「光速不變」是實驗結果嗎?聊聊狹義相對論的兩個假設

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  • 撰文者:欒丕綱(國立中央大學光電科學與工程學系)
  • 發文日期:2022-10-01
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在解說狹義相對論的科普影片中,常常會聽到有關「光速不變」的敘述。這是說無論在哪一個慣性系裡測量光在真空中的傳播速率,都會是一樣的,即使轉換到有相對速度的其它慣性系裡也不會改變。這個很反常的結果與一般人的日常生活經驗是如此牴觸,以至於乍聽之下很難讓人接受,而這也間接地影響到許多人對相對論的理解。根據我的印象,科普傳播者在面對「光速為何不會變?」這個問題時,大致上有兩種比較簡單直接的「解釋」方式。第一種方式會說:「這就是實驗的結果,事實就是這麼難以置信但必須接受。」第二種方式是直接搬出「愛因斯坦是天才」,其傳達的意思大概是:「這是愛因斯坦頓悟出來的,他是天才,所以我們沒什麼資格質疑。」對於這個問題,我想在此分享一點自己的見解。願此文能幫助不太熟悉相對論的讀者稍微深入一點了解「光速不變」概念的來源。

首先,這個「光速不變」的說法,其實是來自狹義相對論的兩條基本假設的第二條。這兩條假設可敘述如下:
A. 物理定律在每一個慣性系裡都有相同的形式。
B. 光在真空中的傳播速率 \(c\) 是一個定值,與慣性系的選擇以及光源的運動皆無關。

這兩條假設嚴格說來都不是某個特定實驗的具體結果,而是綜合歸納大量實驗與理論的結果,再從其中「萃取」出來的「公設」(axioms),類似於歐幾里得幾何學裡的平行線公設(過直線外一點,有且僅有一條直線平行於原直線)。此外,它們彼此是互相依賴的。如果否定其中一條,就會在推理中產生矛盾,而相對論也就建立不起來了。愛因斯坦就是基於這兩條假設,藉著邏輯與數學的推理,逐步推導出狹義相對論的各種結論—無論是那些比較普通的還是非常神奇的。


事實上,第一個假設裡並沒有解釋慣性系是什麼,也沒有解釋「相同形式」是指什麼形式,更沒有解釋物理定律的具體內容是什麼。關於慣性系,我們已經在8 月份的專欄文《牛頓第一定律是必要的嗎?從慣性參考系到等效原理》討論過它的意義。根據那篇文章的說明,一個慣性系就是一個牛頓定律可以在其中直接應用的參考系。不過,學習過相對論的讀者們一定知道相對論已將牛頓力學(Newtonian Mechanics)修正成了相對論力學(relativistic mechanics),所以上述慣性系的意義也被修改成了相對論力學可以直接應用的參考系。不過,要判斷一個參考系是不是一個慣性系,並不需要知道相對論力學的具體形式,只要符合牛頓第一定律就夠了。在牛頓力學裡,一個沒有跟外界交換質量的物體在運動中具有固定的質量 \(m\),而動量 \(\textbf{p} = m\textbf{v}\),因此被作用力 \( \textbf{F}\) 作用的物體的運動方程式既可寫成 \( \textbf{F}=m \textbf{a}\),也可寫成 \( \textbf{F}=\frac{d \textbf{p}}{dt}\),兩種寫法是等價的,這是因為加速度 \( \textbf{a}=\frac{d\textbf{v}}{dt}\) 只不過是速度 \( \textbf{v}\) 的變率。在相對論力學中,上述等價性不再成立。如果假設兩個或多個物體發生彈性碰撞,並在碰撞前後維持整個系統的總動量守恆,會發現一個物體的動量要被修正為 \(\textbf{p}=\frac{m_0 \textbf{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\),此處\(m_0\) 是“ 靜止質量”(rest mass),也就是牛頓力學定律足夠精確的低速情況下的物體質量。雖然相對論性的運動方程式仍然可寫成 \(\textbf{F}=\frac{d \textbf{p}}{dt}\),但不再能寫成 \( \textbf{F}=m \textbf{a}\) 了。如果回頭去看愛因斯坦在1905 年的那篇相對論原始論文《論動體的電動力學》,會發現愛因斯坦當時所說的物理定律僅僅是力學定律與電動力學(electrodynamics)定律而已。不過,在愛因斯坦之後,所有“ 底層” 的基本物理定律(重力定律除外)都成功地被寫成了「在每一個慣性系裡都有相同的形式」那類的表達式。不同慣性系裡的同一種物理量可以透過所謂羅倫茲轉換(Lorentz Transformation)相互轉換。用專業術語來說,物理定律在參考系的時空座標轉換下具有羅倫茲協變性(Lorentz Covariance)。


關於第一假設,愛因斯坦舉了一個磁棒與線圈相對運動產生感應電流的例子,說明他為何相信電動力學定律或電磁學定律在不同慣性系裡有相同的形式。如果將線圈視為固定,而磁棒移動,那麼由於移動的磁棒改變了線圈中的磁通,因此根據法拉第感應定律(Faraday’sinduction law),線圈中會有感應電動勢(electromotive force),這就導致線圈中出現感應電流(induced current)。反之,如果將磁棒視為固定,則移動的線圈帶著其中各原子的電荷在磁棒周圍的磁場中移動,這就導致有磁力(羅倫茲力)作用於線圈中的電荷,而使電流出現。如果具體計算以上兩種情況中的電流,會發現只要磁棒與線圈的相對速度維持一樣,那麼究竟視哪一個為固定,都不影響計算所得的電流數值。這使愛因斯坦懷疑以太(aether,物理學家想像中的一種充斥整個宇宙,使光波得以傳播的背景介質)的引入是完全沒必要的,且“ 絕對靜止”與“ 絕對運動” 的區別也是沒有意義的。


現在談談第二個假設。關於第二個假設,一般流行的說法是它來自麥可生-莫雷實驗(Michelson - Morley experiment)。在此實驗的設想中,地球是穿過以太而運動的,而光被假設成在以太中有固定的傳播速率,就像在無風的空氣中,聲波朝各個方向的傳播速率是固定的(假設其它影響聲速的參數如溫度,濕度,空氣成分都固定)一樣。由於地球可能在以太中有不為0 的速度,從地球上的一個光源向著四面八方發射的光,相對於光源就應該具有與方向有關的傳播速度。例如地球速度與光傳播速度方向一致時(在以太中的觀察),地球是“ 追著光前進”,會測到較慢的相對光速(在地球上看,光波是逆著“ 以太風”傳播)。反之,若光傳播方向與地球運動方向相反,地球就是“ 背著光前進”,會測到較快的相對光速(在地球上看,光波是順著“ 以太風”傳播)。若利用反射鏡,使光一來一回分別經歷“ 逆流” 與“ 順流” 兩個過程,累積的總時間會比地球靜止於以太中發光一次來回的時間要長。若我們考慮將光的傳播方向轉向垂直於地球運動的方向(在地球上的觀測),那麼雖然光線在以太中走折線所花的總時間還是比地球不動時要長,但這種走法會比上述“ 逆流+ 順流” 的總時間要短。這兩種路徑的時間差雖然非常短,但因為光速 \(c\) 非常大(\(299792458 \hspace{1mm} \rm m/s \)),所以它們的光程差(optical path difference)原則上是可以藉著光學的干涉效應(interference effect)測量出來。麥可生與莫雷設計了非常精密的干涉儀器,其精密度要測出這個光程差是游刃有餘的。然而很令人失望,當他們把儀器變換方向,預期中的干涉條紋的移動並沒有發生。當然,這有可能恰巧是地球在某段時間裡相對於以太的運動速度幾乎為 0 造成的。然而,即使是換成不同的季節,他們的儀器依然是得到“ 零結果”—條紋沒有移動。一般教科書會直接把這個結果當成“ 光速不變”的證據,且否定以太的存在。然而事情真的有這麼簡單嗎?


根據阿伯拉罕-派斯(Abraham Pais)的愛因斯坦傳記《上帝難以捉摸》(Subtle is the Lord)的內容, 許多知名的物理學家, 包括伏瓦基(Woldemar Voigt)、費兹傑羅(George FitzGerald)、拉莫爾(Joseph Larmor),以及鼎鼎大名的羅倫茲(Hendrik A. Lorentz)與彭加勒(Henri Poincaré),都沒有放棄以太模型,但是他們依然能夠“ 解釋” 麥可生-莫雷實驗的零結果。這裡面用到的“ 伎倆” 主要是假設物體通過以太時,會在運動方向上有長度收縮,而垂直的方向上沒有。這聽起來跟相對論的長度收縮幾乎一樣,但有一些明顯的差別。這些相對論之前的收縮假設都是認定這些收縮是以太造成的“ 真實的收縮”,而且是絕對的。相對論則沒有引入以太,且收縮是相對的,沒有絕對的意義。藉這這樣的收縮假設,就可以在不同方向上的光線傳播時間差上提供補償,達到完全消除時間差的效果。此外,在1904 年,早於愛因斯坦的相對論,羅倫茲就已經得到了與狹義相對論完全相同的時空座標轉換公式,這就前面提到過的羅倫茲轉換。不過,羅倫茲沒有看出他的公式中所謂的地方時(local time)可以視為真實的時間。彭加勒甚至早在1898 年的一篇文章《時間的測量》(La Mesure du Temps),以及後續發表的兩本書《科學與假設》(1902)、《科學的價值》(1905)裡,提到過“ 我們沒有關於兩個時間間隔相等的直覺”,並探討過“ 同時性”以及“ 用信號定義時間” 的問題。此外他還懷疑絕對運動是根本測不出來的,甚至已經猜到“ 將來會有一種新力學… 物體的質量會隨速度改變… 光速成為不可逾越的極限”(1904 年在美國聖路易斯國際藝術與科學博覽會的演講)。對於這些先驅者們的研究工作,愛因斯坦很可能是知道的,至少是不全面地知道。其中一個證據就是愛因斯坦年輕時與幾位朋友組成的“ 奧林比亞科學院” 的讀書會書單裡,就有彭加勒的書,而且他們承認他們是認真讀過的。


走筆至此,我現在可以提出我對第二假設的來源的看法了。在前述各位先驅者的工作裡,麥可生-莫雷實驗的零結果都被視為是一個必須解決的問題。於是各位先驅者們各顯神通,用高超的想像力與數學技巧,借助於假想的以太與物質進行某種“ 同謀” 式的交互作用(這也是假想的),完美地消除了本來應該出現的結果,使光速看起來不變。愛因斯坦則是反其道而行,採用釜底抽薪的辦法。他直接把實驗給出的“ 表觀光速不變” 的暗示當成“ 真正的光速不變”,且擺脫以太與電動力學模型(裡面充滿各種不能完全確定真假的細節)的束縛,將實驗的暗示直接提升為兩條基本假設,作為重建時空觀念的出發點。由此可知,光速不變其實不是一個簡單的實驗的結果,而是一個選擇。這個選擇很成功,且可以在邏輯上自洽,但代價是舊的時空觀念需要修改。這個選擇所帶來的好處是修改過後的架構與實驗觀測符合得非常好。


在前面的討論中,我們只提到了麥可生-莫雷實驗。事實上,影響愛因斯坦提出相對論兩大假設的實驗至少還包括了光行差(stellar aberration)的實驗與斐佐水流實驗(Fizeau experiment)。前者是關於地球相對於遠方恆星的運動所造成的觀測恆星位置的偏移,後者是測量流速不為0 的水如何影響水中的光速。有一位香克蘭(R. S. Shankland)教授在1950-1954 年間多次訪談當時在普林斯頓高等學術研究院的愛因斯坦,提問了愛氏對物理學各方面的看法,特別是有關他如何想到兩大假設的問題。根據愛氏的說法,麥可生-莫雷實驗對他而言不太重要,反而是斐佐水流實驗對他比較有影響。這些訪談的內容很重要,但細節很多,無法三言兩語講完。我們將來會再找機會跟讀者們分享這些有趣的內容。