一個物理多重表述：淺談物理中確定與不需確定的物理量

在日常生活裡，人們普遍傾向於為事件的發生原因與過程尋找一個唯一合理的劇情，並將此劇情視為真相。「柯南」系列卡通裡的那句「真相只有一個」，反應的或許就是一般人的這種信念。與此對比，物理學雖是一門實證的科學，其內容能被實驗檢驗，或是具有可被實驗檢驗的可能性，但當我們需要解釋物理現象，或是預測物理系統在特定條件下的行為時，那些出現在理論中的物理量，卻往往可以有好幾種不同的選擇。這些不同的選擇其實沒有哪個才正確的問題，但針對特定問題，某種選擇有可能比其它選擇更簡單易懂或更有效率。

以古典力學為例，一個只受重力作用的粒子具有守恆的力學能 \(E =T + U\)，它是動能 \(T\) 與位能 \(U\) 的和。由於總力學能在運動的過程裡保持不變，當位能變動 \( \Delta U \) 時，對應的動能變化量就是 \( \Delta T = − \Delta U\)，而這個結論跟位能的零點究竟選在何處是無關的。當我們考慮的是地面附近的拋體運動時，可以將地面定義為位能零點，而在行星繞日的問題裡，選擇將無窮遠處定為位能零點會比較方便，但這不是強制性的。在這類問題裡，與具體的物理過程有關的是位能或動能的變化量，而不是它們各自的數值。換一個說法，由於物體所受的重力可以表示為位能梯度（gradient）的負值，即 \(\textbf{F} = − \nabla U\)，對位能加減一個任意常數並不會改變這個梯度值，因此基於運動方程式所做的預測也不會受這個任意性所影響。

相似的情況也發生在靜電場與磁場裡。根據靜電學，電場 \(\textbf{E}\) 是電位 \(V\) 之梯度的負值，即 \(\textbf{E} = − \nabla V\)。跟牛頓重力場的情況一樣，電位 \(V\) 的零點可以任意選擇，而不會改變電場的數值。有直接物理意義的是電場 \(\textbf{E}\) 或是兩點間的電位差 \( \Delta V\)，而它們都與電位零點的選擇無關。另一方面，由於沒有磁荷（magnetic charge），磁場 \(\textbf{B}\) 可以表示為向量勢（vector potential）\(\textbf{A}\)的旋度（curl），即 \(\textbf{B} = \nabla \times A\)。根據向量分析，有“梯度的旋度是 \(0\)”，所以可以將向量勢 \(A\) 加上一個任意純量（scalar）\(f\) 的梯度而不改變磁場，即 \(\textbf{B}' = \nabla \times \textbf{A}' = \nabla \times (\textbf{A} + \nabla f ) = \nabla \times \textbf{A} = \textbf{B}\)。這個關於向量勢的任意性比前述對力學位能或靜電位加減一個常數的自由度又更高了。

當我們考慮動態的電磁場時，這類任意性表現得更為突出。根據馬克斯威方程組（Maxwell equations）裡的法拉第電磁感應定律（Faraday’s induction law） \( \nabla \times \textbf{E} + \frac{\partial}{\partial t} \textbf{B}=0\) 與磁場—向量勢關係式 \(\textbf{B} = \nabla \times \textbf{A}\)，得知 \( \nabla \times ( \textbf{E} + \frac{\partial \textbf{A}}{\partial t})=0 \)，因此 \( \textbf{E}+ \frac{\partial \textbf{A}}{\partial t}\) 可以表達為一個梯度量。若沿用靜電學符號將此梯度寫成 \(- \nabla V\)，就得到 \( \textbf{E}=- \nabla V - \frac{\partial}{\partial t} \textbf{A}\)。此處要留意的是動態電場並不是保守力場（conservative force field），所以無法在整個空間定義電位。因此 \(V\) 雖然沿用與電位相同的符號，但因它的意義已經不同，所以名字被改成了純量勢（scalar potential）。觀察可知，如果將向量勢 \(\textbf{A}\) 加上一個純量 \(f\) 的梯度 \(\nabla f\)，改成 \(\textbf{A}' = \textbf{A} + \nabla f\)，那麼只要同時將純量勢 \(V\) 減掉 \( \frac{\partial}{\partial t} f \)，改成 \(V' = V - \frac{\partial}{\partial t}f\)，那麼根據 \(\textbf{A}' \) 與 \(V'\) 算出來的動態電場 \( \textbf{E} = - \nabla V' - \frac{\partial}{\partial t} \textbf{A}'\) 還是會跟原來的電場 \( \textbf{E}\) 一樣。這個同時改變 \(V\) 與 \( \textbf{A} \) 卻不改變 \(\textbf{E}\) 與 \(\textbf{B}\) 的數學轉換，就是在電磁學範疇內的規範轉換（Gauge transformation），它們的重要意義在此還不明顯，要在量子力學中搭配電子波函數的相位轉換才看得出它的完整意義。

針對空間中某一點附近，在某一瞬間，經由適當的規範轉換，總是可以將電場的表示式轉換為純粹的純量勢梯度形式 \( \textbf{E} = − \nabla V \) 或純粹的向量勢變率形式 \(\textbf{E} = −  \frac{\partial}{\partial t}\textbf{A} \)。這相當於說電荷無法區分其所感受的電場究竟有多少成分來自其它電荷貢獻的靜電場，又有多少成分是來自磁場變化所造成的感應電場。愛因斯坦在發展廣義相對論的過程中所提出的“ 等效原理” 也具有類似的精神：在一個小房間裡觀察到的自由落體的加速運動，無法區分有多少成分是來自外界質量的重力作用，又有多少是來自小房間本身的加速運動。不過，這種類似性不能推得太遠，畢竟電力是正比於電荷而不是質量，所以無法像重力那樣幾何化。

在像聲音或光/ 電磁波這類的波動現象裡，波的基本特性可以被振幅（amplitude）、相位（phase）與頻率所決定。一個單一頻率的波在某一瞬間的振幅寫成 \( \psi ( \textbf{r} , t ) = A ( \textbf{r}) \cos ( \phi ( \textbf{r}) - \omega t)\) ，它是一個複數波 \( \psi_c (\textbf{r},t) = A( \textbf{r}) e^{i[ \phi (\textbf{r}) - \omega t ]}\)  的實部（real part），即 \(\psi (\textbf{r}, t ) = \text{Re}[\psi_c (\textbf{r},t)] \)。此處 \(A( \textbf{r}) = | \psi_c (\textbf{r},t)| \) 就是波的振幅，而 \(\phi (\textbf{r})\) 就是波的相位或相位角。用複數波 \( \psi_c (\textbf{r},t)\) 代表原來的 \( \psi (\textbf{r},t)\) 討論波的疊加問題是方便的。當需要知道實數振幅時，只要取實部即可。此外，波的強度（intensity）\(I\) 通常正比於振幅的平方，略去比例常數後可以寫成 \(I = A^2 (\textbf{r}) = | \psi_c (\textbf{r}, t )|^2 \) ，是一個與波相位無關的量。以平面波（plane wave）為例，可以寫成 \(\psi (\textbf{r})=A e^{i(\textbf{k} \cdot \textbf{r} + \alpha)}\)  ，其中振幅 \(A(\textbf{r}) = | \psi (\textbf{r}) | =A\) 是一個常數，而相位 \(\phi (\textbf{r}) = \textbf{k} \cdot \textbf{r} + \alpha\)（\( \alpha\) 是一個常數）與位置線性相關。因為只有一個頻率，所以可以將時間因子 \( e^{-i \omega t}\) 先略去。考慮兩個頻率相同的平面波 \( \psi_1 (\textbf{r}) = A_1 e^{i ( \textbf{k}_1 \cdot \textbf{r} + \mathbf{ \alpha }_1 )}= A_1 e^{i \phi_1 ( \textbf{r})}\) 與 \( \psi_2 ( \textbf{r}) = A_2 e^{i ( \textbf{k}_2 \cdot \textbf{r} + \mathbf{ \alpha }_2 )} = A_2 e^{i \phi_2 ( \textbf{r})}\) ，它們的強度分別是 \( I_1 = A^2_1\) 與 \(I_2 = A^2_2\)。當它們同時存在時，會疊加成 \( \psi = \psi _1 + \psi _2\)，而它的強度是$$ I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos (\phi _1 - \phi_2)$$

上式中那個餘弦項就是干涉（interference）效應，而這部分只跟這兩個平面波各自的強度以及彼此的相位差有關，跟兩相位各自的取值無關。在這裡，相位零點選擇的任意性與力學位能零點選擇的任意性非常相像。此外，若計算電磁波或聲波的能流密度（energy current density）\( \textbf{J}(\textbf{r})\)（類比於電流密度，是單位面積單位時間通過的能量），會發現它在一個振盪周期內的平均值正比於 \( I(\textbf{r}) \nabla \phi (\textbf{r}) \)，因此改變相位零點的位置也不會影響能流密度。

在量子力學裡，波函數 \(\psi \) 一般而言是本來就是複數，它的絕對值平方 \( | \psi |^2 \) 代表機率密度（probability），是一個有實際物理意義的量，而它跟波函數的相位無關。跟前述聲波與光波的情形相似，可以對波函數乘以一個任意的常數相位因子（phase factor）\(e^{i \alpha}\) 而不影響波函數的干涉效應以及機率流（probability current density）。如果對量子系統的哈密頓算符（Hamiltonian operator）任意加一個常數（相當於改變系統的位能零點）\( \beta\)，那就相當於將此量子系統的每一個能階都加上這個常數。對於此量子系統的一個任意波函數 \(\psi (\textbf{r},t)\) 而言，這個修改只是讓原本的波函數乘以一個時間相位因子 \(e^{i \beta t}\)，因此並不會改變機率密度、機率流，也不會改變電子在任意兩能階之間的躍遷機率。

前面曾提到過，可以對純量勢與向量勢做規範轉換而不影響電磁場。不過，若考慮電子在有電磁場的環境中所滿足的薛丁格方程式，會發現若不同時修改波函數的相位，就無法得到等價的方程式。因此，完整的規範轉換同時包含純量勢與向量勢的修改，以及與之搭配的電子波函數的相位修改。在這樣的修改下，各方程式給出的那些能被實驗觀測的量（電場、磁場、機率密度、機率流、躍遷機率、磁性、電流…等等）都不受影響。由於規範變換是比較深的主題，所以無法在此將細節用三言兩語講完。我們將這個主題留到將來再仔細討論。

在前面提到的這些不須確定的物理量，主要都是跟某種零點選擇的任意性有關。其實還有許多其它的例子，例如爭論了超過一世紀卻還沒有定論的亞伯拉罕－閔可夫斯基爭議（Abraham-Minkowski controversy）。這是一場關於介質內電磁動量的物理爭論，也可以說是關於光子在介質中的動量是較其在真空中的動量大還是小的爭論。假設光子的角頻率是 \(\omega\)，真空光速是 \( c \)，介質的折射率為 \( n \)，那麼此頻率的光子在真空中的波向量（wave vector）\(k_0\) 與動量 \(p_0\) 的關係是\(p_0 = \hbar k_0 = \hbar \omega / c\)。當光子進入介質中，頻率會保持一樣，但介質中的光速變成 \(c/n\)，波向量變成 \(k = \frac{n \omega}{c} = nk_0\)。如果動量與波向量間的比例常數仍然是 \( \hbar \) 的話，就會得到動量為 \(p_{Min} = \frac{n \hbar \omega}{c} = np_0\)，這是閔可夫斯基理論會得到的結果。另一種想法是將 \( \frac{\hbar \omega}{c^2}\) 視為光子的“ 相對論性動質量”（relativistic dynamical mass），並將它乘以光子在介質中的速度 \(c/n\)，如此就得到亞伯拉罕版本的光子動量 \(p_{Abr} = \frac{\hbar \omega}{n c} = p_0 /n \)。有趣的是，這兩者都獲得了許多實驗的支持。近年來，有一些研究者聲稱他們解決了這個爭議，但也有人聲稱這個爭議是假議題，因為兩者的差異不是實質上的，而只是將介質中電磁場的總應力－能量－動量張量（total stress-energy-momentum tensor）如何分解為“ 電磁” 部分和“ 物質”部分的問題。真相究竟為何？筆者目前也沒有答案。有興趣的讀者，不妨看看關於這個問題的維基百科資料（https://en.wikipedia.org/wiki/Abraham%E2%80%93Minkowski_controversy），並試試能否從文獻中看出一些端倪。