牛頓第一定律是必要的嗎？從慣性參考系到等效原理

物理定律的方程式，通常描述的是各種物理系統在時間與空間中如何演變。在這些方程式中出現的物理量或函數，若不是可以直接測量的，就是它們的效應可以被間接觀測所驗證。在使用這些方程式時，人們有時候會不小心忘記它們的成立是有條件的，而將它們的正確性視為理所當然。然而，實際觀測時，卻往往必須排除各種干擾，在良好的條件下進行實驗。一個光學實驗不太可能在馬車或公車上做，因為那有太多來自振動或是任意加速運動的干擾，使得想被觀測的現象糊成一團。類似地，人們不會期望在一個咖啡杯隨時都可能翻倒的參考系裡能很有把握地預測一顆彈珠的行進軌跡，也不會選擇在一個高速自轉的房間裡總結一個單擺或是諧振子 (Harmonic oscillator) 的一般運動規律。如果可以將上述各種干擾都一一排除，那麼似乎就可以得到一種特別理想的參考系 (frame of reference)，在其中的物理定律可表達成比較簡單清楚的形式。這樣一種理想的參考系或坐標系就是一個慣性參考系 (inertial frame of reference) 或慣性坐標系 (inertial coordinate sysetm)，簡稱慣性系 (inertial frame)。

牛頓很有意識地在他的第一運動定律中藉著操作型定義 (operational definition) 的方式暗示如何選出這樣一個標準的參考系，使得牛頓第二與第三運動定律可以在其中直接應用。根據牛頓第一定律，一個不受力作用的物體，會保持靜止不動，或是以等速度作直線運動。若拿第一定律與第二定律相比，很可能會將它簡單地理解為只是第二定律 (受力之物體的動量變化率等於作用力) 在作用力等於 0 時的特例。事實上，牛頓第一定律雖然看起來就是第二定律在作用力等於 0 時的極限情況，但將它擺在第二定律之前，就表示它不只是第二定律的特例，而是有更深意涵的。在一個參考系裡觀察一個不受力的物體，若此物體確實保持靜止不動，或是以等速度作直線運動，那就表示 “選對了參考系”，可確認這個參考系是一個慣性系。所以，第一定律基本上是一個關於參考系的篩選條件，可以藉著檢驗它是否成立來判斷參考系是否為慣性系。從這個觀點來看，牛頓第一定律是必要的，不可以被省略。若沒有經由這個篩選條件確認選出了 “標準參考系”，就不能保證後續的第二與第三定律可以直接應用。

假定我們找到了一個慣性系A。很容易證明：任何相對於 A 系作等速度直線運動的參考系 B 也會是慣性參考系。兩個相對速度不為 0 的慣性系對同一個物體的位置與速度的測量值雖然是不同的，但它們的測量值都可以透過所謂伽利略轉換 (Galilean transformation) 而相互轉譯。因此，只要找到一個慣性系，原則上就可以找到無窮多個慣性系，而在這一系列慣性系中都可以直接使用牛頓三大運動定律，亦即力學定律在這個“慣性系同盟” 中都具有相同的形式。不過，即使觀察者所處的參考系不是慣性系，只要這個參考系相對於某一個慣性系的運動狀態是已知的，我們還是可以藉著伽利略轉換，將運動物體在慣性系內的位置與速度轉換為非慣性系內的位置與速度，從而掌握物體在非慣性參考系中的運動定律。一個試圖待在逆時針旋轉的轉盤上一個固定地點的人，會感受到一個將他向轉盤外甩出去的力量。如果他試圖在轉盤上移動，還會受到一個與他的速度成正比，而把他向右推的力量。此人在第一種情況遇到的是離心力 (centrifugal force) ，而在第二種情況遇到的是柯氏力 (Coriolis force)。這兩種 “力” 若根據慣性系的觀察，都不是真正的作用力，而只是來自轉盤的轉動效應，所以稱為假想力 (fictitious force)。另一方面，假想力都是來自物體的慣性效應，所以又稱為慣性力 (inertial force)。所以，當我們要研究一個受力物體在非慣性系裡的運動時，就有兩種處理方法。第一種方法是將該物體的運動以慣性系的觀點研究，待分析完畢再將座標轉換至原來的非慣性系。在這種處理方法裡，慣性力是不存在的，只有那些在慣性系裡量得到的力才存在，才需要被分析。第二種方法是直接在非慣性系裡套用牛頓第二定律，但將慣性力視為真實存在的作用力。事實上，前述轉盤上的人可以真實感受到離心力與柯氏力，並不需要依靠 “假想”。

相對論裡也有與此相似的狀況。在去年的專欄文章《相對論裡的兩種時間—淺談孿生子悖論》裡，我們介紹過狹義相對論的兩大基本假設以及由它們得到的邏輯結論。其中第一個基本假設是：所有慣性系裡的物理定律都具有相同型式。第二假設是：光在慣性系真空區域裡的傳播速率是一個常數c, 與光源的運動無關。很顯然，愛因斯坦一開始就設定了慣性系為他所用的標準參考系。所以那些時鐘校準的過程、同時的相對性、動尺長度的收縮以及動鐘韻律的變慢，都是針對慣性系之間相互比較而得的結論。那個根據羅倫茲轉換 (Lorentz transformation) 所建立的四維時空，其實就是前述“慣性系同盟”的替身。在探討孿生子問題時，我們可以藉著比較兩個孿生子在四維時空裡的世界線 (world line) 總長度就直接得到正確結論。其實這就像在前一段探討非慣性系裡的運動現象時藉助慣性系裡的觀測結果直接做分析一樣。我們當然也可以採用更複雜的方式，先推導去遠方星球做太空旅行的那個孿生子在整個太空旅行過程中各段加速與減速運動對他所攜帶的時鐘的影響 (這就是吳大猷先生在他的《相對論》裡的作法)，再將所有的影響加總 (積分) 起來而得出最後的結果。事實上，稍微思考一下就會知道後一種作法不可能得到不同的結論。這是因為任何關於加速參考系裡的時鐘行為的理論預測其實都是根據該時鐘在“慣性系同盟”的中的計算“轉譯”過來的。既然平直無曲率的四維時空只不過是“慣性系同盟”的替身，這個“轉譯”就不可能產生不一致的結果，頂多只是對太空旅行的那位孿生子在太空船內經歷的時間累積過程給出更多細節而已。因此，孿生子問題的解決不需要借助廣義相對論 (general relativity)，就像研究離心力與柯氏力效應也不需要使用廣義相對論一樣。

到目前為止，我們都很自然地假定可以藉著牛頓第一運動定律區分一個參考系是否為慣性系。在不太精確的檢驗條件下，這似乎沒有什麼困難。堅硬的地面，比起時不時加速與減速的捷運車廂，無疑更像一個合格的慣性系。不過，只要提高檢驗標準，或是拉長觀測的時間，就會發現原以為已經合格的慣性系，終究還是非慣性的。人們在地面走動或開車，通常不會意識到地球正在自轉並繞太陽公轉，也不會感受到太陽系繞著銀河系公轉。不過，只要看看颱風季節的衛星雲圖，就知道地球自轉的柯氏力效應不但存在，還在颱風的生成與演進裡扮演重要角色。此外，看似堅硬的地面，其實是有彈性的，傳播著來自四面八方的各種振動。大至地震，小至卡車經過時的震動，都在提醒著我們地面不是一個合格的慣性系。如果進入太空裡，關掉太空船的引擎，或許可以避免這些振動，但不能完全排除太空船的自轉。聊到這裡，喜歡思考的讀者或許會有這樣的疑問：真的有完全合格的理想慣性系嗎？這裡可以用一個比喻說明物理學家面對這種問題的處理方式。在歐幾里得幾何學裡，直線是一個重要的概念，但在日常生活中，人們不可能遇見幾何學裡那種理想的直線。一個在物理世界裡畫出來的 “直線” 不但不可能絕對的 “直” 而且放大後只是一些顏料顆粒沿著一個想像的直線路徑附近散亂地排列著。不過，這並不能阻止人們使用 “直線” 這個概念。慣性系也是如此。雖然人們似乎找不到理想的慣性系，但在處理各種實際的物理問題時，人們還是可以藉著各種線索，找到比較合格的，近似於慣性系的參考系，而把它當成真正的慣性系使用。

愛因斯坦在發展廣義相對論的摸索過程中，花了很多時間思考如何在一個不存在理想慣性系的宇宙裡寫下 “適用於任意參考系的物理定律”。眾所周知，愛因斯坦在 1907年有了重大突破，發現了慣性力與重力的等效原理 (equivalence principle)。亦即：物體受重力作用導致的加速運動，與一個在太空中 (假設已遠離一切重力場) 反向加速的太空船內觀測到的物體加速運動是無法區別的。反之，一個在重力場中自由墜落的艙體內，不受其它力的物體會保持靜止，或是做等速直線運動。愛因斯坦因此意識到：一個持續時間夠短，空間範圍夠小的時空區域內，總是可以找到一個符合牛頓第一定律檢驗條件的 “慣性系”。愛因斯坦把這樣的微小化，短暫化的 “慣性系” 稱為局域慣性系 (local inertial frame)。之所以要在時間上給予限制，是因為自由墜落的艙體遲早得碰到地面，或是碰到某星球表面。至於空間上的限制，是來自於重力場通常是不均勻的，因此一個太大的艙體內的不同位置處會有不同方向或不同強度的重力場，這個艙體就不能被視為是慣性系了。進一步思考，會發現一個星球附近的重力場中任意兩個局域慣性系，彼此會有相對加速度。這說明重力場是不均勻的，因此一定存在潮汐力 (tilde force)，而這其實是時空有曲率的線索。

愛因斯坦對慣性與重力之關係的深入思考引導他發展出廣義相對論，取代了牛頓重力理論。根據廣義相對論，一個不受重力以外的其它力作用的物體，會在彎曲時空中走一條最直的線，即所謂的測地線 (geodesics)。所以，任何粒子在時空中的世界線若偏離測地線，就表示它有受到重力以外的力。以一顆從樹上落下的蘋果為例。掉落過程所對應的世界線就是測地線，是重力作用下的正常結果。至於蘋果為何可以掛在樹上，以及遇到地面為何會停下來，就需要重力以外 (基本上是電磁力與量子效應) 的解釋了。

慣性系的概念經歷了好幾代的演變。第一代慣性系是牛頓定律可在其中直接應用的參考系。第二代慣性系是狹義相對論以及電動力學 (electrodynamics)、量子電動力學 (quantum electrodynamics)…可以在其中直接應用的參考系 (不含廣義相對論)。第三代慣性系是局域型的，它使得重力與慣性力的統一成為可能。隨著時代的演變，慣性系概念還可不可以再進化？我邀請讀者們一起來思考。