能量是什麼？

「能量」（energy）這個詞雖然起源於物理學，但是它就像「時空」，已經悄悄地融入了生活用語之中，成為一個流行用詞了。從前所稱的「朝氣」或「精神」，在現在的廣告詞裡常被稱為「能量」。此外，「能量」也被用來形容情緒或思想。消極或帶有惡意的思想，經常被稱為「負能量」，而一個積極樂觀或是樂於助人的人，則會被形容為很有「正能量」。這些用法雖不至於跟物理上「能量」原來的意義完全無關，但至少有些扭曲與過度簡化，因此常會造成一些誤解。在這一篇文章裡，我將跟大家一起探討物理上所謂的「能量」究竟是什麼。

考慮一個簡諧振子（Simple Harmonic Oscillator），也就是一顆質量為 \(m\) 的球連在一個彈力常數為 \(k\) 的彈簧上，彈簧另一端固定在牆上，而球在彈力作用下沿著一個平滑的桌面來回振盪。當彈簧在原長度時，將球的位置座標定為 0，所以球在運動時的瞬時位置座標 \(x\) 就是彈簧在那一瞬間的形變量。若 \(x > 0\)，就代表彈簧被拉長了，而 \(x < 0\) 則表示彈簧被壓縮了。根據牛頓第二運動定律 \(F = ma\) 與彈力的虎克定律（Hooke’s law）\(F = −kx\)，可寫下球的運動方程式：$$ m \frac{dv}{dt} = -kx \hspace{2cm}(1)$$

此處 \(v= \frac{dx}{dt}\) 是球的運動速度，而 \(\frac{dv}{dt}=a\) 就是加速度。此外，負號代表彈力是回復力（restoring force）。

將方程式（1）左右同乘以 \(v= \frac{dx}{dt}\)，並利用微積分公式 \(f \frac{df}{dt}=\frac{d}{dt} \left( \frac{f^2}{2}\right) \)，就得到$$\frac{d}{dt} \left( \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2}\right) =0 \hspace{2cm}(2)$$

若我們定義括號內的量為此諧振子系統的力學能（mechanical energy），並用符號E 表示此物理量，則（2）式告訴我們，力學能在這個系統中是一個不隨時間改變的守恆量（conserved quantity），即$$ E= \frac{mv^2}{2} + \frac{kx^2}{2} = 守恆量 \hspace{2cm} (3)$$
在力學能中的第一項，寫成 \(K=\frac{mv^2}{2}\)，就是球的動能（kinetic energy），而第二項，寫成 \(U= \frac{kx^2}{2}\)，就是儲存於系統中的位能（potential energy）。方程式（3）告訴我們，在諧振子系統隨時間演化的過程中，動能與位能會相互轉換，此消彼長，但其總和維持不變，即系統能量是守恆的。事實上，只要一個力學系統中的各作用力都是保守力（conservative force）（保守力對物體所做的功與物體移動的路徑無關，只跟起點與終點有關），那麼就可以定義位能，而系統的力學能就會是守恆的。牛頓萬有引力作用下的行星繞日運動以及不考慮空氣阻力的拋體運動都屬於這一類。

現在考慮一個有電壓源的 RLC 電路。這是一個與理想諧振子系統類似，但是加入了能量供給與耗散效應的系統。設電壓源兩端的瞬時電壓差為 \(V(t)\)，電路中的瞬時電流為 \(I(t)\)，而電路中的電感（inductance）為 \(L\)，電容（capacitance）為 \(C\)，電阻（resistance）為 \(R\)，三者串連，也與電壓源串連。假定電容裡儲存的瞬時電荷量（electric charge）為 \(q(t)\)，則可知電流為 \(I(t)= \frac{dq(t)}{dt}\)，即電流是電荷的時變率。根據克希荷夫電壓定律（Kirchhoff's voltage law），可寫出以下方程式：$$L \frac{d I}{dt} +RI + \frac{q}{C}=V \hspace{2cm} (4) $$
這就是此電路中的電荷與電流的演化方程式。採用與前一個例子相同的策略，將方程式（4）左右同乘以 \( I(t) = \frac{dq(t)}{dt}\)，就得到$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{LI^2}{2} +  \frac{q^2}{2C} \right) +I^2 R =IV \hspace{2cm}(5)$$

事實上，在括號裡的第一項 \(W_M = \frac{LI^2}{2}\) 是儲存於電感裡的磁能（magnetic energy），而第二項是 \(W_E = \frac{q^2}{2C}\) 儲存於電容裡的電能（electric energy），它們的和 \(W_{EM} = W_E + W_M\) 就是系統裡（電壓源除外）的電磁能（electromagnetic energy）。在電阻與電壓源消失的理想狀況下，即\(R = 0\) 且 \(V = 0\) 時，就會得到守恆的電磁能。由此可知在一個理想的LC 電路裡，電路中的電能與磁能會相互轉換，但其總和保持不變。

在比較真實的狀況裡，電阻與電壓源都存在，此時 \( P_{heat} = I^2R\) 代表電阻發熱的功率（power），而 \(P_{source} = IV\) 代表電壓源供電的功率，方程（5）可以寫成 $$\frac{d W_{EM}}{dt}+P_{heat} = P_{source} \hspace{2cm} (6)$$
方程式（6）的物理意義是：來自電壓源每單位時間提供的電能，轉換為每單位時間電磁能的增加量與電阻所產出的熱能。如果將電壓源取消（不再供電），則電路中 LC 元件中儲存的電磁能會透過電阻發熱而漸漸轉換為熱能，終至於耗散殆盡。另一種情況是電壓源以固定的頻率供應交流電，此時可以證明：在交流電的一個振盪週期內，LC 元件內儲存的電磁能會維持不變，但電壓源提供的電能會完全轉換為電阻的熱能，達成一個穩定狀態。上述討論似乎給人一種“ 電阻會吃能量，導致能量不守恆” 的錯覺。其實電阻所發的熱能並沒有消失，而是分配到環境中了。那個熱能有可能用來加熱食物與水，也可能是用來加熱燈絲，讓它發光。如果我們認真追蹤它們，一定可以找到去處，所以能量還是守恆的，只是在這個簡單電路中主要都轉換為熱能並散發出去了。

再看一個日常生活中的例子：一顆彈跳的籃球。當一顆籃球從高處墜地，它至少會上下彈跳幾次。每次上升的高度都會比前一次低一些，此外還可能會伴隨著滾動，最後停在地面某處。如果分析這顆球的能量，很明顯可以看出：在上下彈跳的過程中，球會與外在的空氣摩擦而損失動能，也就損失了總力學能。此外，在球與地面每次接觸的短暫時間裡，以及後期的滾動期間，籃球表面都有與地面的摩擦，這會將部份力學能轉換為環境中的熱能而散去。除了這兩項比較明顯的，其實還有其它的能量損失。例如當籃球敲擊地面時，地面的振動也產生了一些彈性波以及空氣中的聲波而帶走了部份能量。此外，籃球在上下彈跳的過程中內部的空氣也會與籃球皮摩擦而產生一些熱能。雖然詳細的分析每部分能量可能很複雜，但這裡面沒有任何玄奇或非自然的地方。任何一部分能量的變多或變少，一定都是與其它能量成分相互轉換的結果，不會莫名其妙消失，也不會無中生有。物理學家雖然無法對每一個物理系統都進行全面的檢驗，但是在所有可被驗證的物理系統中，物理學家都還沒有見過能量無端消失或無中生有的情況。事實上，物理學家包立（Wolfgang Pauli）正是由於對能量守恆的信心，才導致了微中子（neutrino）的發現。

當然，物理學家對能量的定義並非一成不變的，而是會隨著對物理世界的認識加深而做適度的調整。例如在相對論出現之前，質量跟能量是兩種無關的量，最多就只是質量出現在動能的定義中作為一個係數而已。不過，自從愛因斯坦發現了能量可以具有質量而寫下了 \(m = E / c^2\) 或 \(E = mc^2\)  之後，質量就不再是與能量無關的東西，而是視為能量的一個特殊形式了。這樣的觀念轉變，不但為後來的核能發展提供了最初步的理論基礎，還為高能（粒子）物理的出現埋下了伏筆，因為粒子可以成對湮滅（annihilation），轉變為其它的粒子。在湮滅—產生過程中，總能量依然是守恆的，但用來區分粒子身分的靜止質量（rest mass），卻可以替換為其它粒子的，亦即粒子的「身分」是可以改變的，例如電子與正子（positron）可以相互湮滅而形成兩個高能量的光子。

在電磁學裡，我們可以根據馬克斯威方程組（Maxwell’s equatiopns），推導出以下關係式：$$ - \nabla \cdot \textbf{S} = \frac{\partial W}{\partial t} + \textbf{J} \cdot \textbf{E} \hspace{2cm}(7)$$

此處 \( \textbf{J}\) 是電流密度，\( \textbf{E}\) 是電場，\( \textbf{H}\) 是磁場，而$$ \textbf{S}= \textbf{E} \times  \textbf{H} , \hspace{1cm}W= \frac{\varepsilon_0}{2}E^2 + \frac{\mu_0}{2}H^2 \hspace{2cm}(8)$$

分別是波印廷向量（Poynting vector）與電磁能量密度（electromagnetic energy）。這個被稱作波印廷定理（Poynting’s theorem）的關係式描述空間上任何一點附近與電磁場有關的能量變化關係。想像有一個小盒子，裡面有一些電荷與電流，且盒子內外都有電磁場。波印廷定理告訴我們：流入盒子內的電磁能量，導致盒子內的電磁能量增加，並對盒子內的電荷作功（work）。也就是說，能量都是有來處與去處的。這個能量分配的圖像其實跟前面提到的RLC 電路裡的能量分配是非常類似的，只不過這裡沒有那個看得見的電路。此處的波印廷向量 \( \textbf{S}= \textbf{E} \times  \textbf{H} \)就是電磁能量的能量流密度（energy current density），亦即每單位時間通過單位面積（面積的法向量為 \(\textbf{S}\) 的方向）的電磁能量，或是每單位面積的電磁功率。

在真實的世界裡，能量一定會有「載體」與「形式」。我偶爾會在網路上看到「純能量」一詞，但我必須說，這個詞在物理上是沒有意義的，因為若沒有「形式」與「載體」，能量即無法表現。動能的載體是一個有質量的物體，而位能儲存於藉保守力彼此作用的力學系統中。電路中的電位能儲存於電容，磁能儲存於電感或線圈，熱能由電阻產生，卻不能儲存於電阻，且最終會耗散出去。事實上，熱能可說是微觀能量的巨觀表現，它有可能是來自於原子或分子凌亂振動或移動的動能，也可能是沒有固定相位與特定頻率的大量光子的能量。藉著各種發電手段，人類可以將各種形式的天然能量（動、光、熱、核、化學、重力位）轉換為更方便使用的電能，而電能支撐現代生活中各方面的需求。各種能量都會有它的表現形式與轉換機制，而這一切其實都已隱藏在已知的物理定律裡。藉由這些物理定律，我們就可以理解這些能量為何存在、如何表現，以及如何轉換。此外，每多發現一個新的物理定律，就有可能多知道一種能量的表現形式。

除了表現形式與載體，還有一個重要觀念是：能量必須要透過有效的耦合（coupling）機制才能對物理系統有所影響。例如再怎麼強的靜磁場也無法改變靜電荷的靜止狀態，除非這電荷動起來，使磁力（正比於粒子速度與磁場的乘積）可以對它作用，或是電荷本身就具有磁矩，像電子那樣。另外，重力場只吸引質量而不吸引電荷，就是耦合機制必須正確的另一個明顯例子。環境中有各種來源的電磁場，根據公式（8），可說環境中處處充滿著電磁能與電磁能流。不過，這些電磁場基本上都欠缺與生物體的有效耦合機制，所以不必太擔心它們會對人體產生什麼明顯的影響。

到目前為止，人類還在繼續探索能量的各種來源與去處，至少像「暗能量是什麼」就還沒有搞清楚。不過，無論它是什麼，物理學家的內心裡基本上相信：暗能量若存在，就代表應該還有未知的物理。有關能量的故事還有很多，我們將來會再找機會繼續談這個主題。