凝態系統中的對稱與拓樸 - 物理專文 - 新聞訊息

凝態系統中的對稱與拓樸

物理專文

撰文者：謝長澤

發文日期：2023-01-06

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本文旨在探討對稱（symmetry）與拓樸（topology）和物質相態（phases/states of matter）的關係。

相信大家對於對稱（性）這個概念並不陌生，簡單來說，就是如果一個物件在某個變換或操作之下保持不變，我們說該物件對這一變換是對稱的。這裡指的物件可以是個集合、幾何形體、方程式，或是一個具體的物理系統。一個直觀的例子就是幾何形體的對稱性，如圖一所示。在物理學中，對稱是一個非常核心的概念。基本的物理定律通常會遵循一些對稱性，如空間或時間的平移對稱性，空間的旋轉對稱性，時空的勞侖茲對稱性（如馬克士威方程組），或較抽象的 $ \rm U(1) $ 相位對稱性（如薛丁格方程式）。這些（連續可微的）對稱性，根據諾特定理（Noether's theorem），都有著相應的守恆定律，如空（時）間的平移對稱性對應動（能）量守恆，空間的旋轉對稱性對應角動量守恆，$ \rm U(1)$ 相位對稱性則對應電荷守恆。物理學本質上就是在研究可觀測量與一些基本守恆量的關係。

與對稱相似，拓樸的概念也是基於對物件在特定變換下如何變化的探究。不同於對稱的是，在拓樸的定義上，這個特定變換必須是連續的，而且在變換下維持不變的是物件的某個性質，而不是該物件本身。一個關於物體拓樸性質的常見範例是甜甜圈和咖啡杯的拓樸等價性，如圖二所示。在這個例子中，連續變換就是幾何形變，比方說我們去壓擠或拉扯該物體，但不戳出洞來。在這樣的操作下，甜甜圈可以被捏成咖啡杯（假如你技術夠好的話），但卻無法被壓成一顆球，因此在拓樸上甜甜圈等同於有一個把手的咖啡杯，但不等同於球面或無把手的碗，而他們的區別在於其上「洞」的個數—球或碗沒有洞而甜甜圈或咖啡杯有一個洞。數學上，這就是二維閉合曲面的Gauss － Bonnet定理：
$$ \int_{M} K dA=2 \pi (1-g) \hspace{3cm}(1)$$

即任意閉合曲面M 的總曲率，也就是其高斯曲率 $K$ 在 $M$ 上的曲面積分，等於 $2 \pi (1-g)$，$g$ 是該曲面的虧格（genus），即洞的個數，是個拓樸不變量。這個定理的重要之處在於將一個物體局部的幾何性質與其整體的拓樸性質聯繫了起來。事實上，這樣一個幾何與拓樸的關聯也出現在電磁學中，那就是電荷的高斯定律（Gauss's law）：任意高斯曲面（三維空間中的閉合曲面）上的淨電通量等於該曲面內的淨電荷除以電容率，如圖三所示。這裡我們可以把（被包圍的）電荷看成是「帶有電場的高斯曲面」的洞，因此電荷是電磁系統的拓樸不變量。有趣的是，如果磁單極（magnetic monopole）存在的話，它也會遵循高斯定律，即任意高斯曲面上的淨磁通量等於該曲面內的淨磁荷（magnetic charge）乘以磁導率。把這兩個高斯定律以數學式表示，就是$$\int_{M} \text{E} \cdot d\textbf{S}=q_e / \epsilon_0 \hspace{2cm} \int_{M} \text{B} \cdot d\textbf{S}=\mu_0 q_m \hspace{3cm}(2)$$

其中 $ q_e$ 和 $q_m$ 分別為電荷與磁荷。可以看到，（2）與（1）在形式上是相似的，都是將拓樸不變量表示為閉合曲面上某種「曲率」的曲面積分。

除了上述與二維曲面（包含其上的「場」）有關的拓樸，還有一個常見且更簡單的拓樸概念，就是平面上的閉曲線關於特定點的卷繞數（winding number），如圖四（a）所示。卷繞數只與曲線繞過該點的總次數以及曲線的定向有關，而與曲線的形狀無關，所以也是一種拓樸不變量。在複數平面上，閉曲線 $C$ 關於原點 $z = 0$ 的卷繞數 $n$ 可表示為$$ n= \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dz}{z} \hspace{1cm} (z=x=iy) \hspace{1cm}(3)$$

卷繞數在不少數學或物理的理論研究上扮演重要的角色，例如複分析中的留數定理或是二維XY 模型的Berezinskii － Kosterlitz －Thouless 相變（BKT 相變）。此外，在比二維更高維度的空間中，閉曲線關於特定點的卷繞數是無法定義的，或者說在此情況下的卷繞數總是為 $0$，見圖四（b）。

自發對稱性破壞與Landau-Ginzburg 相變理論

在介紹完一些基本對稱與拓樸的概念後，現在讓我們來談談它們與物質相（態）的關係。我們知道，自然界的物質存在數種相態，像是物質的三相（固相、液相和氣相）與磁性物質不同的磁序狀態（鐵磁性、反鐵磁性、順磁性等），或是極低溫下的玻色－愛因斯坦凝聚態、超流態與超導態。常見的物質相可透過自發對稱性破壞（spontaneous symmetry breaking）的概念來理解，這裡的自發對稱性破壞是指物理系統的運動方程或Hamiltonian 具有某種對稱性，但系統本身，例如其能量最低態，卻不具有該對稱性。舉例來說，晶體的形成自發地破壞了空間的平移對稱性，鐵磁態自發地破壞了空間的旋轉對稱性，而超流態則自發地破壞了 $\text{U}(1)$ 相位對稱性。物理系統對稱性從有到自發破壞的變化是一種相變（phase transition）過程，通常是隨著熱力學參數（如溫度）或系統某些微觀物理參數（如微觀自由度的交互作用）的改變而發生，而相變前後不同的相可由系統特定的序參量（order parameter）來表徵—這就是所謂的Landau － Ginzburg 相變理論。

一個典型的範例為古典Ising 模型 $H=-J \sum_{i,j} \sigma_i \sigma_j$，其中 $\sigma_i= \pm 1$ 為晶格點上的（古典）自旋，$ \langle i j \rangle $ 為最近鄰的兩晶格點，$ J > 0 $ 為自旋交互作用。該模型的Hamiltonian 具有所有自旋反轉 $\sigma_i \rightarrow - \sigma_i$ 的對稱性，但最低能量組態，即自旋同時全部向上或向下的組態，破壞了此對稱性。此外，系統的序參量為平均磁矩 $m= \left \langle\sum_i \sigma_i \right \rangle / N $，即自旋的熱力學平均值。（二維以上的）Ising 模型可說是描述鐵磁態－順磁態相變最簡化的數學模型之一：當溫度低於某個值 $T_c $ 時，該系統有非零的磁矩，因此自發地破壞了自旋反轉對稱性，形成有序的鐵磁態；另一方面，當溫度高於 $T_c$ 時，磁矩為零，系統保持對稱性，處於無序的順磁態；而當溫度在 $T_c$ 時系統發生了相變，因此我們說 $T_c$ 為臨界溫度。這樣的相變行為，除了可以從計算該模型磁矩 $m$ 對溫度的切確關係來得到，也可以從更普適的角度，也就是從系統的有效自由能來分析。根據Hamiltonian 具有的對稱性，我們可以寫下在 $T = Tc$ 附近以 $m$ 表示的有效平均自由能 $f(m)=a(T-_c)m^2+bm^4+ \cdots$，其中 $a,b > 0$ 且我們要求 $f(-m)=f(m)$。從$f(m)$的形式我們可以直觀地看出， $T < T_c$ 對應於低溫的有序態，$T > T_c$ 對應於高溫的無序態，而 $T = Tc$ 爲相變點，如圖五所示。

超越Landau-Ginzburg 理論：量子物質的拓樸相

Landau － Ginzburg 理論為物質相的研究奠定了一個非常重要的理論典範：從對稱性這樣一個基本的物理原則而非微觀尺度的細節資訊來理解相變行為。那麼，是不是所有的物質相與相變行為都能由對稱性的自發破壞來解釋呢？答案是否定的。而這些有別於Landau－Ginzburg 理論所描述的「傳統相變」的情況也包含了不少諾貝爾物理獎的工作，比如之前提到的二維XY 模型的BKT 相變，本質上是由系統中拓樸缺陷的結構改變所引發，而非對稱性的破壞所致 [1]。

另一個典型的非傳統相變的例子是量子霍爾系統（quantum Hall systems）。該系統為一低溫強磁場下的二維電子氣，具有量子化的霍爾電導或電阻。由於量子霍爾系統並沒有自發地破壞任何對稱性，從Landau － Ginzburg理論來看，該系統應該只存在一種相。然而，不同霍爾電導的狀態之間會經歷類似相變的過程，比方說電子的關聯長度（correlation length）會發散；如果不同霍爾電導的狀態確實對應於不同的相，我們要如何去區別它們呢？別忘了，除了對稱性外，我們還提到了拓樸的概念，而量子霍爾系統正好就是從拓樸上來區分不同霍爾電導的狀態。

以整數量子霍爾系統為例，若電子填充藍道能階（Landau levels）的個數為 $N$，則霍爾電導為 $ \omega_{xy} = Ne^2/h$，其值並不會受到能階的連續形變或無序與雜質的微擾而改變，而這正是量子霍爾系統的拓樸性質。另一方面，Thouless，Kohmoto，Nightingale 與den Nijs告訴我們，$ \omega_{xy}$ 與動量空間中的一拓樸不變量有關，即陳（省身）數（Chern number）$$C_1= \frac{1}{2\pi} \int_{BZ}d^2 k\mathcal{F}_{xy} \hspace{2cm}(4)$$

這裡我們考慮週期性邊界條件，BZ 表示布里淵區（Brillouin zone），在此為二維環面，$ \mathcal{F}_xy$ 為 $\mathbf{\mathcal{F}}$ 在 $z$ 方向上的分量，其中 $ \mathbf{\mathcal{F}}=\triangledown \times i \langle u(\mathbf{k}| \triangledown_k |u(\mathbf{k}))\rangle$是一能帶上Bloch 波函數 $|u(\mathbf{k}) \rangle $ 的Berry 曲率。如果把費米能階以下所有電子佔據的能帶（即被填充的藍道能階）的陳數加起來，其值就是上述的 $N$。因此，整數量子霍爾系統中的相由 $N$ 或 $ \sigma_{xy}$ 所表徵，不同 $N$ 值的相無法在不發生相變的情形下互相連結。我們稱這樣的相為拓樸相（topological phases）[3]。另外，一般的絕緣體可看成是 $N = 0$ 的量子霍爾系統，在這個意義上我們稱之為（拓樸上的）平庸相（trivial phase）。

如果我們把 $i \langle u(\mathbf{k}| \triangledown_k |u(\mathbf{k}) \rangle$ 類比成電磁學裡的向量勢 $A$，則Berry 曲率 $\mathbf{\mathcal{F}}$ 可類比成磁場 $B= \triangledown \times A$，如此一來，陳數的表示式（4）與磁場的高斯定律（2）在形式上幾乎是相同的，兩者的差別只在於積分定義的空間：前者在動量空間（布里淵區）而後者在位置空間（高斯曲面）。因此陳數可以想成是動量空間中磁單極的磁荷，是「帶有Berry 曲率的布里淵區」的洞。

動量空間中的磁單極？聽起來有點酷。讓我們用Haldane 模型進一步演示這個類比吧！

Haldane 模型是定義在二維蜂巢晶格（即石墨烯的晶格結構）上的電子模型，其 Hamiltonian 包含電子最近鄰與次近鄰的跳躍項，如圖七所示。雖然Haldane 模型的外在淨磁通量為零（但有局部的磁通量），卻能實現非零的量子化霍爾電導，因此該模型又稱之為陳絕緣體（Chern insulator）。系統的Bloch Hamiltonian 為一 2×2 矩陣 $H(\mathbf{k}=\mathbf{h}(\mathbf{k}\cdot \mathbf{\sigma})$ ，其中 $\mathbf{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y,\sigma_z) $為Pauli 矩陣向量，$\mathbf{h}(\mathbf{k})$ 為三維向量，其值與跳躍振幅及局部磁通量大小有關；因此Haldane 模型具有雙能帶結構，能量為 $\pm |\mathbf{h}(\mathbf{k}|$。該系統的陳數為單位向量 $\hat{h}(\mathbf{k}=\mathbf{h}(\mathbf{k}/ | \mathbf{h}(\mathbf{k} |$ 掃過單位球面的次數，即$$ C_1= \frac{1}{4 \pi}\int_{BZ} d^2 \textbf{k}(\partial_{k_x}\hat{h} \times \partial{k_y}\hat{h})\cdot \hat{h} \hspace{2cm}(5)$$

而 $ \mathcal{F}_{xy}\equiv (\partial_{k_x}\hat{h} \times \partial{k_y}\hat{h}) \cdot \hat{h}/2$ 就是 $- | \mathbf{h}(\mathbf{k}) |$ 能帶上 Bloch 波函數的Berry 曲率。當系統的能隙（gap）不為零時，$C_1$可以是 0，1 或 −1，其中 $C_1= \pm 1$ 為拓樸相，$C_1 = 0$ 為平庸相；不同陳數之間的相變發生在能隙關閉的時候，即 $| \mathbf{h}(\mathbf{k} |=0$。布里淵區裡能隙關閉的點稱為Dirac 點，可視作動量空間中的磁單極，其產生的「磁場」在布里淵區上的通量就是 $\mathcal{F}_{xy}$。

Haldane 模型的相圖如圖八所示：不同方塊中的灰色（類）球面為布里淵區映射到三維h-空間的閉合曲面，而同一空間中的原點，即圖中的紅色圓點，為映射後的Dirac點，帶有「磁荷」，其大小與模型的參數有關。系統的相可以從灰球面包覆紅點的情況來形象地呈現，而球面內的淨磁荷就是陳數。

整數量子霍爾系統或Haldane 模型中的相除了可以用陳數來表徵之外，也可以從系統的邊界態（edge states）或界面態（interface states）來識別—這是拓樸相的主要特徵之一，即體－邊界對應關係（bulk-boundary correspondence）。在這兩種系統中，陳數不為零的拓樸相會在系統的邊界上（如果有的話）存在單向傳輸的邊界態，也就是一維的手徵（chiral）邊界態，如下頁圖九所示。手徵邊界態有幾個特點：（1）為無能隙（gapless）的激發態，因此可導電；（2）非常穩定，不會因與雜質或無序散射而消失；（3）其個數只與界面兩邊系統的陳數差有關（一般絕緣體或真空的陳數為零）。

受對稱性保護的拓樸相

上述的二維拓樸系統擁有很穩定的拓樸性質，基本上不會因為受到一些微擾而被破壞。然而，有些系統的拓樸性質需要特定的對稱性來穩固，我們稱這一類的系統為受對稱性保護的拓樸相（symmetry-protected topological phases），簡稱SPT 相。一般常被提到的SPT 相包含一維的SSH 模型（Su-Schrieffer-Heeger model）、二維的量子自旋霍爾絕緣體（quantum spin Hall insulator）以及三維的拓樸絕緣體（topological insulator），這些都是電子系統。另外磁性或自旋系統中也存在SPT 相，比如著名的一維Haldane 相[1]，代表模型為自旋1 的Heisenberg 鏈與AKLT模型。

這裡我們以SSH 模型為例來討論何謂「受對稱性保護的拓樸性質」。該模型描述無交互作用之電子在一維鏈上的跳躍，有交錯的跳躍振幅v 和w，而每個單位晶格裡有兩個格位，如圖十（1）所示。系統的Bloch Hamiltonian 為一2×2 矩陣 $H(k)= \mathbf{d}(k) \cdot \mathbf{\sigma}$ ，其中 $ \mathbf{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$，$ \mathbf{d}(k)=(\nu+omega \cos k , \omega \sin k , 0)$，因此兩條能帶的能量為 $ \pm | \mathbf{d}(k)| $。在 $ \mathbf{d}(k) $ 的映射下，布里淵區（為一維圓）在$ \mathbf{d}-$空間的像為 $ (d_x,d_y) $ 平面上的閉曲線。之前提到，對平面上的閉曲線我們可以定義其對特定點的卷繞數，為一拓樸不變量。這表示SSH 模型的拓樸性質可以用 $ \mathbf{d}(k) $ 關於 $d=0$ 的卷繞數來表徵。令 $h(k)=d_x(k)+id_y(k)$，從（3）式我們知道此系統的卷繞數為$$n= \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{dh}{h}= \frac{1}{2 \pi i} \int_{- \pi}^{\pi} \frac{d}{dk} \ln h(k) \hspace{1cm}(6)$$

當系統的能隙不為零時，$n$ 可以是 $0$ 或 $1$，其中 $n = 1$ 為拓樸相 $ (w > v) $，$n = 0$ 為平庸相 $ (w < v) $，而相變發生在能隙關閉 $ (w = v) $時，見圖十（3）。從體－邊界對應關係來看，在有邊界的情況下，拓樸相會有零能（zero-energy）的邊界態，而平庸相則沒有，如圖十（2）所示。

由於SSH 模型具有手徵對稱性（chiral symmetry）$\sigma_z H(k) \sigma_z =-H(k)$，$ \textbf{d}(k) $ 在 $z$ 方向上的分量 $d_z$ 必須為零，所以我們可以定義卷繞數。然而，如果我們加了破壞手徵對稱性的擾動到 SSH 模型的 Bloch Hamiltonian，例如次晶格位能項 $u \sigma_z$，$d_z$ 就不再是零，卷繞數也就無法被定義（概念同圖四（b））。在這樣的擾動下，先前「$n = 1$ 的相」就可以在不發生相變（即能縫不關閉）的情況下跑到「$n = 0$ 的相」；同樣地，「$n = 1$ 的相」的零能邊界態也不再穩定，例如 $u \sigma_z$ 位能會在邊界上產生能隙，使零能態消失，變得與「$n = 0$ 的相」相同。在這個情況下，系統的拓樸性質被破壞了，這就是為什麼我們說 SSH 模型是受手徵對稱性保護的拓樸相。

前面討論的一維與二維系統的拓樸性質可以用更一般化的方式來總結：任何二維的能帶絕緣體（band insulator）皆能以一整數 $ N \in \text{Z}$（如整數量子霍爾系統或Haldane 模型的陳數）來表徵其拓樸相，其中 $N = 0$ 為平庸相；而任何有手徵對稱性的一維能帶絕緣體皆能以一整數 $n \in \text{Z}$（如SSH模型的卷繞數）來表徵其SPT 相，其中 $n = 0$ 為平庸相。這是在拓樸能帶理論（topological band theory）的框架下對拓樸相進行的分類 [7]。

具交互作用的拓樸相

能帶理論所描述的系統並無考慮電子之間的交互作用（interactions）。然而，在真實的凝態系統或材料中電子之間往往有不可忽略的有效交互作用，因此很自然地我們會問，若考慮交互作用的效應，以上關於拓樸相的分類是否還是會一樣呢？或更具體地說，能帶絕緣體的拓樸性質會因電子之間的交互作用而改變嗎？

當交互作用足夠強時，系統基態（ground state）的性質可能會與無交互作用時的情況截然不同，比方說出現簡併現象（degeneracy）以及擁有不同於電子的奇特激發態。分數量子霍爾效應就是一個例子，該系統具有簡併的基態以及帶有分數電荷的激發態—任意子（anyon），其名稱來自於該（準）粒子既不是玻色子也不是費米子、而可以是任意相位或甚至是非阿貝爾（non-Abelian）的統計性質。這類的系統具有特定的拓樸性質，其概念與先前討論過的能帶的拓樸性質並不相同，我們稱之為拓樸序（topological order）。為簡化討論，以下我們將侷限在基態非簡併、不具拓樸序的系統，而很多時候（至少在定性上）我們可以用一個受到微擾（perturbation）的無交互作用系統來描述這樣的系統。

首先我們討論二維能帶絕緣體在有交互作用的情況。如前所述，對於基態非簡併、不具拓樸序的系統，我們可以從無交互作用的情況出發，然後將電子間的交互作用視作微擾來討論。由於能帶理論無法用在多體系統（many-body system）上，我們必須尋求其他理論方法來研究多體系統的拓樸性質。這裡我們採用的是有效場論方法（effective field theory approach）：考慮系統在低能量極限下，也就是基態附近的物理行為，並找出對應的場論描述。在這個極限下，無交互作用的能帶絕緣體可以用具質量的自由Dirac 費米子模型來近似，而系統微擾的多體效應（many-body effect）則可用Dirac 費米子之間的交互作用項來模擬。若系統的（多體）能隙沒有因交互作用的影響而關閉，此系統在有外在電磁場時的低能量有效作用量（effective action）為（阿貝爾的）陳－西蒙斯理論（Chern-Simons theory）：$$ S_{CS} = \frac{k}{4 \pi} \int d^3 x \epsilon^{\mu \nu \rho} A_{\mu} \partial_{nu} A_{\rho} \hspace{1cm} (7)$$
其中 $A_{\mu}$ 為 $2 + 1$ 維時空的電磁勢，$\epsilon^{\mu \nu \rho}$ 為三維的 Levi-Civita 符號，而 $k$ 為一整數。陳－西蒙斯理論是一種拓樸（量子）場論（topological（quantum）field theory），其係數k 是時空流形（spacetime manifold）上的拓樸不變量。SCS 的物理意義為系統對外在電磁場的響應（response），其給出的運動方程告訴我們系統的霍爾電導正比於 $k$。在無交互作用時，$k$ 就是能帶絕緣體的陳數；當交互作用存在時，只要系統的能隙沒有關閉，$k$ 便不會改變，因此其值與系統的交互作用大小無關[8,9]。也就是說，二維（基態非簡併）的拓樸相不會受到電子間交互作用的影響，一樣還是整數分類。

同樣地，我們也可以從系統的低能量有效作用量來分析具交互作用的的 SPT 相。在這類系統中，除了與電荷守恆相應的 $ \text{U}(1) $ 相位對稱性外，還有額外的一些整體對稱性（global symmetries）。要得到系統關於這些對稱性的有效作用量，一個系統化的方式是將系統耦合至與這些對稱性對應的背景場（background field）後再計算其有效作用量。以 $ \text{U}(1) $ 相位對稱性為例，其對應的背景場為 $ \text{U}(1) $ 背景規範場，也就是我們熟知的電磁場。另外一個有趣但較難想像的例子是時間反演對稱性（time-reversal symmetry），其對應的背景場為「沒有特定時間方向的時空」，在Euclidean signature 下這樣的時空即為不可定向流形（non-orientable manifold）[10,11]。圖十一為這兩個例子的在 $1+1$ 維時的情況。

現在我們討論交互作用對一維手徵對稱 SPT 相的影響。這裡的手徵對稱其實是時間反演對稱T 與電荷共軛對稱（charge conjugation symmetry）C 的乘積，即 CT 對稱。如上所述，在計算這種 SPT 相的有效作用量時，我們要同時考慮 $ \text{U}(1) $ 與 CT 這兩個對稱性所對應的背景場，也就是系統在有背景電磁場的二維不可定向（Euclidean）時空流形上的有效作用量 $ S_{ \text{eff}} [A_{\mu}]$。事實上，該作用量的虛部 $ \text{Im}(S_{\text{eff}} [A_{\mu}]) \equiv S_{\text{top}} [A_{\mu}] $ 跟陳－西蒙斯理論一樣也是一種拓樸場論，不過跟 $S_{CS}$ 不同的是，$ S_{\text{top}} [A_{\mu}] $ 在閉合流形上的值為一拓樸不變量（ $S_{CS}$ 是其係數 $k$ 為拓樸不變量，但本身不是），或更精確地說，配邊不變量（cobordism invariant）[11]。配邊是閉合流形間的一種拓樸等價關係。根據特定的配邊理論，$ S_{\text{top}} [A_{\mu}] $ 在任意二維閉合流形（包含定向與不可定向流形）上的值為[12] $$ S_{\text{top}} = \nu \cdot \frac{ \pi}{2} \hspace{2cm}(8)$$

其中 $\nu$ 為一整數。由於在量子系統中作用量以相位形式 $ \text{exp} (i S_{\text{top}})$ 出現，從（8）式我們知道這個相位只會是 $ \pm 1$ , $ \pm i$，因此實際上的的拓樸數為「$ \nu $ 除以 $4$ 的餘數」，形成 $-\mathbb{Z}_4$ 群。以 SSH 模型為例，該系統在實射影平面（real projective plane）$ \mathbb{R} P^2$（見圖十二）上的有效作用量 $S_{\text{top}} = \pm \pi / 2$。

這個 $\mathbb{Z}_4$ 的拓樸數到底有什麼物理意義呢？畢竟我們在討論的是凝態系統的拓樸性質，而這似乎跟「不可定向時空流形」八竿子打不著。其實，對於具交互作用的電子系統，我們可以透過對系統的密度矩陣（density matrix）做部分轉置（partial transpose）來定義多體的拓樸不變量，而這樣的操作等同於在計算 $ \mathbb{R}P^2$ 上的有效作用量 [12]。此外，你應該會發現這裡的拓樸數 $ \nu \in \mathbb{Z}_4$ 和系統在無交互作用時由Bloch Hamiltonian 給出的拓樸數 $n \in \mathbb{Z}$ 不同，而這個差異正是交互作用的效應所導致的。具體而言，拓樸數為 $n = 4m$（即 $n = 4,8,12, \cdots$）的SPT 相在無交互作用時雖然為非平庸相，但實際上存在著保持手徵對稱（或$CT$ 對稱）的交互作用，讓該系統可以在不關閉（多體）能隙，也就是在不發生相變的情況下從 $n = 4m$ 的相跑到 $n = 0$ 的相，因此該SPT 相在有交互作用的情況下其實是平庸的 [13]，概念上如圖十三所示。在這個意義上，我們可以說 $n = 4m$ 的SPT 相「被對稱性保護的拓樸性質」被交互作用破壞了，而這個從 $ \mathbb{Z}$「縮減」到 $ \mathbb{Z}_4$ 的拓樸數，很神奇地，竟然可以從不可定向時空流形上的有效作用量得到！

因交互作用效應導致的拓樸分類縮減不僅發生在一維的手徵對稱SPT 相，也可以在其他對稱性或是更高維度的SPT 相看到[14]，如受時間反演或鏡射對稱（reflection symmetry）保護的三維拓樸超導體（ topological superconductor）[15]。與此相較，不需要對稱性保護的二維拓樸相（如整數量子霍爾系統）便很穩定，其拓樸性質並不會被交互作用破壞。

結語

在這篇文章中，我們從對稱與拓樸的角度來討論物質相（態）的分類。對於「傳統」的物質相，例如水的三相、磁性系統的相或低溫的超流相，Landau － Ginzburg 理論告訴我們如何從自發對稱性破壞來區別不同的相與理解相變行為。另一方面，我們也探討了「非傳統」的物質相—量子物質的拓樸相，從能帶理論還有拓樸場論的觀點來解析其拓樸本質，並以量子霍爾系統、Haldane 模型以及受對稱性保護的SSH 模型為例來作說明。希望此文的介紹能讓讀者們對於對稱與拓樸在凝態系統中扮演的角色能有更多的了解。