在非零溫環境下的演化，包含了玻色氣體中同調與非同調的交互作用過程。古典場方法的原理簡述如下[3]。

本文介紹如何利用古典場方法模擬在磁位能阱中之超冷玻色氣體歷經BEC 相變及趨向平衡的演化過程。以Trento 團隊的實驗為模擬對象，我們揭示了雪茄型BEC成長的動態圖像，也分析了相變過程中拓樸缺陷（此處為渦旋）的演化模式並與Kibble-Zurek 機制比較。

物理學家利用雷射光冷卻原子的研究至今已近40 年，1995 年所達成的原子玻色－愛因斯坦凝聚使得冷原子研究邁入一個新的里程碑。藉諸本文，作者將介紹所經歷的冷原子物理發展過程、相關的基本原理、以及若干研究的展望。

自從1985 年物理學家發展出雷射冷卻與捕捉原子的物理與技術（1997 年諾貝爾物理獎），以及其後的蒸發冷卻（evaporative cooling）技術， 原子的絕對溫度可被降到10−5 － 10−10 K（Kelvin）的範圍， 可達到足夠低溫的非古典範疇。此時古典的Maxwell －Boltzmann statistics 統計分布已不再適用，我們必須使用量子統計分布才能正確描述此類物理系統。量子統計分布包括玻色－愛因斯坦統計（Bose-Einstein statistics）與費米－狄拉克統計（Fermi-Dirac statistics）。量子統計分布的種類取決於粒子的自旋角動量（spin angular momentum）：以 \( \hbar\)（\(h / 2\pi \)，h 為普朗克常數）為單位，自旋為整數的玻色子（boson）遵循玻色－愛因斯坦統計；自旋為半整數（half integer）的費米子遵循費米－狄拉克統計。當溫度冷至絕對零度時，玻色粒子（bosons）都佔據最低能量的能階，形成玻色愛因斯坦凝聚態（Bose-Einstein condensate，BEC），亦可稱為玻色凝聚態；而費米子（fermions）佔據的能階由最低能量態到費米能 \(E F\)（Fermi energy）（見圖一）。玻色凝聚的原子數一般為105 － 106 ，原子空間密度約為1014 cm−3，因此也稱之為量子氣體。玻色凝聚氣體於1995 年在實驗中實現，亦為2001 年諾貝爾物理獎。

2022年7月12日，美國太空總署發布了韋伯太空望遠鏡的首批觀測影像，向世界宣告，韋伯望遠鏡正式開始它的科學任務了！

“ trois, deux, unité, top ” ​，美國時間2021年的聖誕節清晨，在任務指揮官 Jean-Luc Voyer 的倒數中，亞利安五號火箭順利點火升空，乘載著詹姆士・韋伯太空望遠鏡 (James Webb Space Telescope，簡稱JWST)，開啟人類宇宙探索的新篇章。

材料的發展應用流程，首先從實驗室發現新的材料開始，進入到研發、產品優化、認證、及量產製造，到最後透過行銷部屬於商業市場上，實際落地應用所需的時間相當長遠，統計結果顯示光從材料發現到研發過程至少5~10年，而實際到達商業部屬則至少15~20年不等，比一般藥物研發的平均12年還要久，而這也只是那些成功能被應用的少數材料的發展平均時程，實際在過程中更有無數被發展的材料是經過不斷的研究嘗試卻無法被落地應用的候選材料。隨著近年來科技的迅速發展，太空科技、6G通訊、電動車、能源系統、埃尺度世代半導體元件…等元件對於新材料的需求都將迫在眉睫。

當我收到東加火山劇烈噴發的簡訊後，身為海嘯學者的我，在當下其實並不擔心海嘯會傳到台灣，畢竟東加在南半球，比我曾經到訪的所羅門群島還要更南邊。東加那邊產生的火山型海嘯對台灣很難有影響，我當下甚至認為對日本和美國也不會有影響。

對高能物理來說，機器學習其實是個很古早的點子。自1980年代開始，從事高能物理研究，尤其是進行粒子物理實驗的科學家而言，在研究工作裡使用機器學習的演算法是再自然不過的事。只是以前這樣的演算法多半被稱作「多變數分析」(multivariant analysis, MVA)。最受歡迎的演算法包括「促進式決策樹」(Boosted Decision Tree, BDT)，或是「類神經網路」(Artificial Neural Network, ANN)等等。