物理如何使用數學？ 漫談物理與數學的關係（Ⅱ）

上次的專欄文章討論了數學對物理的工具性價值，包括：表示物理量的數量、表達不同物理量之間的關係、提供分析工具以解決物理問題… 等等。此外，也說明了同一個物理系統的不同數學描述可能會具有不同的效果：選擇較有效的數學表達方式，可以幫助理解那個物理系統，並做出重要的預測。此外我也提到了數學與物理有不同的目標，因此物理並不能被理解為只是應用數學或數學的應用。在這裡，我將進一步介紹物理學家使用數學的一些具體做法、技巧，與規範。利用這些作法，物理學家就可以借助數學的強大威力，研究各種物理問題，並得到物理上最可能正確的合理答案。

當物理問題被轉換為數學方程式後，原則上只要解這些方程式就可以給出這些物理問題的解答。不過，方程式給出的答案常常不只一個，因此必須加上一些輔助條件或規範，得到的結果才真的能描述這個宇宙裡的物理現象。最常見的例子是邊界條件（boundary condition）。例如量子束縛態（quantum bound states）的波函數在還未被歸一化（normalized）時就被要求是平方可積的（square integrable），也就是波函數的絕對值平方在整個空間的積分值不能是無窮大。這個限制其實是來自歸一化後的波函數的絕對值平方代表機率密度（probability density）。根據這個限制，任何會在遠處越變越大的波函數都會被自動過濾掉，因為它們不能恰當描述這個已知的物理世界。另一個常見的規範是因果律（causality），即原因必須比結果先發生。以電磁波輻射為例，電磁波是從波源（wave sources）往外傳播的，而不是從無窮遠處向內傳播，聚攏到波源來。用數學術語表達，就是物理上合理的格林函數（Green’s function）是延遲格林函數（retarded Green’s function）而不是超前格林函數（advanced Green’s function）。不過，作為一種數學運算技巧，有時候物理學家也會將這兩者組合起來運用。例如在量子電動力學（quantum electrodynamics）裡，物理學家可以將“ 逆著時間走”的電子詮釋為“ 順著時間走” 的正電子（positron），而最後的結果仍能被詮釋為一種符合因果律的過程。還有一些規範是基於系統穩定性的假設或信念，例如彈力常數必須是正的，質量也是正的，能量必有下界（lower bound），與物理量有關的量子算符（quantum operator）必是厄米的（Hermitian）等等。不過，上述限制並不是一成不變的。在等效的（effective）物理系統裡，這些限制可以適度放鬆。近年流行的許多研究領域，例如超穎材料（metamaterials）與非厄米量子力學（non-Hermitian quantum mechanics）就是在放鬆這些限制的情況下取得了許多突破性的進展。

在處理物理問題時，近似方法常常是必要的。例如在計算地球繞日運動時，可以把地球先當作是球形的，密度均勻的固體球，暫時忽略地球形狀不是真正的球形，也不是密度均勻的固體。此外，也不需要考慮地面上運行的交通工具與移動的生物，流動的海水以及不停變動的天氣，因為這些部分的影響不太重要。如果要精確一些，可以納入月球重力以及其他行星的重力作用的影響。不過，在這些修正中，或許連廣義相對論都還不需要考慮。另一個簡單例子是單擺週期公式的推導。在計算過程中，單擺的擺動角度被假設為很小，以使單擺的運動能被視為是一個標準的簡諧振盪（simple harmonic oscillator），因此振盪頻率與週期都可以借用簡諧振盪公式而得到。如果角度更大一些，只要適度的作一些必要的修正即可。第三個例子是電子在晶體的週期位能中的運動。此時最常用的是週期邊界條件而不是固定邊界條件或自由邊界條件。在這個問題中，電子的能譜對邊界條件並不敏感，而週期邊界條件是最方便的，因此物理學家通常會毫不猶豫地採用這種邊界條件，雖然一般的固體材料並沒有製作成環狀。在計算黑體輻射的光子模態數時，通常假定光波場是在一個立方體形的空腔（cavity）裡形成各種駐波（固定邊界條件）或行進波（週期邊界條件）。當計算完畢，這個立方體形狀的假設就可以拋棄，而將結果應用在任意形狀（甚至無邊界）的空腔裡。物理學家費曼（R. P. Feynman）曾表示：過度拘泥於邊界條件的數學細節在這類物理問題中並沒有意義，因為物理學家追求的是“ 恰如其分的嚴格”。不過，這樣隨意的對待邊界條件也並非永遠都是無害的。當需要考慮邊界態（boundary state）或邊緣態（edge state）時，邊界條件就必須小心處理了，因為這類的量子態或波模態對邊界條件通常很敏感。

不同的物理系統有時候會有非常相似的數學描述，於是物理學家就可以透過這些相似的數學描述去掌握一大類表面上看起來不同的物理現象。光子晶體（photonic crystals）就是模仿真實晶體而設計的人工結構。電子波函數在具有週期位能的晶體內傳播時具有布洛赫波（Bloch wave）\(\Phi_k (x)= e^{ikx}u_k (x)\) 的形式，其中 \(u_k (x)\) 是一個週期函數，其對應的能譜呈現能帶（energy bands）的形式，中間穿插著能隙（energy band gaps），即電子波不能傳播的能量範圍。與此類比，光子晶體中的電磁波在具有週期折射率的結構中傳播，其傳播模態（propagating modes）也具有布洛赫波的形式（但須改成向量），而波模態的頻率分布也是頻帶狀的，並具有頻隙。同類的概念進一步延伸，就可以研究聲子晶體（phononic crystals），即質量密度與彈性係數都週期分布的人工結構。此外，將局部具有LC 共振特性的金屬結構例如金屬細棒與金屬裂環（split rings）做週期性排列，就可以構成現在被稱為超穎材料（metamaterials）的人工結構。當電磁波在這些結構中傳播時，電磁波與這些結構的局域共振模態（local resonant modes）耦合，就形成新的傳播模態，其形式非常類似於太赫茲（terahertz）頻率的光波與離子晶體（ionic crystals）的光頻支聲子（optical branch phonons）耦合而形成的電磁極化子（polariton）。很顯然人工結構的空間週期與真實離子晶體內的離子間隔是屬於完全不同的尺度，但相似的數學描述使得發生在這兩種系統的物理可以看成是相似甚至相同的。近年熱門的拓樸材料（topological materials）研究也具有這個特徵。雖然最初的拓樸絕緣體（topological insulators）的研究是關於電子的量子現象，但類似的現象一樣會發生在光、聲、力學的系統中，因而激發出了拓樸光子學（topological photonics）、拓樸聲學（topological acoustics）、拓樸力學（topological mechanics），甚至是拓樸電路（topological circuits）的研究。

當代的物理學研究，即使是純理論的研究，也很難在沒有數值方法與電腦模擬的輔助之下完成。不誇張地說，數值方法可以算是物理研究不可缺少的工具。在上一段提到的光子晶體、超穎材料，以及拓樸材料的研究中，數值方法的重要性表現得尤為明顯。數值方法的一個很重要的特徵是可以將物理系統的各種性質圖像化。例如在光子晶體的模擬中，能帶圖可以提供關於該種光子晶體結構/ 元件特性分析的最基本線索。根據能隙與等頻率曲線圖（equal frequency contours），可以設計光子晶體波導與透鏡元件，而關於電磁場的模擬則提供了所設計的元件真的可用的更直接圖像證據。在拓樸材料的研究中，拓樸不變量（topological invariants）的計算結果，提供了關於拓樸邊緣態存在性的暗示，而對該狀態的波振幅的數值模擬則提供了更多關於邊界態的具體細節。當代發表在重要國際期刊上的物理研究，其內容多數都是既有理論分析，又有數值模擬，此外還有實驗展示。要靠純粹推導方程式且不提供任何數值模擬或圖像，而成功將成果發表在比較有公信力的期刊上，恐怕是越來越不可能了。

前面提到的各種例子講的都是數學在物理裡面作為計算與推理工具的情形。事實上物理也會反過來提供新的觀念或研究題材讓數學去發展。微積分或許算是比較早期的例子。牛頓為了研究運動與重力問題，而發展出了微積分。二十世紀初，則有相對論啟發了幾何學家去思考具有非正定度規（indefinite metric）的空間的幾何問題（Minkowski 空間）。楊振寧在上世紀對於一維多粒子量子系統的δ- 函數形碰撞位能的散射問題與量子自旋鍊（quantum spin chain）問題的研究，以及巴克斯特（Rodney J. Baxter）對二維晶格統計力學模型的研究，導致了楊－巴克斯特方程（Yang-Baxter equation，YBE）的發現。YBE 具有豐富的數學結構，它不但啟發了數學家瓊斯（V. F. R. Jones）提出新的繩結不變量（knot invariants），還導致另一位數學家德林費爾德（V. G. Drinfeld）提出了量子群（quantum groups）的概念。

總之，物理與數學有密切關係，但物理不是應用數學。物理的目標永遠是解決物理問題而不是數學問題。因此，物理學家使用數學的態度與風格基本上都與數學家不同。數學的嚴格性不能保證物理的正確性。物理學家判斷物理理論是否正確，所根據的是實驗的檢驗結果而不是數學。因此，像是“ 數學證明了時空旅行是可行的” 這種報導並不需要被太認真看待。數學與物理的關係其實是非常複雜的，我雖已盡力闡述我所知道的，但還是無法在這篇文章裡完全講明白。待將來有機會，我們再繼續談這個話題！