從參考圓，相空間，到升降算符：聊聊簡諧運動

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簡諧運動 (Simple harmonic motion，簡稱 SHM) 或者稱簡諧振子 (simple harmonic oscillator，簡稱 SHO) ，大概是應用最廣的物理概念了。在力學振動系統、電磁波與聲波系統、LC（電感與電容）電路、分子振動、固體比熱、量子光學 (quantum optics)，甚至是量子場論 (quantum field theory) 與凝態物理 (condensed matter physics)，都可以看到諧振子物理的應用。

在高中階段，許多學生還沒有學過微分方程式，所以通常會用其它方法解簡諧振動的問題，通常用的是參考圓 (reference circle)。在量子力學裡解諧振子問題時，則至少有兩種方法。第一種是直接解諧振子問題的薛丁格方程式 (Schrodinger equation)，用的是解微分方程式邊界值問題 (boundary value problem) 的方法。第二種是將位置算符 (position operator) 與動量算符 (momentum operator) 先組合成上升算符 (raising operator) 與下降算符 (lowering operator)，然後藉著此兩算符的對易關係 (commutation relation) 以及「能量必須有最低值」，亦即能量有下邊界 (lower bound) 的條件，用代數方法得出量子化能階 (quantized energy levels)，以及如何藉著上升算符的重複作用，由基態 (ground state) 生成各激發態 (excited states)。一般量子力學教科書在使用上述升降算符解諧振子問題時，並不會特別解釋這兩個算符是怎麼想到的，而是直接寫出它們並推導所需的代數。事實上，量子諧振子的升降算符與古典諧振子的參考圓有非常密切的關聯。此篇文章就來跟讀者分享我對此問題的心得。

首先來看看參考圓的想法是怎麼來的。假定有一個質量為 \(m\)的物體連接於彈簧的一端，而彈簧的另一端固定，且這個系統置於一個摩擦力可忽略的平面上；此外，還假定彈簧本身的質量可忽略，且彈簧的伸長與縮短的幅度（振幅）不大，也就是彈簧的形變量在所謂「彈性限度」內。若將該物體平衡位置的座標定為\(x=0\)，且設彈力常數為\(k\)，則根據牛頓第二運動定律(Newton’s second law)與彈力的虎克定律(Hooke’s law)，在物體只受彈力作用時，其運動方程式為
\(m\ddot{x}=-kx\). (1)
上式 \(x\)代表物體的位移，也代表彈簧伸長量（若為負值則表示彈簧縮短），\(\ddot{x}=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\) 表示加速度，而負號表示彈性回復力 \(f_{r}=-kx\)的方向與位移方向相反。如果學過二階常係數微分方程式，可以直接解出上式的一般解為正弦函數\(\textrm{sin}\left(\omega t\right)\) 與餘弦函數 \(\textrm{cos}\left(\omega t\right)\) 的疊加，即 \(x(t)=A\textrm{cos}(\omega t)+B\textrm{sin}(\omega t)\)，其中 \(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\) 是此 SHO 振動的角頻率 (angular frequency)。

根據此一般解，可以推得振動速度 \(x(t)=A\rm{cos(\omega t)}+B\rm{sin}(\omega t)\)，然後將初始位置 (initial position) 與初始速度 (initial velocity) 的數值代入上兩式即可決定係數 \(A\) 與 \(B\)。若令 \(A=R\textrm{cos}\alpha\)，\(B=R\textrm{sin}\alpha\)，就可以把\(x(t)\) 寫成
\(x(t)=R\textrm{cos}(\omega t-\alpha)\). (2)
讓我們換一種方式來處理上述問題。根據 “力與加速度、速度、位移都是向量” 的想法，我們可以將上述一維 SHO 的問題化為一個二維的圓周運動問題，方法就是為方程式 (1) 補上一個 \(y\) 分量的方程式
\(m\ddot{y}=-ky\), (3)
並將方程式 (1) 視為這個二維運動的投影。

何以見得 (1) 與 (2) 的組合所描述的是圓周運動？在高中階段學到的圓周運動的向心力 ( centrifugal force) 公式通常寫成 \(F=\frac{R}{m\nu^{2}}\)，而 \(\nu=\frac{2\pi R}{T}=\omega R\) 是轉動的切線速率。這裡的\(R\) 是圓周半徑， \(T\) 是圓周運動的週期，而 \(\omega=\frac{2\pi}{T}\) 是角速度 (angular velocity)。因此，向心力可寫成 \(F=m\omega^{2}R\)，它的向量形式是
\(\mathop{F}\limits^{\rightarrow}=-m\omega^{2}\mathop{R}\limits^{\rightarrow}\). (4)
此處負號表示向心力的作用方向是沿 \(-\mathop{R}\limits^{\rightarrow}\) 方向。將 (1) 與 (3) 式視為 (4) 式的投影，就可以很明顯看出 SHM 是圓周運動的投影了。利用這個投影的概念，SHM 與圓周運動就可以與圓周運動直接對應起來，因此 SHM 的解答(方程式(2))就可以根據圓周運動寫下來。在這個對應中，(1) 式中的彈力常數 \(k\) 對應 (4) 式中的 \(m\omega^{2}\)，因此就有 \(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)，亦即 SHM 的角頻率就是圓周運動的角速度。

除了上述這種根據作用力的投影所得到的參考圓之外，也可以根據能量觀點將振盪問題化為旋轉問題。以振動速度 \(\dot{x}\) 乘以 (1) 式，可以推得力學能 (mechanical energy) \(E\) 守恆，寫成
\(E=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{m\omega^{2}x^{2}}{2}=\) 守恆量, (5)
其中 \(p=m\dot{x}\) 是 SHO 的動量。在古典力學裡，藉著引入一個含 \(x\) 軸與 \(p\) 軸的相空間 (phase space)，就可以將 SHM 描述為一個在相空間中繞橢圓軌跡的旋轉運動。選定一個參考能量 \(E_{0}>0\)，並用 \(X=\sqrt{\frac{m}{2E_{0}}}\omega x\) 與 \(P=\sqrt{\frac{1}{2mE_{0}}}p\) 取代原來的 \(x\) 與 \(p\)，(5) 式就改寫成
\(X^{2}+P^{2}=\frac{E}{E_{0}}\) . (6)
上述的軌跡是一個半徑為 \(R=\sqrt{\frac{E}{E_{0}}}\) 的圓形，因此 \(X-P\) 相空間的這個圓形軌跡可以視為對參考圓的第二種詮釋。

同時使用新的位置變數 \(X\) 與新的動量變數 \(P\) 描述 SHM 問題是很方便的。運動方程式 (1) 可改寫為 \(\dot{p}=-kx\)，而動量與速度的關係是 \(p=m\dot{x}\)，兩者用新的位置與動量變數 \(X\) 與 \(P\) 寫出來就是
\(\dot{X}=\omega P\), \(\dot{P}=-\omega X\). (7)
現在，定義一個複數 \(Z\) 為 \(Z=X+iP\)，就可以將 (7) 式的兩式合併為一個 \(Z\) 的一階微分方程式
\(\dot{Z}=-i\omega Z\). (8)
這個方程式的解是 \(Z(t)=Z(0)\textrm{exp}(-i\omega t)\)，在複數 \(Z\) 平面畫出一個半徑為 \(R=\left|Z(0)\right|=\sqrt{\frac{E}{E_{0}}}\) 的圓。因此，參考圓也可以被詮釋為這個複數平面上的圓。

利用約化普朗克常數 (reduced Planck constant) \(\hbar\)，可以湊出一個很自然的參考能量 \(E_{0}=\hbar\omega\)，如此得到的 \(X\) 與 \(P\) 變數分別為 \(X=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x\) 與 \(P=\sqrt{\frac{1}{2m\hbar\omega}}p\)。由它們組合而成的 \(Z\) 與它的複共軛 \(Z^{*}\) 分別是
\(Z=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x+\frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}p\), \(Z^{*}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}x-\frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}p\) , (9)
且系統能量 (5) 可以寫成
\(E=ℏωZ^* Z=ℏω|Z|^2\) . (10)

在量子版本的 SHO 裡，位置 \(x\) 與動量 \(p\) 都要改成對應的算符 \(\hat{x}\) 與 \(\hat{p}\)，而 (5) 式的能量 \(E\) 改成哈密頓算符 (Hamiltonian operator) \(\hat{H}\)。學習過量子版本 SHO 的讀者應該已經看出來了：變數 \(Z\) 與 \(Z^*\) 的量子版本就是下降算符 \(\hat{a}\) 與上升算符\(\hat{a}^{\dagger}\):
\(\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat{x}+\frac{i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat{p}\), \(\hat{a}^{\dagger}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\hat{x}+\frac{-i}{\sqrt{2m\hbar\omega}}\hat{p}\), (11)
而哈密頓算符可寫成
\(\hat{H}=\frac{\hbar\omega}{2}(\hat{a}^{\dagger}\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^{\dagger})=\hbar\omega(\hat{N}+\frac{1}{2})\). (12)
其中 \(\hat{N}=\hat{a}^{\dagger}\hat{a}\)是SHO 系統的數量算符 (number operator)，而 \(\hat{N}+\frac{1}{2}\)對應古典SHO 中的 “振幅平方”  \(\left|Z\right|^{2}\)。更明確一點說，\(Z\) 與 \(Z^*\) 對應的量子升降算符是在海森堡繪景 (Heisenberg picture) 之下的升降算符。

上述關於力學諧振系統的所有討論都可以很容易的推廣到此文章開頭提到的 LC 電路系統與波/場系統，而它們的量子版本也都可說是量子諧振子的推廣，但換了名稱。其中上升算符變成了創生算符 (creation operator)，而下降算符變成 湮滅算符 (annihilation operator)。只要深入理解諧振子，就不難理解這些類似的系統。在這些更複雜的系統裡，諧振子可能有很多個甚至無窮多個。不同的諧振子彼此可能還有複雜的交互作用，要用較繁複的數學方法分析。無論那些系統看起來多麼複雜，被物理學家稱為粒子或準粒子 (quasiparticle) 的那些東西，它們的原型 (prototype) 本質上還是某種諧振子，只是可能偽裝成我們不易認出它們的樣子。有關諧振子的故事還沒有講完，我們將來再找機會繼續談這個話題。