從總量守恆到局域守恆—談談力學與電磁系統的守恆律

「一個不受力的物體會保持等速運動的狀態」是大家耳熟能詳的觀念，基本上大家在國中或高中物理中就學過了。

       如果考慮一個稍微複雜的情況，令物體只在一個特定方向上受力，那麼在垂直於此作用力的平面上，物體仍然是不受力的，所以物體的速度投影在該平面的分量，也會保持是一個定值。高中物理中的 (無空氣阻力) 拋體運動，就是把斜向拋射運動的速度拆解為水平與鉛直的速度 (velocity) 與位移 (displacement)，並分別處理的。水平運動速度全程保持不變，故水平位移與時間成正比。鉛直運動是等加速度運動，加速度方向朝下。鉛直速度的變化與時間成正比，可知鉛直位移是時間的二次函數。結合水平與鉛直位移的結果，就會推出拋體軌跡為拋物線。在以上的拋體問題中，可以看出物體動量 (momentum) 的水平分量是守恆的。動量的鉛直分量雖然不守恆，但系統的力學能 (即動能加位能) 仍是守恆的。利用力學能守恆與水平動量守恆，也可以推導出拋體的拋物線軌跡。

       行星繞日的運動是比上述拋體運動更複雜的運動。此系統中雖仍有力學能守恆，但是行星動量沒有任何一個分量是守恆的。取而代之的是角動量 (angular momentum) 的守恆。事實上，角動量守恆律在這個問題中等價於克卜勒第二定律：太陽與行星連線在每單位時間掃過的面積都相同。利用角動量與力學能守恆律，就可以很容易算出行星繞日的軌跡為橢圓，這就是所謂的克卜勒第一定律 (可參考物理雙月刊 2022 年 2 月號 「皮皮老師的物理心得」：萬有引力的平方反比形式與克卜勒行星運動三大定律)。

       在質點/粒子的碰撞 (scattering) 現象中，作用力的作用時間極短，具體作用細節也不容易觀測，但若知道碰撞本質上是彈性的 (elastic)，就可以利用力學能守恆以及總動量守恆，根據碰撞前的各粒子的能量與動量計算出碰撞後各粒子的能量與動量。若碰撞不全然是彈性的，也可以知道碰撞結果會與彈性碰撞有一些偏差，且伴隨有熱能或其他能量的產生 (例如發出碰撞聲或導致桌面的振動)。在多粒子系統中，若兩兩粒子之間的作用力只跟粒子間的距離有關，且相互作用的作用力方向在粒子–粒子連線上，則牛頓第三定律會保證任意一對粒子的其中一個所損失的動量會轉換至另一個粒子上，如此就保證了系統的總動量守恆。對能量的考量，也會發現能量會在粒子之間重新分配，但系統的總能量是守恆的。

       上述這些守恆律對分析物理系統的演化非常重要，但它們在遇到有電磁場時，或是需要考慮相對論效應時，就失效了。在《「力場」為何比「超距作用」更合理？》(物理雙月刊 2021 年 4 月號 「皮皮老師的物理心得」) 一文中，我們提到電荷會與電磁場交換能量與動量，使得 “電荷+電磁場” 的總系統的能量與動量守恆，但若單看電荷 (粒子) 與電磁場，它們的動量與能量都是不守恆的。另一方面，當我們認真考慮相對論時，前述那個粒子–粒子連線的超距作用 (action at a distance) 是不可能存在的。這是因為根據相對論，若有傳遞速度超過真空光速的某種影響在兩粒子之間發生，就總是可以找到兩個以不同速度相對於此兩粒子運動的參考系，他們會觀測到順序相反的因果關係。基於以上的分析，可知交互作用都是透過 “場” 而發生的，而場可以攜帶能量與動量。既然場可以攜帶能量與動量，而 “粒子+場” 系統的總能量與總動量是守恆的，這就表示能量與動量不是跨過空無一物的空間從一個粒子直接轉換到另一個粒子上，而是透過 “場” 而 “傳過去” 或 “流過去” 的。

根據電磁場的馬克斯威方程組 (Maxwell’s equations)，可以推出以下這個被稱為波印廷定理 (Poynting theorem) 的能量守恆律：

$$-\triangledown \cdot \vec{S}=\frac{\partial U}{\partial t}+P_{loss.}$$         (1)

此處$$\textit{U}$$代表電磁場的能量密度 (energy density)，$$\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}$$是波印廷向量 (Poynting vector)，代表 “能量流密度” (energy current density)，而$$P_{loss.}$$代表每單位時間於介質/材料中產生的熱能或是其它非電磁能量。對於一個被封閉曲面包住的體積，方程式 (1) 說的是：每單位時間通過此曲面流入體積中的電磁能量，有一些成為了體積中增加的電磁能量，剩下的轉換為熱能或其它非電磁能量。在波印廷向量的定義$$\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}$$中分別有電場$$\vec{E}$$與磁場$$\vec{H}$$這兩者通常具有不同的方向，而$$\vec{S}$$同時垂直於這兩個場。像 (1) 式這樣的公式描述的就是一種局域守恆律 (local conservation law)：公式中出現的每一個物理量 ($$\vec{S}$$，$$\textit{U}$$與$$P_{loss}$$)，都是在同一個空間點與時間點測得的。從局域守恆律也可以推導出總量的守恆律，但局域守恆律給出的細節更多，它可以給出能量或動量的明確來源與傳播途徑。

       將波印廷向量應用於說明真空中的光傳播 (light propagation) 時，可以從電磁波的橫波特性看出波印廷向量$$\vec{S}$$的指向就是電磁波 (光) 的傳播方向。這個結果很符合波印廷向量作為 “能量流密度” 的直觀詮釋。不過，對於不隨時間變化的電磁場，只要電場與磁場不平行，依然會在空間中有不為 0 的能流，這就會令許多人感到困惑了。以直流電流過一段圓柱形的導線為例，可知導線內外都有環繞著導線軸的磁場。導線內部的電場平行於導線軸與導線表面。至於導線的外面的是否有電場？一般而言在基礎的電磁學裡並沒有探討這個問題。在直流電路的問題裡，可以知道導線發熱消耗的能量來自於電池。這在本質上並沒有錯，但依據這個邏輯，人們常會不假思索地將電能的傳輸視為沿著導線流動的。根據波印廷定理 (公式 (1))，可以看出這並不正確。事實上，導線之外仍有電場，而同時有電場與磁場且兩者不同向，就有電磁能流。能量其實是從導線之外，穿過導線表面而流入導線之中的。這個圖像雖然有點難以置信，但它顧到了空間中每一處的能量流的平衡，是具有堅實的數學基礎的，而不是憑空想像的。不過，由於波印廷向量$$\vec{S}$$出現在公式 (1) 中是以散度 (divergence) 的形式出現的，而數學上有 “旋度 (curl) 的散度是 0” 的結果，因此，若藉著加一個向量場的旋度到$$\vec{S}$$之中去修改它的定義，的確有可能使得到的新定義更接近於 “電能沿導線輸送” 的結果，但無論是哪一種修改，都不能否認當電磁場變化的時候，有能量在導線外流動的事實。此外，修改的波印廷向量還有一些其它問題，比如跟相對論的某些要求 (羅倫茲協變性 Lorentz covariance) 不匹配等等。

       大約三年前，一個國際知名的科普頻道真理元素 (Veritasium) 的 Youtuber Derek Alexander Muller探討了一個有趣的問題：30 萬公里長的導線，當開關關上後，燈泡多久會亮？(參考網址：The Big Misconception About Electricity (youtube.com)) Muller的論斷就是基於波印廷向量的。這個影片出來後，吸引了其他科普名人 (包括李永樂老師以及ElectroBOOM 的 Mehdi Sadaghdar等) 加入了熱烈討論，並且做了一些實驗。Muller 也在與其他人 (主要是Sadaghdar) 的交流後對他之前沒講好與沒講清楚的部分做了更多說明。這些討論非常有趣，但很難三言兩語說清楚，推薦給有興趣的讀者們參考。

       局域守恆的概念當然不限於能量。事實上，從馬克斯威方程組也可以推出電磁動量的守恆律。不過，作為科普文章，電磁動量守恆律的相關公式顯得較為複雜，不太適合在此做詳細介紹。有興趣的讀者可參考 “費曼物理講義” 卷 II，第 27 章，或是 David J. Griffiths 的電磁學教科書 Introduction to Electrodynamics第 8 章 “Conservation Laws” 做更深入的了解。此外，在現代物理中，對守恆律的探討有更系統化的方法。通常守恆律會來自於物理系統的對稱性。這方面有個非常強大的諾特定理 (Noether’s Theorem) 值得好好介紹。我們將來再找機會回到這個主題。

(列表圖照片來自以下科普影片截圖：https://www.youtube.com/watch?v=bHIhgxav9LY）