終極紊流熱對流

近期一個槽中流體從下方加熱並從上方冷卻的模型系統之研究，為紊流熱對流的物理提供深刻的見解，但要把系統提升到極強的紊流依舊很困難。

熱驅動(thermally driven)的紊流(turbulent flow)在自然界與技術裡隨處可見，這種流不止傳輸(transport)熱，也傳輸質量和動量。理解何者決定這種傳輸，是了解眾多地球物理與天文物理流，以及能控制工業與人們每天所經歷的更一般流之關鍵。

此羽狀結構見於一個剪切、熱驅動、紊流Rayleigh–Bénard原胞(cell)的數值模擬，從原胞的下平板上方以淺角度觀看，顏色標示溫度的變化。(圖片提供：Twente大學Alexander Blass)

地球物理的流包括大氣層與海洋中的熱傳輸，其決定了天氣、氣候、洋流與冰架的熔化；天文物理的範例包含恆星與行星內核與外層的熱傳輸；工業的例子有化學反應爐與電解，以及其它能量轉換環境的熱傳輸。在人類尺度，人們最直接在他們控制溫度的建築物、房間與車內感受到熱傳輸。

在所有這些系統中的基本問題是，「有多少熱量、質量或動量是透過系統來轉移呢？」直接的測量很難做，因為幾何(結構)通常很複雜，熱也許會散溢出系統，邊界條件可能不是完全已知或控制良好，並且考慮到系統的長度尺度，總體量測也不大可能，此外，若不知道確切的實驗邊界條件，也無法進行直接數值模擬(direct numerical simulation，DNS)。

鑒於這些困難，我們的目標應該是透過簡單的模型系統，由此將傳輸性質外推至相關流動來了解真實系統。不過發展這些模型需要對系統的深度了解，尤其是當系統從一個狀態經歷轉捩(transition)到另一個狀態時，例如從似層流(laminar-like)態到紊流態，此時流動的傳輸性質會發生劇烈變化，因此辨識這類系統中不同狀態之間的可能轉捩是關鍵。

研究熱驅動流最著名也最常使用的模型當屬Rayleigh–Bénard(RB)系統，它的組成為一個在高度L封閉槽內的流，透過熱底板從下方均勻地加熱，並透過冷頂板從上方均勻冷卻，這個流被較輕流體(通常較熱，浮力使之上升)與較重流體(通常較冷並下沉)之間的密度差驅使。圖1為強熱驅動流場的實驗與數值快照(其量化在下文)，闡述流的複雜性以及所演變稱為「紊流風」(wind of turbulence)的大尺度結構(參閱Leo Kadanoff於Physics Today的文章，2001年8月號第34頁)。

圖1、實驗紊流結構的3維視覺化 (a)於半圓柱Rayleigh–Bénard 原胞(cell)內，直徑對高度的寬高比 Γ = ½ 、Rayleigh數 Ra = 1.5 × 109，而Prandtl 數 Pr ≈ 0.7(定義見正文)。粒子軌跡揭露具典型速度U的主要大尺度對流中的小紊流結構，這裡所畫的為速度垂直分量 U_z，以所謂的自由落體速度U_"f" ≡√β∆gL 歸一化。(改編自P. Godbersen et al., Phys. Rev. Fluids 6, 110509, 2021) (b) 圓柱對流原胞的完全解析直接數值模擬的截面快照，其中Ra = 1013、 Pr = 1、與  Γ = 1/2，顯示變化範圍從0(原胞頂)到1(原胞底)的無因次溫度場 T，它揭露微小的分離羽狀結構。(圖片提供：Twente大學Richard Stevens，依據羅馬第二大學Roberto Verzicco所開發的進階有限差分程式)

RB對流一直都是發展新概念的熱門遊樂場――像是不穩定性(instabilities)、非線性動力學、及時空的混沌與模式(pattern)之湧現(emergence)1。對於非常弱的驅動力，系統僅有少數自由度，可利用幾個耦合的常微分方程式來描述；隨著驅動力增加，系統獲得更多的自由度並最後變成紊流2,3。RB範例（不僅應用在熱傳導）應用（亦可利用）在密度差所（來）驅動的熱與質量傳遞，例如：上方為較重鹽水而下方為較輕淡水的系統，可見於海洋及工業應用。

這範例能普及有幾個理由：基本的動力學方程如Navier–Stokes方程式、平流–擴散方程式(advection–diffusion equation)及連續方程式等，分別為動量、能量及質量守恆的結果，各自的邊界條件已知，因此系統在數學上有良好定義。RB系統是封閉的，因此可推導出力與耗散(dissipation)之間精確的總體平衡。它也有各種對稱性，像是時間與空間平移對稱、旋轉對稱，還有溫差足夠小時的上–下反射對稱(top–bottom reflection symmetry)等，這些都讓它對理論方法有吸引力。又因為其簡單的幾何，在熱驅動不是太強的情況下，系統能夠進行可控的實驗以及直接數值模擬。

無因次數在紊流RB對流中最相關的問題是：熱傳輸(即時間與面積平均的垂直熱通量，以無因次形式的Nusselt數Nu表示，為對流與傳導的熱傳遞之比值)如何取決於系統3個無因次的控制參數？這些參數為Rayleigh數Ra，熱板與冷板之間的無因次溫差∆，即熱驅動強度；Prandtl數Pr，動量擴散率對熱擴散率之比值；以及寬高比Γ，容器的寬度對高度之比值。

上面方格列出了自然界與技術中的典型Ra與Pr值，Nu與Reynolds數Re (慣性力對黏滯力的比)都與Ra、Pr及Γ有關。傳統上它們的相依關係(dependency)尋求（遵循）標度律(scaling law)的形式：Nu~Ra^γ Pr^δ 及 Re~Ra^ξ Pr^η。在過去至少60年間，研究人員一直嘗試去測量和理解這些相依關係^2,3，而在過去30年，他們從系統的直接數值模擬得到幫助。

古典區間(classical regime)
Rayleigh數至Ra~10¹¹的區間，在過去30年已於許多實驗室變得可行，現在被認為是紊流RB對流的古典區間，研究人員在各個實驗與數值模擬間達到廣泛的一致性。圖2顯示1/2 ≲ Γ ≲ 1圓柱原胞中的Nu(Ra,Pr)，Prandtl數於6個數量級變化(10⁻³ ≤ Pr ≤ 10³)。研究人員對這個區間有相當好的理解，這要感謝Siegfried Grossmann與我們其中一人(Lohse) 所發展的壁約束紊流(wall-bounded turbulence)的統一理論方法⁴，它被稱為GL理論，建立在Ludwig Prandtl、Heinrich Blasius、Andrey Kolmogorov及 Sergei Obukhov的想法。

圖2、熱傳輸，以無因次的Nusselt數(Nu，對流對傳導的熱傳遞之比)參數化，與系統的控制參數Rayleigh數Ra及Prandtl數Pr有關。這裡除上Ra^(1⁄3)再畫圖，以致差異更能被看見，顏色代表Prandtl數相依性(dependence)。這些實驗及數值的數據點於1997到2020年間由不同研究團隊取得，其中大部分會在本文被討論及引用。實線是對不同Prandtl數利用Rayleigh–Bénard紊流的Grossmann–Lohse統一理論產生⁴。

這個統一理論使用兩個精確的方程式，直接從Navier–Stokes方程式(速度場u("x",t)，驅動力為溫度造成的浮力)與平流方程式(溫度場θ("x",t))的體積分與散度理論得到，這裡 "x"  代表空間座標，t為時間。（屏除掉密度）假設材料性質、密度與溫度無關，時間及體積平均的黏滯耗散率與熱耗散率兩個方程式分別為：

ε_u≡ν⟨(∂_i u_j (x ,t))² ⟩_V=ν³/L⁴ (Nu-1)RaPr^-2 與
ε_θ≡κ⟨(∂_i θ(x ,t))² ⟩_V=κ ∆²/L² Nu

這些方程式非常重要，因為它們將體積平均的量(ε_u和ε_θ)與垂直熱傳輸Nu連結起來。GL理論的基本假設是，紊流核心(流的主體)內部的物理和邊界層(boundary layers，BLs)的物理有基本上的不同，如圖3a-3b所示，因此，時間及體積平均的黏滯和熱耗散率包含兩個部分，即

ε_u=ε_u,BL+ε_u,bulk (1)
與
ε_θ=ε_θ,BL+ε_θ,bulk (2)

圖3、Rayleigh–Bénard流與沿平板平行流之間的類比。(a-c)在紊流Rayleigh–Bénard對流中，流的核心部分始終是紊流(Kolmogorov紊流)，而沿著壁的流速降到0，如a圖各側大小遞減的藍色箭頭表示。隨著熱驅動強度增加(換言之，Rayleigh數Ra增加)，邊界層(BLs)從層流Prandtl–Blasius型BL(速度圖以藍色繪製)變化為紊流Prandtl–von Kármán型BL(紅)，不同情形有不同熱傳輸(以Nusselt數Nu表示)對Ra 的相依關係，分別在c圖中以藍線、紅線顯示。(d-f) 沿平板平行流也有類似層流與紊流BL之間的轉捩，各具不同的表面摩擦(skin-friction)係數對Reynolds數Re之相依關係，分別於f圖中以藍線紅線表示。

由於本體與邊界層的物理不同，它們的標度行為也不盡相同，進而排除傳統上對整個Ra、Pr範圍純標度行為Nu~Ra^γ Pr^δ與Re~Ra^ξ Pr^η的假設。

方程式1、2的4個貢獻如何標度呢？在紊流本體(bulk)裡，黏滯與熱耗散率ε_(u,bulk)、ε_(θ,bulk)遵循1941年紊流(Kolmogorov紊流)的Kolmogorov–Obukhov 標度關係，若紊流風速為U及平板間溫差為 Δ，暗示著 ε_(u,bulk)~U^3/L 與 ε_(θ,bulk)~∆^2 U/L。但這些標度關係在壁附近的邊界層不成立，這裡與黏滯性和熱擴散率有關，只要驅動不是太強，當流體以相對低的速度流動，黏滯耗散率與熱耗散率 ε_(u,bulk)、ε_(θ,bulk)會根據沿固體水平板發展的層流型邊界層的Prandtl–Blasius理論來標度。(參閱John D. Anderson Jr的文章，Physics Today 2005年12月號第42頁。)

方程式1和2中壁約束紊流分成兩個區域，可透過類比1904年Prandtl的基本見解來理解。平板周圍的勢流(potential flow，或伯努利流Bernoulli flow)無法靠近平板本身，必須與完全不同物理及標度關係的邊界層相匹配，依這樣的洞見，Prandtl得到阻力與觀測Reynolds數之相依性，如圖3d-3f所示。GL理論延續相同的精神，不過是對壁約束紊流的情形，外層流不是伯努利型，而是Kolmogorov–Obukhov型。

GL理論在參考文獻2與4裡有詳細說明。理論描述實驗與數值上觀測的Nu(Ra,Pr) 和 Re(Ra,Pr)與六個數量級的Ra、Pr之相依關係，直到 Ra~10^11。理論證明它在Ra、Pr參數範圍的預測能力，這些範圍到後來才有測量進行：香港中文大學夏克清(Ke-Qing Xia)教授的團隊測量大的Pr 值，而德國赫姆霍茲德勒斯-登羅森多夫中心(Helmholtz-Zentrum Dresden-Rossendorf，HZDR) 的Sven Eckert、俄羅斯彼爾姆理工大學(Polytechnical University of Perm)的Peter Frick與美國UCLA的Jonathan Aurnou的團隊測量小的值。

GL理論的關鍵想法――即從精確的總體平衡方程式出發，將耗散率分解成邊界層與本體的貢獻――是相當普遍的，它也能成功應用到其它各種紊流，像是內部加熱紊流、雙擴散對流(流速和溫度及鹽度耦合)、水平對流，以及磁流體動力學驅動的紊流。

大Ra實驗

在熱驅動非常大、超過Ra ~ 10¹¹的情況，如圖2所示，Nu (Ra, Pr) 的實驗結果似乎彼此矛盾：在非常類似的Pr，Nu(Ra)相依關係於不同的實驗大不相同。對於大的Ra，直接數值模擬因為系統有多個自由度，變得愈來愈難以執行，需要極精細的計算網格來跑這些模擬。然而許多應用包括地質與天文物理的環境等，特別感興趣的是大Ra的極限，因此要如何從實驗室尺度及較小Ra之數值模擬的見解外推，並估計地球與天文物理尺度的熱傳輸與紊流強度呢？要如何進行非常大Ra值的實驗來擴展RB系統呢？

為展開大Ra區間的實驗研究，芝加哥大學Albert Libchaber與同事們在RB系統使用接近臨界點的氦氣，因為它具有非常低的動黏滯係數及熱導率，他和他的合作者⁵在1989年達到Ra~ 10¹⁴。Bernard Castaing、Philippe Roche與合作者在法國格勒諾布爾(Grenoble)繼續這方面的研究，1997年Castaing及合作者在約Ra ~ 10¹¹發現一個轉捩⁶，有效標度變為更陡的Nu~Ra^0.38，指數比低Ra所見大許多(後者有效標度指數從未超過1/3)，他們將這個新區間稱為「終極的」(ultimate)。

Roche與合作者在後來的工作中，發現轉捩Rayleigh數的變化可高達Ra ~ 10¹³，主要取決於原胞的寬高比與Prandtl數⁷，這個轉捩也從相同轉捩Rayleigh數邊界層之波動累積得到證明，支持轉捩與邊界層不穩定性有關的觀點——意味著，在這新的區間，本體與邊界層流皆是紊流。

奧勒岡大學的Russell Donnelly與合作者們遵循Libchaber的路徑，利用靠近其臨界點的氦氣作為工作流體⁸，不過他們提高了RB原胞高度，達到甚至更大的Ra~ 10¹⁵。然而，這些實驗卻沒有辨識出有到Nu標度相依性增強之區間的轉捩，團隊成員Joseph Niemela 與 Katepalli Sreenivasan⁹，還有Ladislav Skrbek及合作者¹⁰所進行的後續實驗也沒有標度指數變大區間的證據。

Guenter Ahlers 與 Eberhard Bodenschatz提出了另一種想法，用加壓的六氟化硫(SF6)作為工作流體來達到非常大的Ra。在RB實驗使用加壓SF6的好處是，系統在非常大的Ra範圍仍保持大致相同的Pr⁠。德國哥廷根Max Planck 動力學與自組織研究所的Ahlers、Bodenschatz及合作者們以加壓到19巴(bar)的SF6進行他們的實驗，其中Pr大約維持在0.7，2012年他們觀察到Ra ~ 10¹⁴有一個進入終極RB區間的轉捩，並且寬高比相依性與Grenoble的結果一致。Nu對Ra的相依在轉捩之上比之下更陡，可用一個有效標度律 Nu~Ra^0.38來描述(參閱參考文獻11及哥廷根團隊後來的論文)。這急遽的轉捩不僅出現在Nu，也在Re中發現，且始終在相同的Ra，這個觀察也支持了RB原胞內基本的流轉捩之看法。

典型Grenoble數據集(Ra ~ 10¹¹出現轉捩，標度指數增加)、典型奧勒岡數據集(沒有轉捩)與典型哥廷根數據集(Ra ~ 1014出現轉捩)在大Ra區間的不一致可見於圖2，是什麼造成這些大Ra實驗的觀測差異呢，即使控制參數非常類似？目前這還是個懸而未解的問題。

終極紊流區間
關於終極區間的存在，理論有什麼說法？早在1962年Robert Kraichnan就提出RB對流的終極區間¹²並假設完全紊流的邊界層，而在此邊界層Nu與Re之間存有一定的標度關係。他得到Nu~Ra^1⁄2 Pr^1⁄2，加上對數修正，請留意，在終極區間任何情況Nu都不能快過 Ra^1⁄2。此上限被Louis N. Howard於1963年嚴格證明為 Nu-1≤CRa^1⁄2 (比任何Nu的實驗或數值數據都大上許多)¹³，其中C為常數√3/8，其他研究者隨後在稍小的C值驗證了這個上限¹⁴。

熱對流的GL理論也提出了一個終極區間⁴：對夠大的驅動強度，層流Prandtl–Blasius邊界層(顯示於圖3a)應會變得不穩定而轉捩成紊流邊界層，即所謂的Prandtl–von Kármán邊界層(圖3b)，這種轉捩直接類比平板周圍邊界層的層流–紊流轉捩，如圖3d-3e或管內所示。這些轉捩是亞臨界的(subcritical)，代表轉捩期間不同狀態共存，並有所謂的非正規(nonnormal)與非線性特徵，其中非正規指線性算子(linear operator)的本徵向量(eigenvector)為非正交(nonorthogonal)。這種轉捩擁有雙閥值(double-threshold)行為：它們可在剪切力夠強、干擾(如小的壁粗糙度或平板的熱不均勻性)夠大而觸發時出現¹⁵。

一般來說，這種平行壁流剪切不穩定性的起始發生在剪切Reynolds數Res超過約420的值(近一世紀前由Walter Tollmien所估算)，GL理論採用Tollmien的值作為剪切不穩定性起始的標準指引(對 Γ ~ 1)，當然，儘管RB流於槽中的例子，流並不會嚴格平行於壁面。對Pr ≈ 0.7 及 Γ ~ 1，RB對流終極區間起始的臨界Rayleigh數⁴預估約為10¹⁴，但考慮轉捩的雙閥值特徵，對不同的小干擾，轉捩可能會更早或更晚。在更大的Pr或更小的Γ，臨界Rayleigh數增加。

我們該預期終極區間的Nu(Ra,Pr)相依關係為何呢？積分紊流邊界層的能量耗散率¹⁶，我們得到Nu~Ra^1/2 Pr^1/2/(log (Ra))²，這在今天實驗可達的區間暗示著大約Nu~Ra^^0.38的有效標度。

接著要如何調解Nu(Ra,Pr) 於Ra > 10¹¹各個看似矛盾的測量結果(圖2為證)？與管流及其它剪切流的類比對研究人員很有幫助，而在過去幾年，他們提出了一些有趣的建議，說明觀察到的終極區間轉捩的Rayleigh數為何會取決於不同實驗的細節。關鍵想法由Roche於2020年提出⁷，由於邊界的強大局部剪切力，可在此例中實現轉捩的亞臨界本質，也就是具有上述雙閥值行為，並為剪切流轉捩的典型特徵¹⁵。

轉捩的亞臨界本質意味著多種狀態可以共存，還有轉捩是”遲滯”的(hysteretic，即它與系統的歷史有關)，對於夠強的剪切力，甚至很小的干擾都能觸發層流至紊流的轉捩(注意圖3c與圖3f之間的類比)。它的解釋有潛力能調解轉捩發生時的不同觀測及不一樣的Rayleigh數值。

雖然RB紊流到終極紊流區間的轉捩正被激烈討論，但沒有人有異議它與Taylor–Couette (TC)紊流的關係¹⁷。TC系統――兩個同軸旋轉或反向旋轉的圓柱，之間存有流體――有時被稱為RB型態的雙胞胎，因為這兩種系統之間有許多相似之處¹⁸，RB與TC之間的類比在終極區間也成立，從夠大驅動強度驅使的TC紊流所有實驗與數值模擬都觀察到這一點。

在TC流比RB流更容易得到夠大的驅動強度，這反映了一個事實，TC流的機械驅動比RB流的熱驅動更有效率。同樣地，人們應當也會預期有管流、平行對流及其它系統的終極區間，如果懷疑任何這些流的終極區間的存在，那麼人們必須想出一個機制，讓邊界層的層流在任意大的驅動強度保持層流，而到紊流的轉捩被壓抑。坦白說，我們沒看到這種機制會是什麼。

那麼RB流終極區間的爭議該如何解決呢？鑒於實行更大的實驗與數值模擬會非常困難且價格昂貴，一個有希望的可能途徑是進一步探索與平板周圍(或管流)層流至紊流轉捩的類比(如圖3說明)，在兩種情形中，研究人員從詳細分析不同強度干擾之生命期得到結論：轉捩可被解釋為一個定向的滲流轉捩(percolation transition)¹⁵， 這種轉捩在物理中相當普遍，它也可以應用在，例如，疾病傳播的流行病學模型。人們可懷抱希望類比實驗(如管流)及相應的數值模擬(包括改變Prandtl數的)能將進一步闡明到終極區間的迷人轉捩。

至關重要的問題：研究人員必須了解如何將熱通量從可控的實驗室尺度實驗外推到地球物理環境相關的尺度，而終極區間轉捩的發生與否，將會改變幾個數量級的熱通量。不過氣候模型與海洋的熱環流模型，及它們對熔化冰川、營養傳輸與臨界點預測的影響，顯然需要更高的精確度與可信度。

本文傳達的科學見解來自三十多年來與同事們、博士後研究們、博士生們之間的合作與交流，我們感謝所有人的貢獻，以及我們在一起工作時享受的知性愉悅。我們感謝Dennis van Gils對圖表的幫忙。

References
1. E. Bodenschatz, W. Pesch, G. Ahlers, Annu. Rev. Fluid Mech. 32, 709 (2000).
2. G. Ahlers, S. Grossmann, D. Lohse, Rev. Mod. Phys. 81, 503 (2009).
3. D. Lohse, K.-Q. Xia, Annu. Rev. Fluid Mech. 42, 335 (2010); F. Chillà, J. Schumacher, Eur. Phys. J. E 35, 58 (2012); K.-Q. Xia, Theor. Appl. Mech. Lett. 3, 052001 (2013); O. Shishkina, Phys. Rev. Fluids 6, 090502 (2021).
4. S. Grossmann, D. Lohse, J. Fluid Mech. 407, 27 (2000); S. Grossmann, D. Lohse, Phys. Rev. Lett. 86, 3316 (2001); R. J. A. M. Stevens et al., J. Fluid Mech. 730, 295 (2013).
5. B. Castaing et al., J. Fluid Mech. 204, 1 (1989).
6. X. Chavanne et al., Phys. Rev. Lett. 79, 3648 (1997).
7. P.-E. Roche, New J. Phys. 22, 073056 (2020); P.-E. Roche et al., New J. Phys. 12, 085014 (2010).
8. J. J. Niemela et al., Nature 404, 837 (2000).
9. J. J. Niemela, K. R. Sreenivasan, J. Fluid Mech. 481, 355 (2003).
10. P. Urban et al., New J. Phys. 16, 053042 (2014).
11. G. Ahlers et al., New J. Phys. 14, 103012 (2012); X. He et al., Phys. Rev. Lett. 108, 024502 (2012).
12. R. H. Kraichnan, Phys. Fluids 5, 1374 (1962).
13. L. N. Howard, J. Fluid Mech. 17, 405 (1963).
14. F. H. Busse, Rep. Prog. Phys. 41, 1929 (1978); C. R. Doering, P. Constantin, Phys. Rev. E 53, 5957 (1996).
15. P. Manneville, Mech. Eng. Rev. 3, 15 (2016); M. Avila, D. Barkley, B. Hof, Annu. Rev. Fluid Mech. 55, 575 (2023).
16. S. Grossmann, D. Lohse, Phys. Fluids 23, 045108 (2011).
17. S. Grossmann, D. Lohse, C. Sun, Annu. Rev. Fluid Mech. 48, 53 (2016).
18. F. H. Busse, Physics 5, 4 (2012).

本文感謝Physics Today (American Institute of Physics) 同意物理雙月刊進行中文翻譯並授權刊登。原文刊登並收錄於Physics Today, Nov. 2023雜誌內 (Physics Today 76,11, 26–32 (2023); https://doi.org/10.1063/PT.3.5341)。原文作者：Detlef Lohse; Olga Shishkina。中文編譯：張鳳吟，國立陽明交通大學物理學系博士。

Physics Bimonthly (The Physics Society of Taiwan) appreciates Physics Today (American Institute of Physics) authorizing Physics Bimonthly to translate and reprint in Mandarin. The article is contributed by Detlef Lohse; Olga Shishkina and was published in (Physics Today 76,11, 26–32 (2023); https://doi.org/10.1063/PT.3.5341). The article in Mandarin is translated and edited by F. Y, Chang, National Yang Ming Chiao Tung University.