能帶拓樸：從厄米走向非厄米

固態物理學作為量子力學最成功的應用，使我們得以研究材料的能帶結構，而進一步去理解材料的電學與熱學性質。能帶結構的出現，源自材料內部原子週期性排列的晶格結構。當電子波被晶格散射，會使系統的能量分佈變得不連續。於是，禁止電子存在的能量空隙稱為能隙，允許存在的能量則構成能帶。我們可以想像，能帶結構如同一棟電子居住的建築物，只是其樓層結構有能量對動量的依賴關係。

雖然人會因為較好的景觀而住在高樓層，但對電子而言，他們更喜歡佔據較低的能量態。所以，在溫度不是很高而且交互作用也不強的情形下，電子會從最低樓層，也就是最低的能帶開始居住。如果現在某一層樓沒有被電子住滿，也就是這條能帶有空間允許電子在其中移動，那這就是導帶；反之，如果現在電子把這層樓的空間佔滿，這條能帶就是價帶。以能帶理論為基石的固態物理，讓我們能依照導帶與價帶之間的能隙存在與否以及能隙的大小，粗略地將物質區分為導體、半導體、絕緣體三類，並且成功地解釋它們的電學以及熱學性質。

被波耳 (Niels Henrik David Bohr, 1885-1962)稱為「物理學的良知」的諾貝爾物理獎得主包立（Wolfgang Pauli, 1900-1958）曾說“固態物理學是髒東西的物理學”（Solid-state physics is the physics of dirt）。另一位知名物理學家蓋爾曼（Murray Gell-Mann, 1929-2019） 也曾戲稱固態物理學為“髒態物理學”（Squalid state physics）。然而就是這個髒東西的物理學，推動著半導體與其他科技產業的發展，使得我們有電腦、手機等電子產品可以使用。

固態材料千變萬化，即使相同的元素結構，搭配上不同的晶格結構，都可能帶來新的規律。在二十世紀80 年代發現的量子霍爾效應，更讓人們開始意識到，似乎無法單靠傳統能帶理論來解釋這種全新的現象。為了理解這新奇的物理態，“ 拓樸” 的思想被引入凝聚態物理研究，並逐漸變成關鍵詞彙。而自2005 年興起的拓樸絕緣體研究，以及後續對此概念的理論建構、各種拓樸物態樣品的發現，也如雨後春筍般層出不窮，成為了凝聚態物理學中的一個重要方向。

能帶拓樸

為了理解什麼是拓樸絕緣體，首先，讓我們先退一步回來理解什麼是絕緣體。以能帶理論的觀點來看，在尋常的絕緣體中，較低能量的價帶都被電子占據了，而在能隙以上的導帶，卻空無一電子。因為絕緣體的能隙寬度大，所以電子很難從價帶躍遷至導帶，從而導致常溫下不導電。不過，當一絕緣體擁有某些對稱性，如果在此絕緣體的邊界或是表面不發生對稱性破缺，就能存在零能量（或是無能隙）的邊界能態，允許電子從邊界流過而導電。擁有此種不尋常邊界態的絕緣體，即為拓樸絕緣體。

看到這兒，你可能已經察覺，對稱性對拓樸物態的研究是非常重要的。理論物理學家就針對不同對稱性，對無交互作用之費米子的拓樸相進行了分類。根據哈密頓量（Hamiltonian，\(H\)）是否存在時間反演對稱性（也就是 \(TH^*T^{-1} = H\)，\(T\) 為時間反演操作）、粒子空穴對稱性（\(CH^*C^{-1} = −H \)）、手性對稱性（\( \Gamma H \Gamma^{-1} = -H \)），物理學家給出 \(10 \) 個分類。並在不同空間維度下，給予了拓樸週期表。

那材料中的拓樸是什麼而且如何決定呢？我們知道，拓樸是研究幾何圖形（空間）在連續改變下的不變性，而定量描述這種不變性的量，就是所謂的拓樸不變量。在材料中的拓樸不變量，是由電子的波函數來定義的。而且這裡的波函數，是透過能帶理論得到的體態波函數。這裡的體態是什麼意思呢？簡單地說，就是我們會假設所研究的晶格系統有週期性邊界（periodic boundary condition，PBC），從而確保系統具有離散的平移對稱性。以一維為例，如果你從系統上某一點出發，你會週而復始回到這一點。依照布洛赫（Bloch）定理，如果一個晶格具有離散的平移對稱性，則此系統的特徵態可以由晶格動量與能量來標記，而且我們只用考慮動量空間中的第一布里淵區。第一布里淵區是動量空間中的最小重複單位，由座標空間的最小重複單位的長度來定義。由此，每一條能帶與其中的每一個量子態，都由第一布里淵區內的晶格動量來標記。

你或許會想，真實材料總有邊界呀！平移對稱性並不會真的存在。但因為實際系統包含的原子與電子數目非常大，如果我們不靠近邊界，仍然可用以上的想法來描述系統的內部特性。總結來說，就是對於一個夠大的系統，其體特性應該不受邊界的影響。對於拓樸絕緣體，如果不去計算拓樸不變量也不去管邊界發生的事情，從能帶角度來看，其體態內部就是個尋常絕緣體。然而，當我們靠近拓樸材料的邊界時，受到拓樸保護的邊界態，是可以與材料的體態有著截然不同的特性。

知道材料體態的拓樸不變量有什麼好處呢？過去的研究告訴我們，在不發生對稱性破缺下，利用體態波函數得到的拓樸量，能幫助我們預估在開放邊界條件 （open boundary condition，OBC）下，受到對稱性與拓樸保護的邊界態之特性（像是預估邊界態的數目），也就是大家常說的體－邊對應關係。

從厄米走向非厄米

上述考慮皆為厄米（Hermitian）系統。長久以來，在量子力學中用來描述系統動力學的哈密頓量，一直被要求滿足  \(H = H^{\dagger} \)。也就是如果把哈密頓量寫成矩陣，則其必須是厄米矩陣。在此條件下，厄米量子系統的能量本徵值為實數；此外，哈密頓量的厄米性確保了量子系統在隨時間演化的過程中，機率會是守恆。

近年來非厄米（non-Hermitian）物理受到廣泛的關注，其研究體系不僅僅侷限在凝聚態系統。實際上，非厄米物理遍佈在凝聚態、冷原子、光子學、力學、電路、聲學到主動物質等等量子或是經典系統。基本上只要我們能把感興趣的系統表示成矩陣算符，我們就能來模擬或是研究非厄米物理。系統的非厄米性，也就是 \( H \neq H^{\dagger}\)，通常透過兩種方式出現：一是損耗或是增益，二是非互易的耦合或是躍遷。什麼是非互易的耦合或是躍遷呢？以一維晶格的緊束縛模型為例，非互易對應到粒子向左與向右移動的能力是不對稱的，因此可以具有沿著一個方向的淨流動。此例子就是在非厄米物理研究中常見的Hatano-Nelson 模型。

新的拓樸現象

非厄米的研究會受到許多關注，不單單是因為非厄米性遍佈在許多系統。更是因為人們發現非厄米系統中存在許多非凡的現象，是在厄米的框架下看不到的。一個最直接的展現是，當一個系統是非厄米，其本徵值廣義上就可以是複數。由於多出新的虛能量軸，能量空隙（能隙）的概念也被推廣，而跟厄米系統的能隙表現有所不同。在非厄米系統中可以存在兩種能隙（圖一）。第一種是線能隙（line gap）：在週期性邊界下，能譜有兩個或兩個以上不連貫的能帶時，我們可以在複數平面上畫線將這些不連貫的能帶分開，此時我們稱此非厄米哈密頓量有線能隙。另外一種就是所謂的點能隙（point gap），也就是能譜不穿過參考能量點，而是形成一個閉環。對於一個閉環，我們可以對參考點來定義卷繞數（Winding number），用來表徵這個能譜拓樸。我們可以這麼說，線能隙是厄米能隙的直接推廣，而點能隙則沒有厄米的對應。

圖一：在週期性邊界下，厄米系統的能譜只存在實能量軸上。非厄米能譜中若存在能隙，可以區分為(a) 點能隙與 (b) 線能隙。這裏 \( \text{Re}(E) \) 為能量的實部，\( \text{Im} (E)\) 為能量的虛部。

從前文我們已經知道，在厄米情形下，根據是否存在時間反演對稱性、粒子空穴對稱性、手性對稱性，可以對無交互作用之費米子的拓樸給出10 個對稱分類。那對於非厄米呢？因為 \( H \neq H^{\dagger}\)，所以可以使對稱性分類出現不同的分支。舉例來看，對於時間反演對稱性，在厄米的情形下 \( T H^{*} T^{-1} = H\) 和 \(T H^{T}T^{-1} =H\) 是相同的。但在非厄米的情形，\( H^* \neq H^{T}\) 就會給出不同的兩類。此外，在非厄米性系統， 亞晶格對稱（sublattice symmetry）與手性對稱性是不相同的。需要注意的是，在非厄米某些看似不同的對稱性分類，實際上是可以統一起來。舉例來看，時間反演的 \( T H^* T^{-1} =H\) 和粒子空穴對稱操作的 \(C H^* C^{-1} = -H\) 雖然差個負號，但可以透過引入虛數單位到哈密頓量（\(i H\)），把上述兩情形統一起來。總而言之，經過人們仔細地研究，在非厄米情形下，根據是否存在時間反演對稱性、粒子空穴對稱性、手性對稱性和亞晶格對稱，可以對無交互作用之費米子給出 \(38\) 個分類。

兩大特徵之一：例外點

除了對稱性分類之不同，非厄米系統中最為人們關注的兩大特徵，莫過於例外點 (exceptional point) 與非厄米趨膚效應 (non-Hermitian skin effect)。首先，讓我們來看看什麼是例外點。有些人稱例外點是非厄米系統中的能量簡併點，但需要注意，能量簡併點不一定是例外點。這裡所說的能量簡併，指的是數個不相同的量子態或是波函數，但都具有相同的能量值。例如稍後會看到的雙重簡併，是表示兩個不同量子態但其能量相同。由此，比較準確地講，例外點是指非厄米系統中存在能量本徵值相同，而且本徵態也重疊的特殊點。讓我們以二階哈密頓量矩陣的兩個本徵態為例，來看看從厄米到非厄米的情形會發生什麼事。首先在厄米時，兩個不同的量子本徵態是互相正交的，就像是兩個互相垂直的單位向量一樣；當我們把非厄米性加進來後，人們發現，這兩個單位向量有可能變得不再相互垂直；而當此非厄米系統進一步演變至例外點發生的條件時，兩個單位向量被扭到同個方向！因為兩個單位向量完全重疊，所以在例外點只剩下一個單位向量，也就是只剩下一個本徵態。由上述描述可知在這個點處，本徵態的總數目會小於哈密頓量矩陣的大小。以數學來說，在例外點之非厄米矩陣會缺失（defective）。

因為非厄米系統的本徵能量是複數，所以人們注意到，例外點的出現也常常對應著複變中所謂分支點(branch point)的出現。以一個具有增益與損耗的耦合兩能級系統為例，此二階非厄米哈密頓量矩陣可以具備有兩個本徵態合併的二階例外點。因為能量本徵值具有二次方根，此例外點就是分支點。該如何理解在這點的行為呢？大概可以這樣想像，當我們在這個點的附近繞一圈兒，會發現我們並沒有回到原來位置，而是從能量一樓轉到能量二樓或是從能量二樓轉到一樓 (圖二)。因為這種奇怪的性質，我們還需要再轉個一圈兒，才能回到原來的位置。以數學來說，此二階非厄米系統會具有的特殊拓樸結構，是本徵黎曼面的交叉或是環繞 (圖二)。當我們改變系統參數對著例外點繞圈時，本徵態會發生交換。如果對此數學結構不太感興趣沒有關係，以物理或是應用來看，因例外點的出現而產生的一個有趣現象是，系統對外界微擾的響應在例外點附近更加地敏感。研究顯示，例外點的階數越高，相對應的敏感性也越增強。 對光子系統而言，這種效應可以用來實現新一代超靈敏光學傳感器。

圖二：對一個具有增益與損耗的耦合兩能級系統，當我們改變系統參數對著例外點繞圈時，本徵態會發生交換。在這 \( \kappa \) 是兩能級間的耦合強度，\(2 \delta\) 是無耦合時兩能級能量差，增益與損耗的強度為 \(g = 0.5 \)。

當我們把傳統的厄米能帶理論往非厄米做推廣，人們發現對於二維晶格系統，即使系統不具有對稱性，在布里淵區中的例外點依然可以穩定且總是成對出現，並遵守費米子重疊定理 （Fermion doubling theorem）。以非厄米兩能帶模型來看，成對的例外點可以使用渦旋度（vorticity）來標記。渦旋度是一種拓樸不變量，對應著前面所敘述的本徵態交換。與此同時，一對例外點可以由所謂的體態費米弧（Bulk Fermi arc）連接。在體態費米弧上，本徵能量的實數部或是虛數部之一會是簡併的。在三維系統中則可存在例外線，這些線能構成奇異的扭曲或是環狀結構。

兩大特徵之二：非厄米趨膚效應

另一個為人們關注的現象是非厄米趨膚效應。首先，我們需要知道，對某些非厄米系統 (像是 Hatano-Nelson 模型)，在週期邊界條件 (PBC)下的能譜，可以和開邊界條件 (OBC)下的能譜完全不同 (圖三)。如果我們仔細地研究開邊界時的系統本徵態波函數，會很驚奇地發現，所有的(或是非常大量的)本徵態波函數都會局域在邊界上。由過往人們的經驗所知，波函數局域化一般是由無序破壞平移對稱所引起的，然而非厄米性並不破壞平移對稱。所以這種現象，被人們命名為非厄米趨膚效應，而局域化在系統邊界上的本徵波函數，被稱為趨膚模(skin mode)。在此讓我們嘗試直觀地看看這種現象為什麼會出現。當一個具有週期邊界的系統，允許向左與向右移動的能力是不對稱時，粒子物質波就會趨向某個方向流動，週而復始；但當系統變為開邊界，會發生什麼事呢？可以想像的是，一大群物質波就卡在系統邊界上，也就造成前面所說的趨膚模。這裡需要注意的是，趨膚模不一定只會局域在一個邊，與所感興趣的問題條件有關。總而言之，對於這些非厄米系統，我們完全不能利用週期性邊界條件的哈密頓量來近似開邊界條件下的體態特性，這與之前提到的厄米系統非常不一樣。儘管如此，週期性邊界下的能譜拓樸，對識別非厄米趨膚效應仍起著至關重要的作用。技術上來說，就是對於開放邊界的巨大系統，如果我們想知道某個能量是否存在趨膚模，我們可以以此能量為參考點，來計算在週期性邊界下的能譜卷繞數。

圖三：(a) 以Hatano-Nelson 模型為例，週期邊界 (PBC) 與開邊界 (OBC) 的能譜完全不同 (b) 開邊界時，所有的本徵態都局域在邊界上。

能譜拓樸與非厄米趨膚效應之關係，比較直觀的理解方式是透過駐波的概念。首先，讓我們考慮一個具有離散平移對稱性的一維晶格系統。在週期性邊界條件下，此系統本徵態是布洛赫波 \(e^{ikx} \)，其能量是 \(E_{PBC} (k) \)。當此系統被施加了一個開放邊界，我們就可以嘗試使用具有相同特徵能量但不相同動量的布洛赫波（也就是 \(E_{PBC} (k) =_{PBC} (k') \)，\(k \neq k'\)），來疊加構造此開放邊界之波函數。一般來說，在一維的厄米晶格系統中，因為週期性邊界的能譜在實能量軸上是雙重簡併，上述疊加條件必然可以滿足。然而，對非厄米系統，若其週期性邊界能譜只具有點能隙拓樸，我們就無法找到能量簡併的不同布洛赫波。其直接結果就是，在開放邊界條件下，其波函數不再由傳統的布洛赫波組成。

至此，我們了解到非厄米趨膚效應的出現是與能譜拓樸有關，為非厄米系統特有的拓樸現象。此時，我們要如何處理開邊界的問題呢？我們可以改變一下思路，使用複數動量 \( k + i\kappa (k)\) 並尋找具有相同能量的非布洛赫波 \( e^{i (k + i \kappa)x}\) 來構築開放邊界之波函數。也因為此動量具有虛數部，所以我們會得到局域化在系統邊界的趨膚模。因此，物理學家提出了廣義布里淵區的概念並發展了非布洛赫（non-Bloch）能帶理論，來理解非厄米系統的邊界物理。利用上述概念，對於非厄米拓樸系統，我們可以回復體－邊對應關係，並且研究受拓樸保護的邊界態。然而我們仍需要注意，此類邊界態是有厄米拓樸對應，不一定要參與非厄米趨膚效應。

圖四：二維光學原子鏡由於存在內稟的光子放射過程，會使此光學原子鏡變成非厄米系統。

高維度系統？

非布洛赫能帶理論在一維非厄米系統中被廣泛地討論。那對於高維度系統呢？近幾年來人們針對高維系統中趨膚效應的研究，也有所進展，像是高階趨膚效應，趨膚模與拓樸邊界態的耦合現象，或是證明具有例外點的晶格系統都會存在趨膚效應等等。對此問題，筆者就曾研究二維光學原子鏡（圖四）在各種邊界條件下，例外點和非厄米趨膚效應與原子陣列的對稱性和能譜拓樸之關聯。我們發現幾何依賴的非厄米趨膚效應，也就趨膚效應的存在與否是取決於開邊界的方向以及原子的排列。其中最有趣的發現是，原子間的長程交互作用，可使趨膚模展現出無標度（scale-free）行為。這些針對高維度系統的研究，超出了一維非布洛赫能帶理論的範疇。

結語

非厄米系統除了上述的能帶拓樸之外，尚有各式各樣的物理現象有待研究：像是存在無序位能或是存在有交互作用時，非厄米趨膚效應會怎麼變化？會不會出現新的相態或是相變？當系統有增益或衰減，如何正確地計算傳輸特性? 在開放量子系統的理論中，非厄米趨膚效應會如何變化? 非厄米趨膚效應或是例外點如何影響物理的觀察量? 非厄米系統的幾何性? …等問題都值得未來研究。 本文只是粗略地描述近來快速發展的非厄米物理研究之冰山一角，對此方向有興趣的讀者，可以參閱下列書目及文章。其中 [1-6] 為非厄米物理綜述文章或書籍，讀者們可優先閱讀，會對此領域有更廣泛的認識。首先在 [1, 2] 中介紹了許多可以展現非厄米現象的物理系統，而 [4-6] 綜述了例外點或是非厄米趨膚效應之拓樸。本文中提到關於非厄米系統中的38個拓樸分類可以參考 [7]，而成對例外點滿足費米子重疊原理則可以參考 [8,9]。對於非厄米趨膚效應與非布洛赫能帶理論的發展，有興趣的讀者可以參考 [10-18]。文獻 [19-30] 為本文提到的其他方向，包含高維系統與非厄米多體局域化。若對固態物理如何演變的歷史感興趣，可以參考 [31-32]或是其他凝聚態物理教科書。此外本文許多內容與名詞定義，皆參考、翻譯、改寫或統整了下列參考文獻與其他諸多資料。為求此文閱讀性，就沒有在內文逐一引述。最後筆者想強調的是，非厄米物理的參考資料非常多，僅僅2020年發表的綜述文章 [1] 中，就羅列了近1150 個參考文獻，限於篇幅也限於筆者能力，本文只列出極少的參考資料，若有不足及疏漏，也請大家見諒。

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[18] 非厄米體邊對應，趨膚效應，和輔助廣義布里淵區, http://www.iop.cas.cn/xwzx/kydt/202012/t20201201_5804194.html.

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[31] Douglas Natelson, Commentary: Condensed matter’s image problem, Physics Today, Dec 2018. 

[32] 吳從軍，電子社會學——凝聚態物理的內容和風格， 《物理》2022年第1期.

[33] Wikipedia: 沃夫岡·包立、能帶結構、能帶理論、拓撲絕緣體、Defective matrix、Exceptional point、Murray Gell-Mann、Niels Bohr、Non-Hermitian quantum mechanics.