邁向解析力學之路第二集:縱情聲色的快樂學者:神童克萊羅

  • 阿文開講
  • 撰文者:高崇文
  • 發文日期:2024-02-15
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封面圖片來源:https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Alexis_Clairault.jpg

上一回阿文介紹了啟蒙運動的重要人物,達朗拜。他是理論力學邁向嚴謹體系的重要人物,阿文也提到達朗拜幾乎與當時重要的學者都吵過架。這一回就從最早與達朗拜發生爭吵,可以說,吵了一輩子的亞歷克西斯·克勞德·克萊羅(Alexis Claude Clairaut,1713年5月13日-1765年5月17日)說起。克萊羅也是力學發展中不能不提的重要人物,他的工作幫助確立了牛頓在1687 年《原理》中概述的原理和結果的有效性。他的眾多成就都是沿續牛頓的足跡而行,但是他卻能做到一些牛頓做不到的事情,這都要歸功於十八世紀微積分的長足進步。他對解析力學的建立有不可抹滅的功勳,就讓阿文為您細細道來。

克萊羅出生於法國巴黎,父母是讓-巴蒂斯特 (Jean-Baptiste) 和凱瑟琳·佩蒂特·克萊羅 (Catherine Petit Clairaut)。這對夫婦育有 20 個孩子,但只有非常少數能夠存活下來,這在當時乃是司空見慣之事。他的父親是一名數學教師,很早就發現亞歷克西斯是個數學神童。讓-巴蒂斯特·克萊羅自己在家裡教兒子,他制定了非常嚴苛的標準。亞歷克西斯在自己父親的指導下,數學能力進步地驚人迅速。他的啟蒙讀物是歐幾里德的《幾何原本》,九歲時就讀通了一本優秀的數學教科書《吉斯尼應用數學教科書》,該教科書很好地介紹了微分、積分以及解析幾何。大家別忘了,在那個時代,微積分還是只有少數頂尖學者才能夠一窺堂奧的高深學問呢!隔年,亞歷克西斯繼續研究德洛皮塔爾侯爵(Guillaume François Antoine, Marquis de l'Hôpit, 1661-1704)的著作,特別是他的著名著作《闡明曲線的無限小分析Analyze des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes》,讀了這麼多好書,早熟如他者自然也會開啟自己的研究。亞歷克西斯在十二歲時寫了一本關於四個幾何曲線的備忘錄。到了十三歲的時候,亞歷克西斯居然能夠在法蘭西學院朗讀一篇關於他先前發現的四條曲線性質的論文《Quatre problèmes sur de nouvelles courbes》。亞歷克西斯持續打破各項記錄,當他年僅16 歲時完成了一篇論文《雙曲率曲線研究(Recherches sur les courbes a double courbure)》,所謂雙曲率曲線指的是立體的三維曲線,它的曲率與扭率可以完全決定曲線的行為。這篇論文於1731年出版,使他得以進入皇家科學院,儘管他當時年僅18歲,遠遠低於可以進入科學院的法定年齡。有趣的是,三維歐氏空間中任意兩個點的距離與兩個點的卡氏座標的具體關係第一次被寫下來也是在這篇文章中!雖然畢氏定理有上千年歷史,笛卡兒發明解析幾何也已經百來年了,但是卻到此時才由克萊羅把這公式寫出來,也是有趣之事。克萊羅於1729年9月4日被推薦為法國科學院的會員,但國王路易十五直到1731年才確認他的選任。1731年7月,克萊羅成為有史以來法國科學院最年輕的院士。在那裡,他加入了由皮埃爾·路易斯·莫佩爾蒂領導的一個小團體,該團體支持牛頓的自然哲學。莫佩爾蒂比克萊羅大15歲,但儘管如此,33 歲的莫佩爾蒂也還算是學院的年輕成員。雖然牛頓的原理早在1687年就發表了,但是當時並不是所有的歐陸科學家都相信牛頓的理論,有些學者仍然寧願相信笛卡兒的渦旋理論。這群年輕人憑著優異的數學能力傲視學界,可以說是領一時風騷了。

克萊羅在1733年以約翰·白努利的風格撰寫了關於變分法的論文《Sur quelques questions de maximis et minimis》,並於同年發表了旋轉二次曲線(quadratic curves)測地線,這也是約翰·白努利研究過的主題。 1734年,克萊羅與莫佩爾蒂一起訪問巴塞爾,一起向約翰·白努利學習了幾個月。在巴塞爾的期間,克萊羅與塞繆爾·柯尼格(Johann Samuel König 1712 – 1757)成為了朋友,兩人後來透過信件持續進行了好幾年的科學合作。約在此時,克萊羅研究了現在稱為「克萊羅微分方程」的微分方程,除了方程的一般解之外還給出了特解。

1736 年 4 月 20 日至 1737 年 8 月 20 日,克萊羅參加了由莫佩爾蒂領導的拉普蘭探險隊,這次探險由巴黎科學院組織。拉普蘭是位於北歐北極圈內外的地區。這次探險的目的是估計高緯度子午線弧度,希望從幾何的角度來計算地球的形狀。先前,牛頓在他的《原理》一書中認為地球的形狀並非完美球形,而是稍微扁平的橢球體形狀;克萊羅與莫佩爾蒂試圖驗證牛頓的理論是否符合實況。在探險隊返回巴黎之前,克萊羅將他的計算結果發送給了英國皇家學會。這篇文章後來由皇家學會在 1736-37 年的旗艦刊物《哲學彙刊Philosophical Transactions》發表。在這篇文章中,他宣稱地球是扁橢球體,兩極較扁平,往赤道方向變寬,符合牛頓的主張,但是克萊羅在文章中概述了一些反駁牛頓關於地球形狀理論中某些計算有效性的關鍵問題,克萊羅證明了牛頓的方程式是如何不正確的,並且沒有證明地球真的是橢球體的形狀。克萊羅相信牛頓選擇他所選擇的形狀是有道理的,但他宣稱牛頓在《原理》中並沒有真的證明這一點。克萊羅在《哲學彙刊》的文章引起了很大爭議,因為他自認自己回答了地球形狀的問題,但卻幾乎沒有提供修正牛頓原始計算的解決方案。當時巴黎天文台台長卡西尼吉利主張地球是兩極長的橢球體,莫佩爾蒂團隊證明了卡西尼是錯的,這在當時引起軒然大波,我把這事留到講莫佩爾蒂時再細說。

克萊羅回到巴黎後持續他的數學工作,他在1739 年和 1740 年之間,發表了關於積分術的進一步研究,發明了可以尋找積分因子來求一階微分方程的解,約翰·白努利、雷諾和尤拉也對這個主題感興趣。 克萊羅在1741 年還出版了一本名為《幾何元素Elements de géometrie》的書。 這本書概述了幾何的基本概念。 1700 年代,幾何普遍被認為是一個枯燥的話題。 克萊羅看到了這個趨勢,激發他寫了這本書,試圖讓一般學習者來說幾何可以很有趣。 他認為,與其讓學生重複解決他們不完全理解的問題,不如讓他們以主動、體驗式的方式去學習,自己動手去發現。他透過比較幾何形狀和土地測量來開始這本書,因為這是大多數人都能了解的主題。 他的主題涵蓋線條、形狀,甚至一些立體物體。 在整本書中,他不斷地將物理和其他數學分支等不同概念與幾何聯繫起來。 書中概述的一些理論和學習方法至今仍被教師在幾何和其他主題中使用。在《Elements de géometrie》的序言中,克萊羅給出了他撰寫這本書的目標:

我打算回到幾何學的起源。我試圖透過用足夠自然的方法來發展它的原理,讓人們甚至以為發明幾何學的人所用的方法正是這個方法,只是試圖避免他們犯過的任何錯誤的步驟

克萊羅除了這本幾何教科書之外,還寫了另外一本關於代數的書Elements d'algèbre於1749 年出版。在Elements de géometrie的序言中,克萊羅寫出了這本書的目標:

我打算回到代數學的起源。 我試圖透過一種足夠自然的方法來發展它的原理,以便人們可以認為它與幾何學第一個發明者的方法相同,只是試圖避免他們可能不得不採取的任何錯誤步驟

這本代數書是一本更具學術性的著作,將主題上升到四次方程式的解。他試圖證明為什麼引入代數符號是必要且不可避免的,並且取得巨大成功。這本書多年來一直用於法國學校的教學。

1742 年,克萊羅發表了一篇關於動力學的重要著作,也就在此時,他與達朗拜開始交惡,因為達朗敗也寫了一本類似的書!接下來,克萊羅終於將注意力轉向了先前他沒有完成的地球形狀問題。一年後克萊羅完成了他的計算,出版了論文《關於地球形狀的理論Théorie de lafigure de la terre》(1743)。在這篇論文中,他提出了「克萊羅定理」,該定理將旋轉橢球體表面上各點的重力與緯度還有橢球的橢圓率(ellipticity)聯繫起來。這種地球形狀的流體靜力模型是根據蘇格蘭數學家科林·麥克勞林(Colin Maclaurin)的一篇論文建立的,這篇論文證明,圍繞通過其質心的旋轉軸旋轉的大量均勻流體,在其組成粒子相互吸引力的影響下,會變成橢球體。假設地球是由均勻密度的同心橢球殼組成,克萊羅定理能夠透過表面重力測量的結果來計算地球的橢圓率。由此證實了地球形狀是扁橢球體的理論。 1849年,英國學者喬治·斯托克斯 (George Stokes) 進一步證明,無論地球的內部結構或密度如何,只要地球表面是一個橢圓率夠小的橢球體(spheroid),而且滿足靜力平衡的話,克萊羅的結果都是正確的。

在完成《關於地球形狀的理論Théorie de lafigure de la terre》之後,克萊羅於1745年開始研究三體問題,特別是月球軌道問題。 18 世紀最具爭議的問題之一正是三體問題,即地球、月球和太陽如何相互吸引。透過使用萊布尼茨發明的微積分,克萊羅企圖使用四個微分方程式來解決這個問題;另一個問題也是三體問題的一部份,就是月球遠地點的進動運動問題。如果只考慮地球與月球的話,月球的軌道是一個漂亮的橢圓,遠地點與近地點應該是固定的,但是因為太陽龐大的質量,所以月球的軌道會受到來自太陽的強大重力影響,所以遠地點與近地點這些所謂的拱點會產生進動。但即使是牛頓,也只能解釋月球拱點進動運動約一半的值,這個問題讓天文學家備感困惑。月球拱點進動問題在歐洲是一個激烈爭論的話題。與克萊羅一起,還有另外兩位數學家,尤拉和達朗拜也都競相為三體問題提供解釋。

克萊羅工作了一陣子之後,居然得出的第一個結論是牛頓的平方反比定律需要修正!在這一點上,克萊羅得到了尤拉的支持,尤拉在得知克萊羅的結論後,於 1747 年 9 月 30 日寫信給他:

我可以提供幾個證明,證明作用在月球上的力並不完全遵循牛頓定律,而你從遠地點的運動中得出的證明是最引人注目的…

克萊羅在尤拉的支持下更加自信,於 1747 年 11 月 15 日向巴黎學院宣布牛頓的平方反比重力定律是錯誤的! 就在克萊羅宣布這一消息之前,達朗拜向學院也提交了一份文件,表明他的計算與克萊羅的計算一致。克萊羅建議重力定律需要多添加一項,而尤拉同意克萊羅在他之前就發現了平方反比定律中的錯誤。牛頓定律不正確的宣布讓許多笛卡兒的支持者欣喜若狂,甚至連尤拉也動搖了。當然也有些人攻擊克萊羅的聲明,例如:布豐,他使用了基於簡單的平方反比定律的形上學論證。但是事情接下來卻發生一百八十度的轉變。到了 1748 年春天,克萊羅意識到觀測的月球遠地點運動與理論預測之間的差異是由於近似產生的誤差。1749 年 5 月 17 日,克萊羅向學院宣布,他將其近似算到第三階,隨即發現結果與觀察結果相符。他現在的理論與平方反比定律一致。然後,達朗拜和尤拉花了一段時間努力重複他的計算。克萊羅寫信給他的朋友加布里埃爾·克萊默:

……達朗拜和尤拉對我得出新結果的策略一無所知。後者兩次寫信告訴我,他為找到與我相同的東西而付出了徒勞的努力,並懇求我告訴他我是如何找到這些東西的。我或多或少告訴了他這一切是怎麼回事…

尤拉始終覺得他沒有正確理解克萊羅到底是怎麼找到解答的,因此他試圖通過讓聖彼得堡學院將月球遠點進動問題當作1752 年的獎項主題來引誘克萊羅把解答完整詳盡地寫下來。尤拉的策略還真的奏效了,克萊羅提交了這篇文章讓尤拉充分理解了克萊羅的方法。尤拉表明他自己沒有解決這個問題是多麼令他感到沮喪,他寫信給克萊羅,稱讚他的結果是:

……數學史上最重要、最深刻的發現。

克萊羅於 1752 年出版了《月球理論》(Théorie de la lune ),這部著作連同兩年後出版的月相表,完成了他對這一特定問題的研究。《月球理論》在性質上是嚴格的牛頓主義的。隨後在 1754 年,他使用離散傅立葉變換的形式計算了一些月球表。解決三體問題最重要的意義還不僅僅在於證明牛頓定律的正確性。解開三體的問題也具有實際意義。它使水手能夠確定船隻的經度,這不僅對於航行到某個地點至關重要,而且對於水手找到回家的路也至關重要。

克萊羅隨後撰寫了有關月球軌道以及受行星攝動影響的彗星運動(特別是哈雷彗星路徑)的多篇論文。他也利用應用數學研究金星,精確測量金星的大小和離地球的距離。這是行星大小的首次精確計算。但是真的讓他聲名大噪的,還是由他與拉朗德(Jérome Lalande) 及著名女數學家勒波特( Nicole Reine Lepaute )組成的團隊,成功計算出 1759 年哈雷彗星返回的日期。克萊羅決定運用他在三體問題方面的知識來計算哈雷彗星的軌道,從而預測其返回的確切日期。這需要比月球問題更精確的近似值。他計算出 1759 年哈雷彗星將在一個月內返回近日點。 他於 1758 年 11 月 14 日向巴黎科學院宣布了他的結果,即哈雷彗星將於 1759 年 4 月 15 日到達近日點,而實際的近日點日期是 3 月 13 日。 當彗星出現時,距離預計日期僅一個月,克萊羅獲得了公眾的廣泛讚譽。有人建議以克萊羅彗星的名字重新命名這顆彗星,克萊羅彗星被稱為「新泰勒斯」。(泰勒斯是古代希臘第一位哲學家,傳說他正確地預測了日蝕發生的時間而聞名)

克萊羅在向聖彼得堡科學院提交 1762 年獲獎論文時使用了不同的方法,從而提高了精確度。他在這項工作中算出來哈雷彗星是在 3 月 30 日到達近日點,考慮到木星和土星擾動的問題複雜性,這是非常傑出的結果。

克萊羅和達朗拜之間再一次就這項彗星工作發生了爭論。當克萊羅為達朗拜的書撰寫評論時,其中包含月球表,正如漢金斯 (Hankins) 所描寫的:

他(克萊羅)並沒有公開敵視,而是採取了一種高高在上的師父教導弟子的語氣。 他讚揚了達朗拜出色的分析能力,但表示他的表格沒什麼用處——至少與克萊羅自己的表格相比是如此。

在對像達朗拜這樣專注於理論而忽略實驗人的攻擊中,克萊羅寫道:

為了避免精密的實驗或長時間繁瑣的計算,為了取代更省事的分析方法,他們常常做出一些在自然界中根本不適用的假設;他們追求與他們原先設定的目標無關的數學理論,其實只要堅持不懈地執行一個非常簡單的方法就能讓他達到原先的目標。
當達朗拜攻擊克萊羅對三體問題的解決方案過於倚賴觀察,而不是像他的工作那樣,基於純粹的理論,克萊羅在他們一生中最激烈的爭論中強烈攻擊了達朗拜。很難判斷這兩位偉大的數學家誰是正確的,但克萊羅在對哈雷彗星返回日期的非凡預測之後,地位水漲船高,顯然克萊羅贏得了當時學界的輿論支持。
克萊羅還對一個主題有所貢獻,就是光的像差。當他從拉普蘭探險隊開始,他就對這個主題有相當透徹的了解。這是由於他發現行星和彗星的觀測結果與理論計算有所偏差,他必須進行修正。他對使用由兩種不同類型玻璃製成的透鏡來改進望遠鏡設計的想法特別感興趣。克萊羅就這個主題撰寫了一些重要的回憶錄,還進行了一些光學實驗。可惜在這項工作尚未完成時,他就過世了。克萊羅終生雖未婚,但與難相處的達朗拜不同,克萊羅以多彩多姿的社交生活而聞名。他在巴黎的眾多沙龍中受到女性的歡迎,甚至到了阻礙他科學工作的程度。克萊羅在1765年一病不起,在巴黎去世,享年52 歲。

達朗拜的學生查爾斯·博蘇特(Charles Bossut 1730-1814)後來評論說:「克萊羅很專注在吃飯和夜生活,加上他對女性的「活潑品味」,並試圖將樂趣融入到日常工作中,讓他失去了休息、健康,最後在52 歲就失去了生命。」不過阿文說句公道話,能夠盡情享受人生,還能做出這麼多了不起的結果,就算天不假命,也是不虛此生啦!

參考資料 :
(一)中文 英文 法文維基相關條目
(二)O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Alexis Clairaut", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews