頭文字背後的人生(一) LSZ

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先來簡單地介紹一下什麼是「LSZ化約公式」。它是連結S矩陣元素與依照時間排序的場算子乘積的真空期望值的關鍵等式。S矩陣元素是描述粒子散射的振幅矩陣的元素，要計算任何一個散射過程的散射截面都需要知道S矩陣元素，而散射過程的散射截面正是高能物理中最重要的待測量。要利用量子場論來計算S矩陣元素就要仰賴「LSZ化約公式」把它們化約成依照時間排序的場算子乘積的真空期望值。整個推導的微妙處在於散射過程中的起始狀態與終了狀態都是由自由場的創生子與毀滅子所生成的，但是自由場之間沒有耦合，根本無法產生散射呀!所以必須使用與其他種類的場互相耦合的量子場對應的創生子與毀滅子來計算也有意義，但是只有使用自由場的創生子與毀滅子所生成的狀態也能清楚定義動量與能量，要解決這個兩難，似乎是讓作用場的算子在無限過去(時間取作負無窮)或無限未來(時間取作正無窮)符合自由場的算子，但是嚴格的數學證明這是不可能的任務，理論物理學家只好退而求其次，他們發現可以讓作用場的算子對應的矩陣元素在無限過去(時間取作負無窮)或無限未來(時間取作正無窮與自由場算子的矩陣元素相同，由此建立S矩陣元素與依照時間排序的場算子乘積的真空期望值的關聯。更進一步要計算依照時間排序的場算子乘積的真空期望值，還是要採用么正變換，換到所謂的「交互作用圖像」(Interaction Picture)，把不同種類的量子場相互耦合的漢密爾頓函數當成是算子的推進函數。當耦合常數的值夠小的時候，「LSZ化約公式」讓理論物理學家能夠從系統的拉格蘭日函數出發，逐階計算任何一個相關的散射過程的散射截面，所以成為粒子物理學家必學的必殺技。雖然許多人都學過「LSZ化約公式」，但問起LSZ是什麼意思，恐怕大部分的人都「莫宰羊」，其實它代表的是三位物理學家，他們依序是哈利·萊曼(Harry Lehmann)，庫爾特·塞曼齊克（Kurt Symanzik)與沃爾夫哈特·齊默爾曼（Wolfhart Zimmermann)。他們三位都是接受過海森堡指導的後輩，而且除了「LSZ化約公式」以外，各自都有諸多的成就，他們也是二戰之後量子場論快速發展的見證人，這段歷史少有人提及，阿文最喜歡介紹這種沒人知道也沒人想知道的冷僻知識，還請各位看官多多捧場囉。

第一位出場的是哈利·萊曼(Harry Lehmann, 1924-1998)，他於1924 年出生於位於北德的梅克倫堡，居斯特羅。居斯特羅曾經是梅克倫堡-居斯特羅公國的首都，後來成為梅克倫堡-施威林公國的一部分。 大公國首先是德意志邦聯的成員，接著成為北德意志邦聯的一個聯邦國，最後於1871年合併至德意志帝國之內。萊曼從羅斯托克的中學畢業後，於 1942 年被德國軍隊徵召他前往北非服役，當時德國軍隊在隆美爾將軍的帶領下，在北非以少數的德國師與義大利軍隊向英軍發動攻擊，收回義大利在先前失去的殖民地，之後在戰斧作戰又擊退了具有裝備、人員和制空權優勢的英軍反攻，並在加查拉戰役中以寡擊眾，造成敵軍物資與人員損失過半。隆美爾因為此役的成功而被晉升為元帥，也因為其先前多次的活躍表現而產生了「隆美爾神話」。隆美爾也贏得「沙漠之狐」的美稱。但到了1942年7月阿拉曼戰役後，隆美爾部隊的補給狀況每況愈下，再度面對擁有物資增援的英美兩軍已難以對抗，隆美爾因此最終撤離北非，萊曼也在那裡被美軍俘虜。 他在美國的戰俘營裡度過了三年。但也就是因為待在戰俘營，他才有機會自學，為上大學做準備。 戰爭結束後，萊曼於1946年獲釋，他回到羅斯托克的父母身邊，開始學習物理學，先是在羅斯托克大學，然後在東柏林的洪堡大學就讀，畢業論文還是以實驗物理學為主題。之後他成為耶拿大學教授，著名的物理學家弗里德里希·洪德的助手，並在那裡撰寫了關於古典電動力學的博士論文。 當洪德轉到法蘭克福大學時，萊曼在耶拿擔任代理教授，直到洪德正式被換掉為止。洪德離開耶拿的過程在阿文之前寫的「長壽的物理學家們(三)：洪德 」一文中有提及，有興趣的讀者可以參考。
這時候，名義上萊曼算是耶拿大學的員工，1952 年，洪德的老同學海森堡在1952 年邀請萊曼到位於哥廷根的馬克斯普朗克物理研究所做學術訪問。 在那裡，他加入了一個由年輕理論家組成的活躍團體，他們與當時引領風潮的大師海森堡合作，得到非常精彩的結果。當時海森堡研究所討論的一個主題是戰後在美國和日本所發展出來的再重整化(renormalization)理論來處理量子場論中出現的廻圈積分產生的發散項。 這個新技術使得計算量子電動力學的可測量物理量並將其與實驗進行比較，變成是可能的事情，之前由於計算結果充斥了發散積分，根本無法與實驗聯結。

儘管再重正化理論取得了巨大成功，蘭姆位移與電子的g值都顯示了理論與實驗之間的高度吻合，讓人信服。但是歐洲老一代的許多物理學家仍然持懷疑態度，並堅信無窮大表明量子場論存在嚴重缺陷。 例如，狄拉克就將再重正化理論稱為「對理論物理學的罪(sin)」。海森堡對再重整化當然也是半信半疑，但是他鼓勵年輕學者投入相關的研究，讓再重整化的概念日趨嚴謹而一致，逐漸成為下一個世代學習的標準教材。萊曼正是這波風潮的佼佼者。他在 20 世紀 50 年代與塞曼齊克( Kurt Symanzik) 和齊默爾曼( Wolfhart Zimmermann) 合作完成了許多開創性工作。其中名氣最大的莫過於前面介紹的LSZ化約公式。萊曼在初次訪問之後，捨不得離開如此刺激有趣的研究環境，於是就請求允許延長訪問期限； 但是耶拿大學的頂頭上司，德意志民主共和國(俗稱東德)當局從頭到尾不回應，因此萊曼索性留在西方。 結果直到1976年，他才得以再次到屬於東德的羅斯托克探望父母。

萊曼除了LSZ化約公式之外，還有一樣非常有名的貢獻，就是卡倫-萊曼質譜表現。(Källén -Lehmann spectral representation)，這個理論將量子場論的依照時間排序的兩點函數表達成不同質量的自由傳播子之以特定質譜加權積分。卡倫是在1952年提出，而萊曼則是在1954年完全獨立地發展出一模一樣的理論。萊曼之所以發展成這個表達式是因為他當時在尋找自由場的算子矩陣元素與有交互作用的場，它的算子矩陣元素之間的常數，而這個表現可以證明兩者之間的常數是一個位於零與一之間的正數。

由於無法回去耶拿大學，萊曼於1955年離開哥廷根的海森堡研究所，以歐洲核子研究組織研究小組成員的身份訪問哥本哈根，並於1956年接受漢堡大學教授職位，創立了那裡的理論基本粒子物理研究群，他為德國電子同步加速器實驗室 (Deutsches Elektronen-Synchrotron , 縮寫為DESY) 提供諮詢，他還說服了當年的同事，塞曼齊克 從紐約返回該實驗室幫助成立其理論小組。他於 1986 年退休成為名譽教授。三十年之間，他以他的堅毅性格鑄造了漢堡大學理論物理學研究所獨特的風格。許多年輕科學家在研討會上看到他與同行的深度討論，都受到很大的震撼，他對量子場論深邃的認識與以及他對物理學的總體看法也對所裡的年輕同事產生強烈的影響。我們應該慶幸當年東德政府不要他才是。

萊曼一直都對非微擾量子場論情有獨鍾。所以他對少數能不使用微擾展開的理論工具，色散關係理論就深感興趣，他對色散關係的興趣讓他與瑞士科學家雷斯·約斯特( Res Jost 1918-1990)開始密切合作。約斯特和萊曼在兩個等質量粒子散射的情況下，找到了兩個場算子的對易子，在以能量動量本徵態為基底的情況下的矩陣元素表達式。戴森後來將這種表達式擴展到了粒子質量不相等的一般情況。在戴森表達式的基礎上，萊曼根據局部性、羅倫茲不變性和粒子質譜正定的條件下，推導出色散關係和散射振幅的其他解析特性。這些結果其實不限定於沒有結構的基本粒子，對於複合粒子也適用，因為儘管它們具有內部結構，然而在推導中，僅用到與系統內部結構無關的一般屬性。因此，萊曼讓色散關為局域性量子場論找到了可以用實驗檢驗的方法。事實上，到今天，我們都還是寫不出一個滿足羅倫茲不變性的非局域性量子場論呢。他晚年與 法國物理學家波爾梅耶(K. Pohlmeyer , 1938-2008)一起研究非多項式拉格朗日場論，也是出於對非微擾量子場論的興趣。由於他諸多的貢獻，萊曼在1967年獲得了德國物理學會頒發的馬克斯·普朗克獎章，並於1969年12月31日被授予法國榮譽軍團騎士勳章。1997年，他獲得了美國物理學會和美國物理學會頒發的丹尼·海涅曼獎。萊曼直到生命的最後一刻仍然活躍在物理研究領域。他於1998年在漢堡過世，享年七十四。

第二位出場的是庫爾特·塞曼齊克（Kurt Symanzik，1923 - 1983）。塞曼齊克出生於東普魯士的萊克 (Ełk)，並在柯尼斯堡度過了童年。他於1942年入伍，1944年在法國南部被法軍俘虜，成為戰俘，被送去北非，待了三年。1947 年，他開始在慕尼黑大學學習物理學，但不久後轉學到哥廷根，因為量子物理大師，海森堡，被盟軍釋放後落腳哥廷根，所以塞曼齊克也跑去哥廷根，投在海森堡的門下。他在哥廷根與齊默爾曼和萊曼展開了富有成效的合作，其中包含了LSZ化約公式。1954 年，他憑藉論文《量子場論中的許文格泛函》獲得了博士學位。在普林斯頓大學和歐洲核子研究中心任教後，他獲得了紐約大學柯朗研究所(Courant Institute of Mathematical Sciences，縮寫為CIMS）的正教授職位，這個機構是由德國數學家理察·柯朗（Richard Courant，1888—1972）創立的，柯朗最有名的就是與他的老師希爾伯特合寫的物理數學經典「數學物理方法」 (Methoden der mathematischen Physik)，柯朗研究所是全世界應用數學數一數二的高等學府。後來在萊曼的積極遊說下他於 1968 年離開該研究所前往漢堡 德國電子同步加速器實驗室 (DESY)。

塞曼齊克最著名的工作，除了 LSZ 化約公式之外，就屬卡蘭-塞曼齊克方程式(Callan-Symanzik equation)。這是他回到德國以後發表的重要成果，這條方程式是用來描述 n 點格林函數被再重整化之後，如何隨著再重整化過程中為了控制迴圈積分引進的能量尺度改變而改變，這個能量尺度被稱為再重整尺度。這個方程式中出現一個重要的函數，被稱為貝他(beta) 函數，它是場論中的耦合係數對再重整尺度微分而得的函數，這個函數如果是負號，那麼耦合係數會隨著再重整尺度增長而變小，反之，這個函數如果是正號，那麼耦合係數會隨著再重整尺度增長而變大。1973年物理學家就是發現量子色動力學(QCD)的貝他(beta) 函數是負數，證明了所謂漸似自由。雖然早在1954年給爾曼與法蘭西斯·羅(Francis Eugene Low)就針對量子電動力學作了類似的討論，但是卡蘭-塞曼齊克方程式適用於所有的可再重整化場論，而且不只是耦合係數，一般複合算子隨再重整尺度改變的指標，所謂「異常維度」(anomalous dimension)也可以處理。這個稱呼表示該算子隨尺度變換(scale transformation)的維度與古典場論的差異，這個差異是量子漲落所造成的效應。卡蘭-塞曼齊克方程式是發展「再重整化群」的過程中關鍵的一步。雖然萊曼早在1967年就得到馬克斯·普朗克獎章，但是塞曼齊克在十四年後，也被授予馬克斯·普朗克獎章。

塞曼齊克自 1970 年起，他的興趣轉向晶格規範理論。早在柯朗研究所的時候，他就研究過歐幾里德場論，也就是將場論放到虛數時間軸上，這正是晶格規範理論的基礎。在晶格量子色動力學(lattice QCD) 中，威爾遜型態的費米子接近連續極限的速率大致與晶格間距「a」成正比。 當時的數值模擬中使用的晶格間距，通常並不會比相關物理尺度小太多，所以已經離散化產生的誤差往往是造成晶格模擬的主要誤差來源。塞曼齊克指出，透過在晶格理論的作用量和感興趣的局部算子中包含階「a」（和更高階）的對應項(counter terms)，可以加速向連續極限的收斂速度。這個方法被稱為是塞曼齊克改善法(Symanzik improvement)。他於1983年在漢堡去世之前還孜孜不倦在研究這個主題呢。

LSZ中殿後的是沃爾夫哈特·齊默爾曼（Wolfhart Zimmermann，1928－2016）。出生於弗萊堡。弗萊堡是黑森林西部，上萊茵河平原地區的交通樞紐。作為古老的大學城和天主教教區中心，弗萊堡有文藝復興時期創建的弗萊堡大學，以及著名的中世紀弗萊堡大教堂。距離瑞士邊境約42公里。與先前兩位前輩不同的是由於他年紀太小，所以沒有上戰場。他於 1950 年在弗萊堡阿爾伯特路德維希大學拿到了數學博士，論文的主題是拓樸學。但是他卻轉向物理，1952 年，他加入了哥廷根馬克斯·普朗克研究所的維爾納·海森堡研究小組。在那裡，他成為數學量子場論的先驅之一。 他與塞曼齊克和萊曼一起發展了 LSZ 理論。 他們的研究小組被包立稱為 Field Club（德語：Feldverein）。

1957 年，齊默爾曼離開哥廷根，在普林斯頓高等研究院和漢堡大學任職。 從那裡他訪問了加州大學柏克萊分校物理系、歐洲核子研究中心和維也納大學。 這一時期出現了對束縛態問題、格林函數的單粒子奇點以及更一般地散射振幅的解析結構的研究。

1962年，他被任命為紐約大學物理學教授。 此時值得注意的是，他對所謂的相對論的代數結構延伸成SU(6)對稱性所作的研究，事後看來，這為超對稱性鋪平了道路，因為正如宮澤弘成(Hironari Miyazawa)所指出的，他引進了反對易子，形成了喬丹代數。這種結構後來被稱為超代數super-algebra，即分級代數graded algebra。

齊默爾曼於1974年離開紐約大學，回到德國。 在1974年至1996年間，他擔任慕尼黑馬克斯·普朗克物理研究所所長，後來成為「名譽所長」。自 1977 年起，他擔任慕尼黑工業大學榮譽教授（“Honorarprofessor”）。他對再重整化的興趣依然不減，他另一項重大的成就是老一點的教科書都會介紹的BPHZ 再重整化。所謂的BPHZ 重整化模式是一個將費恩曼圖分類，然後依照圖的特性加以特定的處理後，得到有限結果的方法。它的本質是一個遞迴過程，處理完低階的圖再依此處理下一階的費恩曼圖，原則上，可以適用到任意高階的費恩曼圖。這套方法最早是由兩位俄羅斯理論物理學家Nikolay Nikolayevich Bogolyubov與 烏克蘭科學家 Ostap Parasyuk 在1957年指出對於可重整化的場論，發散積分可以使用有限（且小的）集合的某些基本發散減法將它變成有限。如此就能保證用微擾展開的格林函數來計算的散射矩陣之矩陣元素，對於任何可再重整化量子場論而言，都是有限的。他們的方法是發明一套對任意階微擾理論中的費恩曼圖減去發散積分的具體過程（Bogoliubov-Parasyuk R 運算），他們確立了該過程的正確性，並保證了所得結果的唯一性。但是他們的證明其實不夠完備，Klaus Hepp 在1966年將Bogoliubov-Parasyuk定理的證明加以補強。齊默爾曼則是提出了有名的「齊默爾曼森林公式」，他發現可以將（Bogoliubov-Parasyuk R 運算的遞迴公式寫成對特定集合的圖作R運算的和，所謂「森林」是指一個費恩曼圖的子圖的集合，這些子圖要嘛不相交，要嘛有從屬關係，也就是某個子圖A是子圖B的部分。這個工作微妙之處在於要確定再重整化之後不會有所謂「重疊發散」殘存。整個證明就以Bogoliubov，Parasyuk，Hepp 和齊默爾曼的頭文字而稱之為BPHZ 重整化模式。你看，又是個頭文字組合!

除了BPHZ之外，齊默爾曼與肯尼斯‧威爾森 (Kenneth G. Wilson) 是量子場論中應用算子乘積展開(Operator Product Expansion，簡稱OPE) 應用的先驅之一。他與芝加哥的費米研究所的萊茵哈特·歐姆(Reinhard Oehme，1928-2010)
一起研究用所謂的群再重正化方法來減少耦合參數，兩人早在20 世紀50 年代就已在哥廷根合作過了。此外他還將規範場傳播子的超收斂關係(superconvergence relations)引入規範場論中，以此建立高能量（例如漸近自由）和低能邊界（禁閉）之間的邊界的聯繫。1991年，他獲得了馬克斯·普朗克獎章，比塞曼齊克晚了十年，比起萊曼則是晚了二十四年。不過他也是三人中最長壽的，齊默爾曼於2016年於漢堡過世，享壽八十八。

我們從LSZ這三位傑出的科學家身上，可以看到「再重整化」如何從一小撮物理天才的黑魔法逐漸成為嚴謹的物理理論，變成現在量子場論教科書的標準教材。這個工作雖然不像費恩曼，許文格與朝永振一郎他們發明「再重整化」的過程那麼刺激，但是從物理學的角度來看，其實重要性是不遑多讓的，特別是他們的工作對後來再重整化群以及有效場論的發展有深刻的影響，也徹底改變了我們對「再重整化」的本質的認識，連帶地也深化了我們對量子場論的理解。更進一步，這三位數學味很濃的德國物理學家，也象徵了經歷地獄般的敗戰後德德國物理界，如何在學術界浴火重生，這樣說來，LSZ背後還真是斑斑血淚呢。

參考書目:
(一) 中文 英文 德文維基相關條目
(二) Zimmermann's Forest Formula, Infrared Divergences and the QCD Beta Function by Franz Herzog
(三)Wolfhart Zimmermann: Life and work by Klaus Sibold