頭文字背後的人生(二): WKB

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上一回阿文介紹了量子場論中的LSZ化約公式背後的三位科學家，這一次我們把時代往前推個二十年，來談談量子力學中眾人皆知的WKB近似法，這個近似法是以德國科學家格雷戈爾·溫特澤爾（Gregor Wentzel，1898年－1978年）、荷蘭科學家漢斯·克拉默斯(Hans Kramers, 1894年 – 1952年) 和法國科學家萊昂·布里淵（Léon Nicolas Brillouin，1889年－1969年）三人姓氏的頭文字來命名。他們三人在完全不知道彼此也在從事相同研究的狀況下，於1926年成功地開發出一個非常有用的近似法可以處理薛丁格方程式。薛丁格方程式的嚴格解隨著不同的位能而不同，有些情況下嚴格解甚至沒有解析形式，但只要假設波幅或相位的變化很慢的條件下，就能寫出波函數的近似解。尤其它可以找到波函數在古典轉向點的近似解答並以此得到有解的特定條件，居然就是先前索末非提出的「量子化條件」。

有趣的是，早在1923年，數學家哈羅德·傑弗里斯就已經發展出二階線性微分方程式的一般近似法。這個方法當然也適用於薛丁格方程式，因為薛丁格方程式也是一個二階微分方程式。可是，薛丁格方程式的出現比哈羅德·傑弗里斯提出近似法晚了兩年多。所以哈羅德·傑弗里斯當然不知道薛丁格方程式。而三位物理學家各自獨立地在做WKB近似的研究時，似乎都不知道這個更早的研究。所以物理界提到這近似方法時，常常會忽略了傑弗里斯所做的貢獻。更有趣的是這方法在荷蘭稱為KWB近似，因為克拉默斯是荷蘭人;在法國稱為BWK近似，因為布里淵是法國人，只有在英國，它被稱為JWKB近似!由於哈羅德·傑弗里斯在阿文介紹科普立獎的系列中介紹過，這裡就不提了，還請有興趣的讀者去參考「科普利獎章得主的物理學家群像(八) 上窮碧落下黃泉」一文。我們就照次序，從W先開始吧。

格雷戈爾·溫特澤爾（Gregor Wentzel)於1898年出生於德國杜塞爾多夫。1916 年，溫特澤爾進入弗萊堡大學攻讀數學和物理。 1917 年至 1918 年，第一次世界大戰期間，他在武裝部隊服役。隨後，他在弗萊堡繼續接受教育，直到 1919 年前往格賴夫斯瓦爾德大學。 1920年，他做了一個重大的決定，就是前往慕尼黑路德維希·馬克西米利安大學（LMU）師從量子大師，阿諾·索末菲（Arnold Sommerfeld）。

一抵達慕尼黑，溫特澤爾馬上就去見了索末菲，要求參加索末非有名的研討會，結果索末非馬上被分配一個任務給他當作測試，這個任務就是講解德拜剛發表的一篇關於永久電偶極造成色散的論文。沒有太多背景訓練的溫特澤爾實在看不懂，這下子心慌了，幸好他跑去找索末菲的助手包立求救，詢問他該怎麼辦。 包立說：“快去讀聖經吧。”包立口中的聖經，指的是索末非的那本經典《原子結構與光譜線 (Atombau und Spektrallinien)》。 溫特澤爾立刻照辦。後來溫特澤爾在研討會的演講果然非常成功，因為他堅持用不同的方法得出德拜的結果，這讓索末菲留下了深刻的印象。 沒多久溫特澤爾很快就成為索末非門的博士生了。其實包利比溫特澤爾小兩歲，但是他早在1918年就在慕尼黑了!溫特澤爾於 1921 年獲得博士學位，並於 1922 年取得了他的教授資格。他留下來繼續在 慕尼黑大學 擔任講師，直到 1926 年被任命為萊比錫大學數學物理學非講座教授。他在1924年寫了一篇非常有趣的論文，與後來費恩曼發展出來的路徑積分公式有異曲同工之妙，特別是他強調”波”沿著不同路徑的干涉是量子物理與古典物理差異的源頭，可惜這個想法沒有得到重視，溫特澤爾也沒有繼續發展，實在可惜。

1926 年當薛丁格發表他的波動力學之後，溫特澤爾和克拉默斯和 布里淵獨立開發了後來被稱為 Wentzel-Kramers-Brillouin 近似的方法。溫特澤爾後來在口述歷史中回憶說 WKB近似法的這篇論文當時受到了慕尼黑那群數學家的嚴厲批評，他們不斷地問，鑑於無窮遠處存在本質奇點，如何才能完成所有這些輪廓積分。 索末菲對此也很不滿意，不確定這個方法是否正確。 溫特澤爾非常努力地試圖擺脫本質奇點來證明這個方法的合理性，但未能成功。 儘管如此，他完全確定自己的結果是正確的，因為結果非常地好! 特別是，他對二階斯塔克效應的計算感到很得意，因為用WKB法得到與舊的結果不一樣的常數因子。後來證實他用WKB得到的結果是正確的，溫特澤爾將這個常數因子視為自己人生真正的勝利之一。溫特澤爾回憶時堅稱，他這個工作是完全獨立於布里淵，儘管他在巴黎已經結識了布里淵，還時不時就見到他，但是完全不知道對方也在做一模一樣的研究。

1928 年，溫特澤爾接替埃爾文·薛丁格，成為蘇黎世大學理論物理學系主任，同年他在慕尼黑大學的前輩，沃爾夫岡·包立被任命為蘇黎世聯邦理工學院(ETH)的正教授。就這樣， 溫特澤爾和包立共同打造蘇黎世成當時理論物理學的中心之一。其實溫特澤爾除了拿到蘇黎世的教職外，實際上他還拿到了其他幾個地方的教職。 特別是，他在哈勒大學獲得了教授職位。 由於哈勒大學算是萊比錫大學大學的對手，兩校算是鄰居，而且哈勒大學歷史悠久，它是1817年由兩所大學合併的德國大學，一所是1502年成立的威登堡大學，另一所則於1694年創立的哈勒大學。為了留住他，萊比錫大學向他提供了“Personliches Ordinarius”，即一項任命，賦予他頭銜，但不授予他通常的德國教授職位的講座，因為發明量子力學的海森堡是講座教授!所以溫特澤爾寧為雞首，勿為牛尾，倒也開創了一片天。

溫特澤爾把索末非的課程 整個搬到蘇黎世去，整體課程是傳統的六個學期課程，每週四小時。 溫特澤爾自己開設了兩個學期的力學（包括流體力學）、一學期的熱力學和動力學理論、一學期的電磁理論、一學期的光學和一學期的量子力學。 此外，他每週還提供兩個小時的進階的課程，主題則是依照上學期索做的課程調查來決定。 正如已經提到的，這些講座不僅在第一次進行時需要做大量的準備，而且在第二次也同樣需要做大量的準備。 溫特澤爾與 妻子安妮Anna Lauretta Wielich 也在此時在蘇黎世結婚，他唯一的孩子 Donat Wentzel 於 1934 年出生，他後來成為馬里蘭大學的天文學教授。繁忙的教學再加上家庭生活的負擔，溫特澤爾的研究速度就顯著地變慢。

在蘇黎世，溫特澤爾 的主要同事有包立 、Scherrer、Edgar Meyer、Richard Bär。 這些人有些在大學，有些在ETH。 大學裡的學生大多來自瑞士本地。 但是溫特澤爾的研究生大部分卻來自全歐各地，像他早期的研究生，陽·菲舍爾（Jan Fischer）就是來自捷克。華倫泰·巴格曼（Valentine Bargmann)來自柏林， 尼古拉斯·克默爾，（Nicholas Kemmer)是俄羅斯出生的德裔英國核物理學家，克默爾後來在英國的核武計畫扮演吃重的角色。溫特澤爾的第一位瑞士研究生是提出Firez 恆等式的Markus Eduard Fierz。

1948年，溫特澤爾離開歐洲，前去美國芝加哥大學擔任教授。 他於 1970 年退休之後就前往瑞士阿斯科納，在那裡度過晚年。1975年，溫特澤爾被授予馬克斯·普朗克獎章。三年後溫特澤爾在阿斯科納過世，享壽八十。

接下來要介紹的是K所代表:亨德里克·安東尼·“漢斯”·克拉默斯（Hendrik Anthony "Hans" Kramers，1894年-1952年）。漢斯·克拉默斯 (Hans Kramers) 於 1894 年 12 月 17 日出生於鹿特丹。 他的父親亨德里克·克拉默斯 (Hendrik Kramers) 是醫生。克拉默斯1912年進入萊頓大學（University of Leiden）學習數學和物理。 他於1914年10月27日獲得了第一個學位。第一次世界大戰在幾個月前爆發，整個歐洲都都受到波及。 荷蘭雖然在一戰期間保持中立，但是過去人才在全歐趴趴走，自由流通的勝況不再，克拉默斯只能留在了萊頓。1916年，在保羅·埃倫費斯特（Paul Ehrenfest）的帶領下繼續進行理論物理研究，同時他也被任命為阿納姆（Arnhem）文法學校的老師。 1916年6月7日，他從萊頓獲得了相當於碩士學位的學位。

接下來，克拉默斯認為他需要國際經驗，他本來想選擇在哥廷根向馬克斯·波恩（Max Born）學習，然而當時戰事正酣，尤其西線陷入地獄般的壕溝戰，所以他只能放棄這個想法，另覓去處。當時丹麥與荷蘭一樣都是中立國，因此克萊默斯決定前往哥本哈根，並向尼爾斯·波爾學習。 但是就算要去丹麥也不容易，陸路不可行，就算是要搭船去，也是非常兇險，不要忘了，第一次世界大戰中最大規模，以及史上參戰戰艦數量最龐大的海戰:日德蘭海戰就發生在一個禮拜前!(1916年5月31日–6月1日)。 儘管如此，乘船還是相對安全的選擇，因此克拉默斯選擇了海路。 在未經通知波爾的情況下他到達哥本哈根，自己找上波爾。幸好波爾還是同意讓克拉默斯留在哥本哈根當學生，並在他的指導下寫了他的博士學位論文。事實上，選擇找波爾是相當大膽的決定，因為尼爾斯·波爾（Niels Bohr）剛在1916年4月被任命為哥本哈根大學的理論物理學講座。他之前在英國曼徹斯特大學。他是在1916年夏天，即克拉默斯到達之前不久才回到哥本哈根。但是很快地，克拉默斯就成為波爾最得力的助手，也成為發展量子理論的急先鋒。他運用波爾所謂的「對應原則」研究光譜學，他的博士論文主題就是研究靜電場下的氫原子光譜:《光譜線強度：關於量子理論在精細結構組分的相對強度和原子的斯塔克效應上的應用》(Intensities of spectral lines: On the application of the quantum theory to the problem of the relative intensities of the components of the fine structure and of the Stark effect of the lines of the hydrogen spectrum)。在他的論文中，他對外部電場中氫原子的情況進行了詳細的計算。這使他對斯塔克效應的強度有了令人滿意的解釋（約翰內斯·斯塔克於1913年發現）。克拉默斯的計算還包括精細結構的影響，其中涉及相對論動能的校正以及電子自旋與軌道之間的耦合。雖然論文都是在哥本哈根完成的，發表在丹麥皇家科學院的備忘錄中(Memoirs of the Royal Danish Academy of Sciences and Letters. )。但是他還是提交論文給萊頓大學，於1919年5月8日獲得博士學位，同年，他被任命為尼爾斯·波爾的助手，成為波爾的第一任助手。

1920年，理論物理研究所在哥本哈根成立，成為當時研究量子物理的聖地，而克拉默斯更是活躍異常，拜訪哥本哈根的包立曾酸溜溜地講過:波爾是唯一的神，而克拉默斯是祂的先知。酸歸酸，但是也頗為傳達當時哥本哈根研究所的氣氛。1924年3月，包立的師弟，維爾納·海森堡（Werner Heisenberg）參觀了哥本哈根理論物理研究所。克拉默斯在此期間正在研究色散的量子理論，海森堡與克拉默斯還共同發表了一篇長文。該理論被普遍認為是海森堡矩陣力學的重要先驅。 至於為什麼克拉默斯沒有發展出矩陣力學，反倒是海森堡後來居上，這個故事很長，阿文日後將另外撰文，請各位看官屆時務必賞光。

克拉默斯於1926年回到荷蘭，當時他在烏得勒支大學（University of Utrecht）擔任理論物理學教授。就在此時發也發展出與溫徹特爾相同的近似法出來。由於克拉默斯對索末非的量子化規則瞭若指掌，想來也不奇怪。除此之外，他還於1931年被任命為臺夫特理工大學(Technische Universiteit Delft）的教授。1933年，他出版了《量子力學基礎》(Die Grundlagen der Quantentheorie)，成為經典著作。它由克拉默斯大學的前學生德克·特·哈爾（Dirk ter Haar）翻譯成英語，並於1957年以《量子力學》的形式出版。

1933年，萊頓大學理論物理學教授，也是克拉默斯名義上的指導教授，保羅·埃倫費斯特（Paul Ehrenfest）自殺身亡。於是克拉默斯隔年被任命接替埃倫費斯特，並辭去了烏得勒支的職位，但繼續擔任台夫特理工大學的物理系主任。第二次世界大戰爆發後，德國軍隊在1940年春季迅速擊破荷蘭軍隊而佔領了整個荷蘭。萊頓大學在1941年被德國占領當局關閉，因為學生們抗議佔領當局解僱他們的猶太教授。克拉默斯和其他教授一樣，不得不找別的工作來維生。他成為Bataafsche Petroleum Maatschappij的顧問，Bataafsche Petroleum Maatschappij是由Shell Transport和荷蘭皇家石油公司合併而成的荷蘭最大的公司之一。克拉默斯每週一次去公司在阿姆斯特丹的辦公室。 1941年10月，德國人頒布法令，禁止任何猶太人成為非營利組織的成員。克拉默斯隨後辭退在荷蘭皇家科學院的席次，抗議猶太人被排除在科學院之外。克拉默斯在二戰時努力保護猶太裔同事的故事，阿文也要另外撰文，請各位稍待。

第二次世界大戰後，克拉默斯當選為聯合國官方國際原子能委員會技術小組委員會主席。他還組織了使用荷蘭鈾和挪威重水建造核反應堆的工作，並且他是建立物質基礎研究基金會的主要參與者之一。
克拉默斯因他的傑出貢獻而獲得許多榮譽，如果他不早逝，他肯定會獲得更多榮譽。事實上，他被提名諾貝爾獎六次，波爾還提名了他兩次，主要的原因是他提出再重整化這個概念，可惜天不假命，他只活了五十八歲，與諾貝爾獎擦肩而過。

最後一位要介紹的是萊昂·尼古拉斯·布里淵（Léon Nicolas Brillouin，1889年8月7日－1969年10月4日）。 布里淵出生於法國巴黎附近的塞夫爾，他的父親馬塞爾·布里淵、外祖父埃勒泰爾·馬斯卡特和外曾祖父查爾斯·布里淵(Charles Auguste Briot)都是物理學家。他的父親還是第一批被邀請參加索爾維會議的6名法國物理學家之一。可以說是物理世家了。1908 年至 1912 年間，布里淵在巴黎高等師範學院學習物理學。 從 1911 年起，他師從尚·佩蘭(Jean Perrin)。尚·佩蘭研究液體中細小懸浮粒子的布朗運動，驗證了愛因斯坦對此現象的解釋，進而確認了物質的原子本質。他也因此成就於1926年獲頒諾貝爾物理學獎。布里淵於1912 年前往慕尼黑大學跟隨索末菲 學習理論物理學。 就在布里淵到達慕尼黑大學的幾個月前，馬克斯·馮·勞厄進行了有名的晶格 X 射線繞射實驗，對波動一直深感興趣的他對此印象格外深刻。1913年，他回到法國，在巴黎大學內攻讀學位。巴黎高等師範沒有頒發學位的權利，學位是由巴黎索爾本大學頒發的。 沒多久第一次世界大戰爆發，他在軍隊服役期間，與 G. A. Beauvais 一起開發電子管放大器。 戰爭結束後，他回到巴黎大學繼續跟隨保羅·朗之萬 (Paul Langevin) ，並於 1920 年拿到博士學位。布里淵的論文評審團由朗之萬、瑪麗·斯克沃多夫斯卡·居禮和尚佩蘭組成，他的論文主題是固體的量子理論。 在他的論文中，他提出了一個基於透過其傳播的原子振動（聲子）的狀態方程式。 他也研究了單色光波的傳播及其與聲波的相互作用，即隨頻率變化的光散射，稱為布里淵散射。布里淵獲得博士學位後，成為重組後的《物理學與鐳雜誌Journal de Physique et le Radium. 》的科學秘書。這段時間他結識了未來第七任的德布羅依公爵，照布里淵的回憶，其實早在1922年，德布羅依就萌生了物質波的概念。1926年，他獨立開發了WKB方法，鑑於他對波動現象的強烈興趣，這似乎是理所當然的發展。1928年，亨利·龐加萊研究所成立後，布里淵被任命為理論物理系主任教授。 在研究電子波在晶格中傳播的過程中，他於1930 年引入了布里淵區（Brillouin zone）的概念。這讓布里淵被譽為現代固體物理學的奠基人。

布里淵和尤金·維格納發展出量子力學的微擾動理論得到所謂的「布里淵-維格納公式」。布里淵-維格納公式是透過二階應用來計算氦原子和氫分子離子的基態能量。 二階布里淵-維格納結果通常優於瑞利-薛丁格方法的結果1932年，他成為法蘭西學院物理實驗室副主任。
自從布里淵與索末菲一起研究以來，他就對色散介質中電磁輻射的繞射深感興趣，從此投身於這方面的研究，成為此中翹楚。作為無線電波傳播方面的專家，布里淵在 1939 年 8 月與德國開戰前一個月左右被任命為法國國營機構 Radiodiffusion Nationale 的總幹事。1940 年 5 月，法國第三共和崩潰後，他身為第三共和政府的一員，跟著退守到維琪。 六個月後，他辭職前往美國。直到1942 年，布里淵一直擔任威斯康辛大學麥迪遜分校的客座教授，然後到布朗大學擔任教授，直到1943 年。在接下來的兩年裡，他擔任國防部的研究科學家哥倫比亞大學研究委員會，從事雷達相關領域的工作。接著在 1947年至1949年之間他擔任哈佛大學應用數學教授。 1952 年至 1954 年間，他在紐約波基普西的 IBM 公司工作，並擔任哥倫比亞大學 IBM 沃森實驗室的工作人員。 1954年，他成為哥倫比亞大學的兼任教授。 從 1957 年起，他成為《資訊與控制》雜誌的創始編輯，並擔任該雜誌的三名(後來擴充成四名)編輯之一，直到 1966 年。他曾被提名諾貝爾獎八次，其中兩次還是第七任德布羅伊公爵提名的，可惜始終沒有機會得獎。他一直住在紐約市，直到 1969 年去世。享壽八十。

WKB這三位科學家可以算是第一批嘗試將剛出爐的量子力學應用到各項領域的生力軍。他們對薛丁格方程式相關的數學十分熟稔，所以馬上就發展出好用又有用的近似法。他們後來也都成為將量子力學的疆域擴張到固態物理，光學，乃至於量子輻射理論的重要推手。從WKB頭文字開始，我們等於側寫了量子力學展枝開花結實的一段物理史，物理是許多不同訓練，不同想法的人共同營造出來的巴別塔，WKB可以說是一個好例子呢。

參考資料:
(一)中文 德文 荷文 法文維基相規條目
(二)S.Antoci, D.-E.Liebscher. The Third Way to Quantum Mechanics is the Forgotten First. Annales Fond.Broglie, 21, 1996, S. 349
(三)Interview of Gregor Wentzel by Thomas S. Kuhn on 1964 February 3 to 5,Niels Bohr Library & Archives, American Institute of Physics,College Park, MD USA
(四)Interview of Felix Bloch by thomas S. Kuhn on 1964 May 14,
Niels Bohr Library & Archives, American Institute of Physics,
College Park, MD USA,