我的冷原子研究二、三事－從奧斯汀到民雄

物理學家利用雷射光冷卻原子的研究至今已近40 年，1995 年所達成的原子玻色－愛因斯坦凝聚使得冷原子研究邁入一個新的里程碑。藉諸本文，作者將介紹所經歷的冷原子物理發展過程、相關的基本原理、以及若干研究的展望。

一、前言

我是在 1992 年加入奧斯汀德州大學的冷原子研究團隊。那時候剛修完博士班第一年的核心課程，開始跟指導教授Heinzen 進行論文研究。Heinzen 是物理系為了填補一年多前被挖角的教授Kimble[1] 的空缺所聘入的新人，主要的研究工作是以雷射光捕獲冷卻原子。在當時，這是一個很新的領域，有許多未知的物理亟待探索。

二、雷射冷卻

從 1986 年朱棣文在貝爾實驗室實現以磁光阱（MOT）[2] 產生冷原子以來，物理界許多實驗室紛紛投入這一股冷原子（cold atom）的研究熱潮。低溫冷原子的產生，最直接受惠的就是大幅度降低因為原子運動所造成光譜線的都卜勒增寬（Doppler broadening），這可能也是當時對冷原子應用最直接的看法。除此之外，冷原子還能有什麼其他用途呢？

最初，學界為磁光阱設定一個都卜勒冷卻（Doppler cooling）的溫度極限 \(T_D\) [3]。對二能階的原子來說，若激發態的生命期是 \(\tau\)，則 \(T_D = \hbar \gamma / (2k_B)\)，其中 \( \hbar = h/(2 \pi)\) ，\(h\) 是普朗克常數，\(k_B\) 是波茲曼常數，\( \gamma=1/ \tau \) 是該躍遷光譜線的自然線寬。以鈉原子為例，通常作為冷卻光的是以產生 \(\text{D}2(3^2 \text{S}_{1/2} \rightarrow 3^2 \text{P}_{3/2})\) 躍遷為主，且 \(3^2 \text{P}_{3/2})\) 的生命期約為 \(16 \hspace{1mm} \rm ns\)。因此，鈉原子的都卜勒冷卻溫度極限是 \(240 \hspace{1mm} \mu \text{K} \)。不久之後，朱棣文（已至史丹佛大學）與 Phillips 的研究團隊又發現冷原子的溫度比都卜勒溫度極限還要更低。對鈉原子來說，可以進一步達到 \(140 \mu \text{K}\)。法國的物理學家 Tannoudji 對這一個發現提出了極化梯度冷卻（polarization gradient cooling）的理論機制[4]，證實光子冷卻極限可以降低至單一光子反彈溫度（recoil temperature）\( T_R = h^2 / (Mk_B \lambda^2)\)，其中 \(M\) 是原子的質量，\( \lambda\) 是冷卻光的波長。以鈉原子而言，\(T_R=2.4 \hspace{1mm}\mu \text{K})\)。之後，將原子冷卻至低於光子反彈溫度的理論與實驗也陸續被提出和證實，其中最常見的方式就是拉曼冷卻（Raman cooling）[5]。至此，原子被降溫至 \( \text{nK}\) 已經可以在一般實驗室的光學桌上實現。

在磁光阱中的冷原子，其空間的密度約為 \(10^{10} \sim 10^{11} \hspace{1mm}\text{atoms/cm}^3\)。隨著冷卻的溫度越來越低，這些原子氣體的相空間密度（phase space density）\( \rho_P\) 已經接近\(10^{-6}\)。離量子簡併態（quantum degenerate state）所需的相空間密度只差 6 個數量級。根據量子力學，當溫度 \( T\) 降低時，原子的物質波波長（de Broglie wavelength）\( \lambda_d=h/(2 \pi M k_B T)\) 將會變長。當 \( \lambda_d\) 與相鄰兩個原子間的距離相當時，原子的運動行為必須以量子力學來描述。滿足上述條件的，通常是在原子內的電子。然而，像這樣的量子現象是否也可以在巨觀的尺度中發生？

三、尋找玻色-愛因斯坦凝聚

玻色－ 愛因斯坦凝聚（Bose-Einstein condensation，簡稱為BEC）是1924 年由愛因斯坦根據印度科學家玻色（Bose）對於玻色子的能量狀態公式所推導出來的結果。1938年所發現液態氦（\(  \ce{^4He}\)）在 \(2.17 \hspace{1mm} \rm K\) 時呈現的超流現象即是由於玻愛凝聚所造成的。由於液態氦中的原子之間的作用力太強，因此BEC的比率只佔其中的10 %。比較起來，氣態原子之間的距離更遠，作用力更小，BEC 就顯得非常的乾淨，理論的計算變得單純。

最早從事原子 BEC 的研究工作可以遠溯至1970 年代。以 MIT 的 Kleppner 研究團隊最為出色。他們使用氫原子作為標的。由 Hess 所採用的蒸發冷卻（evaporative cooling）成為日後幾乎所有實驗室達成BEC 所必備的關鍵步驟。

由於雷射冷卻鹼金屬原子非常成功，經由雷射冷卻就可以輕易達成高相空間密度的氣體。因此從1990 年開始，物理界尋找失落的聖杯（Holy Grail）的重任就移到了這些原子身上。也因此展開了一場國際競逐。所參與的研究團隊主要是來自史丹佛大學的朱棣文，科羅拉多大學實驗天文物理聯合研究所（JILA）的 Wieman 與 Cornell，MIT 的 Ketterle，和萊斯大學的 Hulet 等著名實驗室。

加入 Heinzen 團隊之初，實驗室的研究工作主要是進行超冷銣原子的光合成（photoassociation）實驗， 也是最早利用光偶極阱產生高密度低溫原子的實驗室之一。正因為如此，實驗室也開始著手參與BEC的研究，並且是以全光學（all-optical）的方式進行。我深刻的記得 Heinzen 把這個重任交給我的時候、很嚴肅底表達他的想法：我想在這個研究上，成為全世界最早達成 BEC 的幾個實驗室之一。

我們的團隊是將冷原子置入一個藍調變（blue-detuned）、柱形、中空的光偶極阱中（hollow dipole trap）。藉由此，原子會被聚集在軸心的附近，形成一個長條型分布。為了避免軸線兩側原子脫離，必須在兩邊各加上一個藍調變，稱為邊蓋（end cap）的光偶極阱。

為了要製造這樣子的光阱，我們設置了一個包含三個鏡子的環型共振腔（ring cavity），由腔外注入的中空雷射光在腔內的功率會被放大 400 倍，足以捕獲被雷射冷卻的銣原子。難度最高的是這個共振腔和探測原子的光學系統都要裝設在超高真空系統裡。

朱棣文團隊一開始進展很快。他們利用交叉光偶極阱（crossed dipole trap）捕捉高密度的鈉原子，並且進行蒸發冷卻，很快的將相空間密度推進了近兩個數量級。此時，MIT 與 JILA 的團隊在四極磁阱（magnetic quadrupole trap）中也成功的實現了蒸發冷卻。但是卻發現了一個致命的問題，因為當極化的冷原子移動到了阱的中間磁場為零的位置時，產生馬由拉那自旋翻轉（Majorana spin flip），造成了原子的損失。Hulet 團隊則是使用由永久磁鐵建造的磁阱來捕捉 \( \ce{^7 Li}\) 原子。這種阱雖然沒有四極阱的問題，但是因為不能隨意關閉，也衍生出觀測原子的難題。

MIT 的團隊用一束藍調變的偶極光射入磁阱的中心將洞補起來。JILA 的團隊則是加入一個快速轉動的磁場將零點移開中心，成為拓樸阱（TOP trap）。這兩種方式都能使蒸發冷卻有效的進行。

JILA 的團隊首先在1995 年達成銣原子的玻愛凝聚。藉由將磁阱瞬間關閉，原子團自由膨脹約 \(20 \sim 30 \hspace{1mm}\rm ms\)，這時的空間分布幾乎就代表速度分布，用CCD 相機就可以成像[6]。實驗證據顯示，當原子團的溫度低於某一個臨界值時，速度分布中心突然出現一個尖峰，顯示在動量空間的凝聚。萊斯大學也觀測到當原子在一個特定溫度以下，入射的探測光突然產生特異的光學散射，因而認為這是來自於原子的玻愛凝聚所造成。

物理界認為萊斯大學所觀測到的光學散射不能直接視為BEC 的證據。因為高密度的原子所造成的透鏡效應（lensing effect）也會有同樣的效果。另外，在低溫條件下，原子間屬於 s-波碰撞，以散射長度（scattering  length）來描述作用強度，且散射長度必須大於 0 才能產生穩定的 BEC。萊斯團隊所使用的 \( \ce{^7 Li}\) 原子，它的散射長度是負值。這也增加了另一層疑慮。因為依照當時的理論，鋰原子是無法形成穩定的凝聚體。

在前沿物理的探索中，國際間激烈競爭是可以理解的。雖然萊斯團隊利用多種探測方式認為他們的實驗訊號的確是來自於凝聚態原子。並且，在理論上，來自於磁阱零點能量的補償，散射長度為負號的凝聚態鋰原子也是被允許的，只是它的數量不能超過 2300 個。但是，這些事後的解釋沒有完全被物理界認同。因此，2001 的諾貝爾物理獎並未頒給 Hulet。

利用磁阱達成 BEC 之後，幾乎所有的實驗室都認為這是一條達成簡併態原子的有效方式。我們也花了幾個月的時間把原來的光阱改成拓樸磁阱。為了流通大電流，磁阱線圈由直徑 0.3 公分的中空銅管繞成，銅管的中間通高壓冷卻水。銅管之間包覆着kapton 絕緣薄膜。整個裝置放在 \(10^{-11} \hspace{1mm} \rm Torr \)的不銹鋼真空腔中（圖一）。1997 年 5 月初，螢光法所測得的數據已經顯示出我們原子的相空間密度已跨越了簡併態的邊界。改用吸收測量的方式後，BEC 的原貌立刻現身。Heinzen決定要我去參加幾天後在 Baltimore 舉辦的 CLEO 年會，報告我們的 BEC 結果。其實，這份口頭演講在幾個月前還因為我們不能重複實驗結果而撤回。如今離會議只剩下幾天，大會卻破例讓我們參加，並且期待我們的演講。因為這是全世界第二波的競賽中，第一個達成 BEC 的團隊。意義格外重大。

圖一：上圖：奧斯汀的拓樸磁阱。下圖：中正大學的拓樸磁阱。真空腔改由玻璃製造。中空銅管則圍繞在腔體外面。大大底簡化了製作的困難度。

1998 年，史丹佛的全光學實驗仍陷入瓶頸。柏克萊的 Weiss 認為突破僵局的方式之一就是將原子置入三維的光晶格（optical lattice）中。我後來到了柏克萊進行博士後研究，就是進行銫原子在三維的光晶格中的拉曼邊帶冷卻（Raman sideband cooling）。這種方式可以保有拉曼冷卻的致冷效率，同時因為光晶格的幾何尺度和光學的波長相當，可以讓原子達到更高的密度。這項工作在 2001年 Chapman[7] 以光全光學的方式達成BEC之前保有最高的相空間密度[8]。

全球在BEC 的競爭上，到此時可謂告一個段落。冷原子研究的方向逐漸轉向分子與費米子冷卻，和其他與凝聚態物理、量子光學、量子計算相關的新興領域。

雖然氫原子在1998 年改以磁阱和蒸發冷卻的方式也達成了玻愛凝聚，然而以雷射冷卻氫原子與反氫原子（antihygrogen）的研究工作始終持續。其最主要的困難是用來作為冷卻光，波長 \(121.6 \hspace{1mm}\rm nm\) 的穩定光源極難取得。直到2021 年，來自 CERN 的歐洲團隊成功的將反氫原子以雷射光冷卻[9]。這項突破開啟了氫原子研究的新頁，也對反物質的一些關鍵特性提供更精密的實驗量測，也許有朝一日能夠揭開我們這個宇宙為什麼是由物質主宰的原因。

曾經在朱棣文團隊擔任過博士後研究的 Vuletic 轉移到 MIT 之後，仍然持續著在交叉光偶極阱與光晶格中進行拉曼冷卻的研究，並且在2019 年證實可以在一秒左右以全光學的方式達成包含 25,000 個原子的玻愛凝聚[10]。

雷射冷卻的發展至今，絕大多數能夠被冷卻的原子均屬於鹼金屬元素。鍶原子（strontium）是其中少數的例外。主要是它具有非常窄的二能級躍遷線寬（約 \(7.4 \hspace{1mm}\rm kHz\)），因此它的都普勒冷溫度極限是 \(350 \hspace{1mm}\rm nK\)。這意味着，只要將鍶原子置於光阱中進行都卜勒冷卻就可以達成簡併態。2013 年，Schreck 的研究團隊證實在光偶極阱中，僅以雷射冷卻就可以在 \(100 \hspace{1mm}\rm ms \) 之內達成 \(10^5\) 個鍶原子的玻愛凝聚體[11]。今年 6 月，該團隊更進一步證實能夠產生連續性的玻愛凝聚體[12]。這個重大的進展將能補足原子光學（atom optics）裡所欠缺的最後的一塊拼圖－連續性的物質波波源。

四、北緯 23.5 度的冷原子實驗

我在民雄中正大學的工作是從2000年底開始。由於資源有限，改以雙磁光阱（double MOT）的方式來捕捉足夠的銣原子。磁阱的部分仍採用拓樸阱，並且在2003 年9月達成了玻愛凝聚[13]。

我們對於凝聚體作了一些測量，包括對它進行微擾以探討它的集體激發（collective excitation）。圖二顯示出我們對於拓樸磁阱加入了一些擾動以激發 \(m = 0\) 的振動模式。當外加微擾的頻率與磁阱某一個方向的振動頻率相當時，可以觀察到玻愛凝聚體之軸向與徑向的振盪相位相差約 180 度，這代表凝聚體被激發至阱中的激發態了。另外，我們在實驗中也有一些獨特的發現。例如，當拓樸阱的旋轉磁場與四極磁場沒有同時關閉時，磁場的零點會隨着時間由外向內移動，造成被極化的 BEC 原子經由Majorana 自旋翻轉而逐次地分布到其他的自旋狀態。圖三則顯示這些不同自旋狀態的 BEC 原子在重力場下的分布情況。

圖二：玻愛凝聚體 \(m=0\) 模式的集體激發。橫軸是磁阱經過擾動後的等待時間。縱軸則為凝聚體在軸向與徑向的尺寸。

圖三：不同自旋態BEC 銣原子的分布。上下的方向是沿着重力的方向。

由於地球表面重力的原因，要達到更低的原子溫度進行更精密、更長時間的測量終究會受到限制。雖然我們可以利用磁力讓原子浮起（levitating）以抵抗重力。但畢竟磁力還是會對於原子團造成影響，所能夠增加的探測時間仍然有限。圖四是我們在實驗室裡面利用磁力讓銣原子短暫浮起的測試。可以清楚看見在 \(50 \hspace{1mm}\rm ms \) 之後，原子團如果沒有受到磁力浮起，由於重力的影響很快的就會掉落出觀測的視窗範圍。

圖四：利用磁力將原子浮起影像。
（A）磁阱關閉 \(5 \rm \hspace{1mm} ms \) 之後。
（B）磁阱關閉，啟動磁浮 \(50 \rm \hspace{1mm} ms \) 之後。
（C）磁阱關閉，未啟動磁浮 \(50 \rm \hspace{1mm} ms \)之後。

五、微重力下與光晶格中的冷原子

2010 年德國的研究團隊在地球表面利用短暫幾秒鐘的自由落體時間對BEC 進行微重力下的測量[14]。2020 年，加州理工學院的噴射推進實驗室（JPL）更在環繞地球的國際太空站（ISS）上達成銣原子的BEC[15]。在微重力的條件下，結合原子干涉儀以及連續的玻愛凝聚體物質波源將能達成更加精準的陀螺儀、重力儀，甚而有能力進行重力波的探測，測試廣義相對論裡面的若干效應，例如等效原理（equivalence principle）。

光晶格提供了週期性的光偶極阱，使得冷原子能夠與環境和鄰近的原子有效的隔離。將量子氣體置入不同維度的光晶格中提供了一個非常理想的量子多體物理的研究平台[16]。隨着量子氣體顯微鏡（quantum gas microscope）的研究成功[17,18]，操控與排列晶格原子技術的成熟，光晶格結合冷原子的系統已經逐漸形成一個很有效的量子模擬器（quantum simulator）[19]， 用來解決物理以及化學的諸多難題，也是正在發展的量子電腦（quantum computer）的重要且深具潛力的成員之一。由於被囚禁在光晶格中的原子具有很長的相干時間（coherent time），並允許數萬個晶格空位（site）被冷原子填滿，產生數萬個量子位元（quantum bit）， 提供未來的量子電腦更多運算（computation）與糾錯（debugging）的空間與時間。

冷原子光晶格的發展至今，在原子的置入，單一晶格空位原子之定位（addressing）[20]、量子態的調控、與單一原子的螢光成像（single-atom fluorescence imaging）[17,18]，都已經實驗達成。冷原子光晶格系統在邁向量子電腦過程的最大的挑戰之一則是如何達成高保真度（fidelity）的量子閘（quantum gate）。主要的原因是因為中性原子之間的作用力較弱。如何讓原子位元之間產生有效的糾纏（entanglement）的確是一個重要的課題。目前也有許多不同的方式被提出。例如，瞬間將原子激發至芮得柏態（Rydberg state）以增加原子間的作用即是一種選項[21]。

六、前景與展望

冷原子的研究由最簡單的動機發展至今已經超出當初所能預期的結果。經由這一扇門連結到許多其他物理學之外的科學領域，包括化學、生物、醫學、材料與通訊等。作者曾經歷過這一場良性的國際科學競爭，希望藉由本文，能夠激勵國內的後起之秀從事於前沿領域的探索，為國家深植科學研究的潛力。作者深信，以冷原子為基礎的相關研究，將繼續呈現令人驚艷的成果。