緣起2023 年初在主辦物理年會關於強關聯量子系統的動力學主題論壇後，想利用寒假時間把學習到的主題再深入思考。就在看似悠閒實則忙碌的寒假中收到物理雙月刊的邀稿，希望我寫一篇關於局域化物理的科普文章可以刊登在六月的物理雙月刊中。我的第一個反應是：太棒了！有一個機會可以介紹凝聚態物理許許多多有趣面相中的其中之一。但是要完成一篇可以激起新一代科學家研究興趣、不失科學精確性、抽出物理概念精妙之處的科普文章，著實是一大挑戰。點開行事曆一看，在色彩斑斕的許多承諾中，考量到我常常講著講著就放飛自我，思緒不規則跳躍，我覺得我還是保守一點，乖乖寫一封信跟雙月刊爭取多一點寫作時間。在接下這個寫作任務的時候，我也在問自己一個問題：這篇科普文章的目的是什麼？怎麼樣幫助整個社群？怎樣幫助對物理感到好奇的不同世代？在這5500 字的篇幅裡，我希望可以勾勒出局域化現象在整個物理研究的脈絡中扮演什麼樣的角色。並且用定性描述對比不同物理機制的關鍵特色（所以讀者可能幾乎不會看到方程式）。留下物理圖像以及相關的文獻讓有興趣的讀者可以跳脫科普語言，更嚴謹的去認識這個現象。為達到這個目標，在討論局域化現象前我們先對包含局域化現象的凝聚態物理的研究骨架做個簡介吧！

細胞是生命最小的單位，了解細胞的運作一方面是滿足人類對於生命如何運作的好奇，另一方面提供疾病治療的線索，因為許多疾病的來源是來自於細胞失去正常的運作。傳統上，生物學家在研究細胞，著重在基因、化學物質對於細胞的影響，忽略各種物理因素對於細胞的影響。到了二十一世紀，科學家已經確定物理因素會影響細胞維持生理功能。例如細胞需要施力才能維持正確的細胞形狀或者移動，身體裡的細胞承受著各種外力，例如血流、肌肉收縮、重力，維持健康的生理反應，觸覺、聽覺都是力學刺激，細胞對於這些力學刺激有適當的訊號傳遞，維持正常的功能，失去適當的力學刺激或者失去對於力學刺激的訊號傳導都會造成疾病[1]。例如太空人在沒有承受重力下，一個月可流失1% 的骨頭，得到骨質疏鬆症，骨質疏鬆症在老化的社會中是是現今流行病學的一大問題，目前並沒有藥能治癒這個病。血管硬化是跟不穩定的血流形態造成不正常的剪應力，影響了內皮細胞的表現。如果細胞對於力訊號傳導過程出錯，會造成疾病，例如有一些癌症，有些耳聾就是耳朵內的毛細胞，無法將聲音的力學訊號傳遞出去，還有一些跟力傳導相關的蛋白質突變也都會造成疾病。生命發生時，受精卵所需的資訊都儲存在基因內，但是在整個胚胎發育的過程中，細胞的成長、移動、與鄰居細胞的相互推擠都會反饋到細胞內，有些反饋能導致細胞分化成不同功能的細胞，最後變成一個個體，現在科學家相信細胞所處的力學環境影響整個發育的過程。

一、引言纖維狀胜肽和蛋白質聚集體的形成及其在細胞內和細胞周圍的沉積現象，是許多神經退行性和代謝性疾病的表徵，其範圍從阿茲海默症和帕金森氏症到第二型糖尿病及透析相關之類澱粉沉積症或澱粉樣變（amyloidosis， 是澱粉樣蛋白（amyloid）， 一種異常蛋白質，沈積在組織所引起的疾病）[1]。那些所謂的澱粉樣蛋白原纖維在結構上由垂直於原纖維長軸（交叉 β 結構）延伸的 β 鏈定義（圖一c）。在聚集過程中，這些胜肽進行結構重組，形成稱為低聚物（oligomers）的亞穩態中間物種，低聚物進一步自組裝成原纖維，最終形成成熟原纖維，如圖一a 所示。越來越多的證據表明，表現出更高細胞毒性的不是成熟原纖維，而是寡聚中間體（oligomeric intermediates）[2-4]。此外，許多研究發現金屬離子，如銅二價離子（Cu2+）、鋅二價離子（Zn2+）或鐵三價離子（Fe3+），可以改變澱粉樣蛋白的聚集路徑[5-8]。例如，有研究指出，鋅二價離子可與澱粉樣蛋白−β（Aβ）胜肽結合並誘導離徑（off-pathway）寡聚體的形成，這些寡聚體最終不會形成原纖維，而是形成較大的無定形（amorphous）聚集體[9,10]。由於其和醫療保健的密切關係，了解澱粉樣蛋白病變和澱粉樣蛋白的形成，及有毒澱粉樣蛋白低聚物的特性和結構便引起了研究上極大的興趣。不過，人們對低聚物結構的研究不如成熟的纖維狀形態那麼詳細，也正是由於它們在構形和大小上的異質性、短暫性及低豐度，這些中間物種很難用傳統的結構測定方法來表徵。下一節將簡要介紹用於蛋白質結構測定的常用光譜學方法，以及它們之間的相對比較。

引言
1935 年愛因斯坦等人提出EPR 悖論質疑量子力學的完備性，也讓人們開始注意到糾纏態。三十年後美國物理學家貝爾指出EPR悖論和量子力學對相同實驗的預測不同，並由美國物理學家克勞澤（John Clauser）、法國物理學家阿斯佩（Alain Aspect），和奧地利物理學家塞林格（Anton Zeilinger）在實驗上相繼驗證成功。這三位物理學家在實驗上的貢獻不僅對糾纏態的應用有所突破，也使量子資訊技術得以推進，因此共同獲得2022 年的諾貝爾物理獎。量子糾纏的應用包含擁有優異安全性的量子通訊與速度可以遠高於傳統電腦的量子運算，這些優勢讓量子資訊成為先進國家非常重視的領域。本文先介紹何謂量子糾纏，並介紹歷史的脈絡，從中可以看到三位獲獎人的工作在物理史上的重要性。

以生物感測研究用於病毒篩檢及抗病毒感染藥物篩選為例一、楔子2020 年一月中旬，筆者在東京的秋葉原免稅店內帶著孩子閒晃時，突然一個店員以中文向我推銷隨身型的空氣濾清器，並神祕地說道，近幾天大陸內地的觀光客買了好些個隨身型的空氣濾清器，因為他們那發生了一種比流感還嚴重的不明原因肺炎，（後來被世衛組織命名為新冠肺炎，COVID-19[1]）。本人一向對購物不感興趣，又不敏於時勢，一時想到大陸那麼大，發生流感應該還好，也沒放在心上。沒想到隨著交通便利，國界圍籬逐漸淡化的年代，各種疾病蔓延擴散，已不再是地區性的個案。稍不注意，高傳染性，高致死率可能隨著交通的便利，在國際間快速地爆發開來。新冠肺炎（COVID-19）依聯合國世界衛生組織2023 年二月21 日統計指出，自2019 年十二月起到2023 年的現在，累計造成全球近七億六千萬人受感染，逾六百八十五萬人死亡[2]。台灣迄今也有逾千萬人（有紀錄的）受到新型冠狀病毒（SARSCoV-2）感染。在疫情爆發尖峰期間許多國家的醫療能量幾乎崩潰，社會經濟損失更是巨大，堪稱世紀災難。在這世紀災難之中，我們科學家能在這場災難中做些什麼？隨著疫情爆發不同的時程中，學界業界對造成疫情的新型病毒實際的應對方案不外有包含病毒的偵測，疫苗的製造，預防病毒感染藥物篩選與治療藥物篩選等四方面。在過去三年內，我們可以看到病毒的偵測方面，造就了核酸分析產業如流星雨一般橫空出世，俗話說“ 三折肱為良醫”，現在世界各地街頭巷尾大多數人都知道什麼是核酸定量分析[3]，同時各種快篩也成了大家熟悉的產品。疫苗的製造的事情更是將多年研究的基礎馬上搬上檯面，有句老話說“ 事急馬行田，老鼠晾一邊”。原來按部就班的疫苗發展順序，一下子等不及了，世界各國的政要一個個捐出手臂，挨上幾針以安民心。治療藥物的篩選更是迅速，原來用來抗SARS、抗病毒甚至是抗癌症的既有藥物，全都用上了。這些作為，都在在考驗國家在平時的基礎研究能量儲備，期望能在極短時間內，應對多變的疫情局勢，對人類做出最佳的應對，促進人類的健康與安全，達到『承平儲備，戰時發揮』的功效。筆者的研究團隊專長在於基因重組蛋白質生合成、蛋白質摺疊、新功能生物分子開發、生物分子自組裝、與生物感測等研究。對於新冠病毒的肆虐，筆者的研究團隊則可著墨於新冠病毒檢測與抗病毒感染藥物的篩選之生物感測器開發，以期能對新冠病毒疫情抑制有所貢獻。本文將就生物感測研究中，各種相關的研究與應用，藉此文與大家進行交流與分享。

今年的諾貝爾物理獎頒發給了來自法國的阿蘭· 阿斯佩（Alain Aspect）、美國的約翰·克勞澤（John Clauser）、和奧地利的安東· 塞林格（Anton Zeilinger）以表揚三人於基礎物理學的卓越貢獻。根據瑞典皇家科學院的公告，這三位物理學家是因為他們“ 以糾纏光子的實驗確定了貝爾不等式的違反並開創了量子資訊科學” 而獲頒這項殊榮。本文將向大家介紹今年獲獎工作的相關背景並點出這三位物理學家如何基於對科學的堅持，努力不懈地完成了這次獲獎的貢獻。

貝爾不等式
John von Neumann 在他1932 年的《量子力學的數學基礎》（Mathematical Foundations of Quantum Mechanics）一書中已經以數學證明了量子力學在測量時所呈現的隨機性是理論的內在必然，不可能出自某種尚未被發現的隱藏變數來描述測量之前粒子的位置、動量等等物理量。然而Bell 在1952 年，工作之餘讀到了David Bohm 剛發表的論文。其中描述了一個「非局域隱藏變數」（nonlocal hidden variables）理論，讓粒子隨時都具有確定的位置和動量。這個理論不僅沒有與正統量子力學衝突，反而可以完全等價。年輕的Bell 思想上與Einstein 類似，Bell 嘗試尋求局域性隱藏變數的可能性。他也對Bohm 動力學中的非局域性感到不可思議。Bell 稍後驚訝發現 von Neumann 的證明中存在邏輯漏洞。其實早在von Neumann 的書出版之後兩年，德國的年輕女數學家 Grete Hermann 就已經指出von Neumann 使用了一個不合理的假設，因此整個證明過程出現漏洞。但她的論文發表在一份小刊物上，沒有引起注意。Bell 發現如果摒棄von Neumann 那個不必要的假設，原先的結論也並非完全毫無用處。量子力學雖然沒有一概地排斥隱藏變數，卻的確不允許Einstein 所堅持的局域性隱藏變數。所以，如果隱藏變數能夠在量子力學中存在，它必須是非局域性的，這是為什麼Bohm 能夠提出一個維持物裡實在性但與量子力學等價的「非局域隱藏變數」理論，而Einstein 卻只得無功而返。之後，Bell 開始認真考慮如果量子力學中不允許局域性的隱藏變數，那它是否真的就會有被允許的非局域性隱藏變數，那它是否真的就會允許那個曾令 Einstein 憂心忡忡的鬼魅般超距作用的存在？如何才能通過實際測量驗證呢？

瑞典皇家科學院於2022 年10 月4 日公布2022 年度諾貝爾物理學獎得主，由美國John Clauser、法國Alain Aspect 及奧地Anton Zeilinger 等三位物理學家獲殊榮，表彰他們各自進行糾纏光子（entangled photons）實驗，確認違反貝爾不等式（Bell’s inequalities）、開拓量子資訊科學的重要傑出貢獻。這是距 2012 年頒獎給Serge Haroche 與David J. Wineland 表彰他們發展出突破性的實驗方式，來測量及操控個別單一的量子系統之後，睽違十年，諾貝爾物理獎終於再度頒發給量子物理領域的研究學者。

本文旨在探討對稱（symmetry）與拓樸（topology）和物質相態（phases/states of matter）的關係。

固態物理學作為量子力學最成功的應用，使我們得以研究材料的能帶結構，而進一步去理解材料的電學與熱學性質。能帶結構的出現，源自材料內部原子週期性排列的晶格結構。當電子波被晶格散射，會使系統的能量分佈變得不連續。於是，禁止電子存在的能量空隙稱為能隙，允許存在的能量則構成能帶。我們可以想像，能帶結構如同一棟電子居住的建築物，只是其樓層結構有能量對動量的依賴關係。

本文介紹拓樸不變量與體－邊界對應（bulk-edge correspondence）原理在非量子系統中的呈現方式。包括卷繞數、札克相、陳數，與拓樸極化等不變量，以及對應的拓樸邊界態都給出直觀而詳細的解釋。文末以兩個力學系統實例展示上述概念的應用。

壹. 古典場模型與數值模擬

GP 方程式是平均場近似下的理論，它僅能描述凝聚體波函數在絕對零度下的同調演化。我們採用古典場方法來處理 BEC 在非零溫環境下的演化，包含了玻色氣體中同調與非同調的交互作用過程。古典場方法的原理簡述如下[3]。