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 從參考圓,相空間,到升降算符:聊聊簡諧運動

從參考圓,相空間,到升降算符:聊聊簡諧運動

封面圖片來源:https://commons.wikimedia.org/wiki/Fil ... onic motion animation.gif簡諧運動 (Simple harmonic motion,簡稱 SHM) 或者稱簡諧振子 (simple harmonic oscillator,簡稱 SHO) ,大概是應用最廣的物理概念了。在力學振動系統、電磁波與聲波系統、LC(電感與電容)電路、分子振動、固體比熱、量子光學 (quantum optics),甚至是量子場論 (quantum field theory) 與凝態物理 (condensed matter physics),都可以看到諧振子物理的應用。在高中階段,許多學生還沒有學過微分方程式,所以通常會用其它方法解簡諧振動的問題,通常用的是參考圓 (reference circle)。在量子力學裡解諧振子問題時,則至少有兩種方法。第一種是直接解諧振子問題的薛丁格方程式 (Schrodinger equation),用的是解微分方程式邊界值問題 (boundary value problem) 的方法。第二種是將位置算符 (position operator) 與動量算符 (momentum operator) 先組合成上升算符 (raising operator) 與下降算符 (lowering operator),然後藉著此兩算符的對易關係 (commutation relation) 以及「能量必須有最低值」,亦即能量有下邊界 (lower bound) 的條件,用代數方法得出量子化能階 (quantized energy levels),以及如何藉著上升算符的重複作用,由基態 (ground state) 生成各激發態 (excited states)。一般量子力學教科書在使用上述升降算符解諧振子問題時,並不會特別解釋這兩個算符是怎麼想到的,而是直接寫出它們並推導所需的代數。事實上,量子諧振子的升降算符與古典諧振子的參考圓有非常密切的關聯。此篇文章就來跟讀者分享我對此問題的心得。
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