從參考圓,相空間,到升降算符:聊聊簡諧運動

從參考圓,相空間,到升降算符:聊聊簡諧運動

封面圖片來源:https://commons.wikimedia.org/wiki/Fil ... onic motion animation.gif簡諧運動 (Simple harmonic motion,簡稱 SHM) 或者稱簡諧振子 (simple harmonic oscillator,簡稱 SHO) ,大概是應用最廣的物理概念了。在力學振動系統、電磁波與聲波系統、LC(電感與電容)電路、分子振動、固體比熱、量子光學 (quantum optics),甚至是量子場論 (quantum field theory) 與凝態物理 (condensed matter physics),都可以看到諧振子物理的應用。在高中階段,許多學生還沒有學過微分方程式,所以通常會用其它方法解簡諧振動的問題,通常用的是參考圓 (reference circle)。在量子力學裡解諧振子問題時,則至少有兩種方法。第一種是直接解諧振子問題的薛丁格方程式 (Schrodinger equation),用的是解微分方程式邊界值問題 (boundary value problem) 的方法。第二種是將位置算符 (position operator) 與動量算符 (momentum operator) 先組合成上升算符 (raising operator) 與下降算符 (lowering operator),然後藉著此兩算符的對易關係 (commutation relation) 以及「能量必須有最低值」,亦即能量有下邊界 (lower bound) 的條件,用代數方法得出量子化能階 (quantized energy levels),以及如何藉著上升算符的重複作用,由基態 (ground state) 生成各激發態 (excited states)。一般量子力學教科書在使用上述升降算符解諧振子問題時,並不會特別解釋這兩個算符是怎麼想到的,而是直接寫出它們並推導所需的代數。事實上,量子諧振子的升降算符與古典諧振子的參考圓有非常密切的關聯。此篇文章就來跟讀者分享我對此問題的心得。
 邁向解析力學之路第一集:吵架王達朗拜(上)從棄嬰到院士

邁向解析力學之路第一集:吵架王達朗拜(上)從棄嬰到院士

封面圖片來源:https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Jean Le Rond d%27Alembert, by French school.jpg阿文曾教過大學部二年級的「力學」必修課,教了整整三年,由於要求太過嚴格,不少同學修了三次,從大二修到大四才過,被戲稱為「幽靈船」,因為有些學生一修再修,始終無法通過,簡直像華格納的歌劇「漂泊的荷蘭人」一劇的幽靈船一樣,永遠無法上岸! 因此阿文被戲稱為「幽靈船船長」。其實阿文對「力學」的確情有獨鍾,因為「力學」從原本一門研究滑輪,槓桿等實際工程器材的學問,在笛卡兒、牛頓等偉大學者的努力下,逐漸華麗轉身,成為描述宇宙的宏偉數學架構,現代物理學於焉而生,當然令人肅然起敬!但是故事並沒有在牛頓之後就戛然而止。 從牛頓的「原理」問世之後,力學仍然持續向著嚴謹化,體系化的方向大步邁進。我們通常將這個最後成型的高度數學化的學問稱之為「解析力學」,不過在比較古老的文獻上,也被稱為「理論力學」(法文mécanique rationelle,英文:Rational Mechanics),實則更貼切。它成為物理其他分支的典範!統計力學、電動力學。相對論力學,乃至於量子力學都是從它身上得到養分而開花結果。所以說「解析力學」是眾物理理論架構之母,絲毫不為過。在它發展的過程中,有許多重要的人物參與其中,阿文打算將這些人物與解析力學的發展交織而成的故事,撰寫成一系列的文章。原本應該從牛頓的死對頭,萊布尼茲講起,無奈他的故事太長,必須獨立成一個系列,所以阿文就將第一篇的主角,改成了科學史上少見的吵架王。就是以「達朗拜原則」、「達朗拜算子」、「達朗拜級數收斂準則」而聞名的尚·達朗拜(Jean-Baptiste le Rond d'Alembert,1717–1783) 。
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