古典物理系統中的拓樸相與拓樸邊界態 - 物理專文 - 新聞訊息

古典物理系統中的拓樸相與拓樸邊界態

物理專文

撰文者：欒丕綱

發文日期：2022-12-01

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本文介紹拓樸不變量與體－邊界對應（bulk-edge correspondence）原理在非量子系統中的呈現方式。包括卷繞數、札克相、陳數，與拓樸極化等不變量，以及對應的拓樸邊界態都給出直觀而詳細的解釋。文末以兩個力學系統實例展示上述概念的應用。

引言

最近十幾年以來，拓樸材料（topological materials）的研究引起廣泛的關注。相關研究不但出現在凝態物理系統[1-9]，也延伸至奈米光子學[10]、電路學[11]、力學超穎材料（mechanical metamaterials）[12]，甚至是聲學[13]、彈性力學[14]，以及哈密頓力學（Hamiltonian mechanics）的研究中[15]。三位研究凝態拓樸現象的物理學家獲得了2016年的諾貝爾物理學獎，使此類研究受到了更多的注目[16]。

拓樸物理主要奠基於體－邊界對應（bulkedge correspondence）的原理，即：當一個拓樸不平庸的材料與拓樸平庸的材料連接時，在兩材料連接的邊界處會有拓樸保護的邊緣態（topologically protected edge states）。材料的拓樸特性是靠拓樸不變量（topological invariants）來區分的，它可以從能帶（頻帶）所提供的資訊中萃取出來。所謂拓樸保護，是指當我們連續調整此系統裡的各參數，或是在邊界附近引入少量雜質，只要拓樸不變量沒有改變，就不會影響邊緣態的存在性[1-4]。

一維系統常用的拓樸不變量是卷繞數（winding number）[4] 或札克相（Zak phase）[3,17,18]，邊界態是界面局域態（interface state）或疇壁（domain wall）[4]。二維材料常見的拓樸不變量是陳數（Chern number）或 $\mathbf{Z_2}$ 不變量（$Z_2$ invariant），邊緣態分別是手徵邊緣態（chiraledge state）與螺旋邊緣態（helical edge state）[1-6]。此外，利用兩相接材料各自提供“ 半個” 拓樸不變量，也可以“ 湊” 成整數個拓樸不變量（陳數）以達到拓樸保護效果，形成谷邊緣態（valley edge state）[19]。此外，也有基於系統對稱性而出現的高階拓樸態（higher order topological state），例如角態（corner state）[20]，它的拓樸不變量是由卷繞數或札克相[18] 推廣至二維而得的拓樸極化（topological polarization）[21]。

雖然拓樸材料研究的起源是像整數量子霍爾效應（Integer quantum Hall effect）這類量子系統的研究，但其拓樸本質與量子力學無直接關係。目前多數的拓樸材料研究主要是跟能帶/ 頻帶理論有關。在過去，人們借助於光子晶體頻帶的計算而得知光波在週期結構中的傳播特性，用以設計光子晶體波導與共振腔（resonant cavity）。拓樸物理的研究驅使人們進一步去發掘各頻帶本身所攜帶的拓樸資訊，以作為探討新物理現象的依據。這些研究常常是先有數學，再找適當的系統去實現那些數學結論。使用相似的數學方法，可以對各種系統的拓樸相（topological phases）與有關現象做出預測與解釋。雖然如此，不同系統所呈現出的現象依然令人感到驚奇，而且通常是不採用拓樸觀點就很難發現的。下一節起將介紹幾個常見的拓樸不變量以及相關的基本拓樸模型，然後探討這些不變量與模型是如何被應用於拓樸物理的研究中。

卷繞數與SSH 模型

卷繞數或許是最簡單的拓樸不變量，它的意義是：沿著一條封閉曲線走完整條曲線時，一共環繞某個參考點幾圈（逆時針為正，順時針為負）。選參考點為原點 $O$，連一直線到曲線點$P$，就得到點 $P$ 的位置方位角（azimuthal angle）$\theta$（弳度）。沿曲線移動 $P$，記錄 $\theta$ 的總變化量並除以 $2 \pi$，就得到卷繞數 $n_w$。當原點落在曲線內時，$\theta$ 增加量一定是 $2 \pi$ 的（非$0$）整數倍，得到 $n_w \neq 0$。若原點在曲線以外，$\theta$ 會在一個小於 $ \pi$ 的弳度範圍內來回變化，其總累積量為 $0$，卷繞數因此也是 $0$。

圖 1: 根據參考點 (黑點) 與封閉曲線的繞法可以得到卷繞數。逆時針繞為正值,順時針繞為負值。

SSH 模型（1D Su-Schrieffer-Hegger model）就是以卷繞數為拓樸不變量的一個重要模型，它是定義在一條長鏈上的緊束縛模型（tight-binding model），具有偶數（$2N$）個格點（原子），而電子在格點間跳躍，每次只能跳一步。兩個相鄰格點（編號 $2n-1$ 與$2n$）配成一對，形成一（第 $n$）個晶胞（cell），而電子在晶胞內（intracell）與晶胞間（intercell）的躍遷強度分別為 $v$ 與 $w$（設為正實數）。

圖 2. 開鏈形式的 SSH 模型 (此圖引用自 [4] 第一章)

SSH 系統的量子態可以表示為 $| \Psi \rangle = [a_1, b_1, a_2, b_2, \cdots , a_N ,b_N]^t$，而 $a_n$ 與 $b_n$ 代表第 $n$ 個晶胞內兩格點上電子的機率振幅（probabilityamplitudes）。若此長鏈為開鏈（以 $N=3$ 為例），則哈密頓量（Hamiltonian，即能量算符）表示為[4]：$$\hat{H}= \begin{bmatrix} 0 & v & 0 & 0 & 0 & 0 \\ v & 0 & w & 0 & 0 & 0 \\ 0 & w & 0 & v & 0 & 0 \\ 0 & 0 & v & 0 & w & 0 \\ 0 & 0 & 0 & w & 0 & v \\ 0 & 0 & 0 & 0 & v & 0 \end{bmatrix} \hspace{2cm}(1)$$

其中矩陣的行或列編號是按 $ 1_a,1_b, 2_a,2_b, \cdots , N_a ,N_b$ 順序排列。解不含時間的定態（stationary state）薛丁格方程式 $ \hat{H}| \Psi \rangle = E | \Psi \rangle$ 就得到開鏈SSH 模型的能譜 $E(v,w)$ 與定態 $ | \Phi \rangle =[a_1,b_1,a_2,b_2, \cdots , a_N, b_N]^t $。這些定態包含駐波形式的體態（bulk states）與集中在長鏈兩端的邊界態，而沒有行進波形式的體態。

若引入第 $1$ 與第 $2n$ 號格點間的晶胞間躍遷 $w$（此時 $ \hat{H}$ 矩陣增加兩個非 $0$ 分量：$ H_{1,6}=H_{6,1}=w$），就形成閉鏈，如此就有行進波定態。引入波向量（波數）$k$，則根據布洛赫定理（Bloch theorem），各晶胞格點的波函數可寫成 $a_n(k)=a(k)e^{ikn}$，$b_n(k)=b(k)e^{ikn}$。此時 $\hat{H}$ 可替換為參數化的哈密頓量 $ \hat{H}(k)$：$$H(k)= \begin{bmatrix} 0 & v+we^{-ika} \\ v+we^{ika} & 0 \end{bmatrix} = d_x \sigma_x +d_y \sigma_y \hspace{1cm}(2)$$

其中 $\sigma_x= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ 與 $\sigma_y= \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$ 是包立矩陣（Pauli matrices）的前兩個，而$$d_x=v+w \cos k , d_y = w \sin k \hspace{1cm} (3)$$

構成一個平面向量 $ \vec{d}=(d_x,d_y)$，其長度為 $d= \sqrt{d_x^2+d_y^2}$。當我們變動 $k$，使其掃過整個布里淵區（Brillouin zone），即 $ ( -\pi , \pi ) $ 區間時， 向量的軌跡是一個圓心在 $ (v,0) $ ，半徑為 $w$ 的圓。將原點視為參考點，$ \vec{d}$ 向量軌跡視為定義卷繞數的曲線，會發現當 $v w$ 時 $n_w = 0$。

參數化哈密頓量 $ \hat{H}(k)$ 給出的能譜是：$$ E(k)= \pm \sqrt{v^2+w^2+2vw \cos k}=\pm d(k) \hspace{1cm}(4)$$

這恰好是 $ \vec{d}(k)$ 向量長度的正值與負值，給出兩個能帶。若 $v \neq w$，（4）給出一個寬度為 $E_g = 2|w − v|$ 的能隙。當長鏈非常長（$N$ 很大）時，開鏈與閉鏈的能譜是彼此吻合的，但有一個可能的例外，那就是當 $v < w$ 時，開鏈會有零能量（$E = 0$）的邊界態。開鏈的非邊界態駐波體態可以視為往左右兩方傳播且等振幅的兩行進波的疊加。由於此模型中的電子往左右跳躍的傾向沒有差別，亦即具有反射對稱（inversion symmetry），因此波向量 $k$ 與 $−k$ 的兩個行進波有相同能量，而它們的等量疊加就形成一個開鏈的駐波體態。

圖 3. 上圖:閉鍊 SSH 模型的能譜。由 (a) 與 (c) 有相同能譜,但卷繞數分別是 1 與 0。(b)為相轉變點,無法定義卷繞數。下圖左:開鏈 (40 個晶胞) SSH 模型的能譜 (設 $w=1$)。下圖右之上與中,是兩個簡併的 $E=0$ 拓樸邊界態 (設 \(v

邊界態的成因可以藉著想像 $v \rightarrow 0$ 的極端情況而理解。此時晶胞內的“ 橋” 斷了。在 $a$ 格點的電子只能跳往左邊晶胞的 $b$ 格點，而在 $b$ 格點的電子只能跳往右邊晶胞的 $a$ 格點。若電子恰好在第 $1$ 或第 $2N$ 號格點處，它將沒有機會跳走，而被永遠鎖在原處，這就是極端情況下的邊界態。當 $v$ 的數值略大於 0，但仍保持 $v < w$，計算可知在邊界附近仍會出現波振幅隨距離指數衰減的邊界態，且此時卷繞數 $n_w = 1$。當 $v = w$ 時，有 $E_g = 2|w − v| = 0$，即能隙消失了，此狀況無法定義卷繞數。當 $v$ 增至 $v > w$，邊界態消失，此時卷繞數 $n_w = 0$。

像上述 SSH 模型這樣從 $v < w$ 轉換到 $v > w$，在 $v = w$ 時能隙閉合，再重新打開，而拓樸不變量發生跳躍式變化的情況，就是拓樸相變的一個具體例子。在相變點（$v = w$）兩側是兩種不同的拓樸相。當我們把具有不同拓樸相的同類系統連接在一起時，在交界處會有拓樸保護的邊界態，這就是體－邊界對應的原理。

貝瑞相、札克相、陳數、拓樸極化，與拓樸模型

卷繞數比較特殊，通常只能應用在像 SSH 模型這類的緊束縛系統中。要判斷兩個一維光子晶體交界處是否有拓樸邊界態，可以檢查札克相。這是根據一維周期系統的能帶/ 頻帶本徵態計算而得的一種貝瑞相（Berry phase）[1-4]。每一個頻帶都有它自己的札克相，基本上可以是任意值。然而，當一維系統的晶胞具有反射對稱性時，札克相只會出現兩個可能值：$ 0$ 與 $\pi$。根據[17]，若界面兩側的光子晶體晶胞都具有反射對稱性，且藉著微調各層材料的厚度與材料參數（介電常數 $\epsilon$ 與磁導率 $\mu$），可以從一側光子晶體漸變為另一側的光子晶體。參數的漸變使頻隙先關閉再打開，變成另一側光子晶體的頻隙。若頻隙上下的兩個頻帶本來有札克相0與π，當頻隙關閉再重新打開後，兩頻帶的扎克相彼此交換，變成 $\pi$ 與 $0$，這就實現了拓樸相變。根據體－邊界對應就知道界面處會出現一個頻率落在頻隙內的界面態。

對於一個被 $ \vec{R} = (R_1,R_2, \cdots , R_N)$ 參數化的哈密頓量 $ \hat{H}( \vec{R})= \hat{H}(R_1,R_2, \cdots , R_N)$，當 $\vec{R}$ 在參數空間繞一圈回到出發點時，雖然 $ \hat{H}(\vec{R})$ 會回復原值，但是它的本徵態會攜帶一個跟參數路徑有關的相位，這就是貝瑞相[1,3,4]。札克（J. Zak）[22] 首先意識到，能帶系統中的波向量 $\vec{k}$ 可以扮演參數向量 $ \vec{R}$ 的角色。布里淵區（Brillouin zone）兩端可以視為同一點（一維布里淵區可視為一個環），如此就可以計算能帶的貝瑞相，而這就是札克相。札克發現這種貝瑞相正比於瓦尼爾函數（Wannier function）的中心點座標。瓦尼爾函數是在布里淵區裡把布洛赫波函數（Bloch wave function）對波向量積分而得到的週期分布的波包（wave packets），每個晶胞分配到一個波包。當一維週期系統的晶胞具有反射對稱性時，此種波包的中心只可能坐落在晶胞中心或連續兩晶胞的交界處。而這結果等價於札克相只能取 $0$ 與 $\pi$ 兩種值[22]。

札克相的概念後來被推廣至高於一維的系統，並導出各種拓樸不變量。二維週期系統的最典型的拓樸不變量就是陳數，寫成$C$，它是貝瑞曲率（Berry curvature）$F(\vec{k})$ 在整個布里淵區裡的面積分再除以一個常數（$2 \pi$）。可以把貝瑞曲率 $F(\vec{k})$ 比喻為“$k$－空間磁場”（$z$ 分量），而陳數就是通過布里淵區的“$k$－空間磁通量”（magnetic flux）除以基本磁通量（$2 \pi$）得到的無單位倍數。磁場可以寫成向量勢（vector potential）的旋度，而這個“$k$－空間向量勢” $\vec{A}(\vec{k})$ 被稱為貝瑞聯絡（Berry connection）[1-4]。事實上，貝瑞聯絡在一維布里淵區的積分就是札克相。二維布里淵區可以設為平行四邊形。每一對平行的邊都視為相同，因此可以連接起來，形成一個輪胎面（torus）。根據這樣的設定，可以證明陳數是一個整數（詳見[3]，附錄A）。

貝瑞曲率 $F(\vec{k})$ 的行為會受到某些對稱性的影響。例如當系統具有空間反射對稱性或宇稱（parity）時（簡稱I 或P）， $F(\vec{k})$ 是對稱的，即 $F(\vec{k}) = F(-\vec{k})$ ；而當系統具有時間反演對稱性（time reversal symmetry）時（簡稱$ \rm T$），$F( \vec{k})$ 是反對稱的，即 $F(\vec{k}) = -F(-\vec{k})$。系統同時具有 $ \rm I$ 與 $\rm T$ 對稱，就有 $F(\vec{k})=0$ ，只能得到 $C = 0$。如果系統只具有 $ \rm T$ 對稱，雖然貝瑞曲率並不是處處為 $0$，但由於積分時正負相抵，仍然會得到 $C = 0$。因此，要得到非平庸的拓樸能帶，必須破壞 $ \rm T$ 對稱[10]。這樣藉著破壞 $ \rm T$ 對稱而得到的拓樸絕緣體，現在被稱為陳絕緣體（Chern insulator）[1]。

根據前面提到的磁通量的比喻，可以得到一個陳數的直觀圖像。假設布里淵區為方形，波向量 $\vec{k}=k_x \hat{x}+k_y \hat{y}$ 的兩分量都落在 $(-\pi,\pi)$ 的範圍內。對於一個 $k_y$，可以在 $(-\pi,\pi)$ 範圍內沿 $k_x$ 積分貝瑞聯絡 $\vec{A}(\vec{k})$，得到一個依賴 $k_y$ 的札克相 $ \theta (k_y)$。考慮兩個差別很小的 $k_y$ 值，根據Stokes 定理，$ \theta (k_y+ \Delta k_y) - \theta (k_y)$（$ \Delta k_y$ 是一個微小變化量）就是帶狀區域 $(k_y, k_y+ \Delta k_y)$ 內的 $k$－空間磁通量（$ k_x = \pm \pi $ 是接在一起的，所以兩側的線積分會抵消）。從 $k_y = −\pi$ 逐漸增加 $k_y$，則根據 $ \theta (k_y)$ 的累積情況，就可以判斷陳數的數值。需注意 $ \theta (k_y)$ 與 $k_x$ 都是被限制在 $(-\pi,\pi)$ 範圍內，因此當其數值超過此範圍，就要加或減 $2 \pi$ 的整數倍，使其回到這個範圍。此外 $k_y = \pm \pi$ 視為相同，所以 $\theta (k_y = \pi) = \theta (k_y = - \pi)$。根據此處的說明，以及二維布里淵是一個輪胎面，可以把 $ \theta (k_y)$ 的軌跡視為一條纏繞輪胎面的封閉曲線，而纏繞數（linking number）就是陳數[16]。

圖 4. 陳數 $C$ 可視為纏繞數。左圖: $C=0$。右圖: $C=1$。

算出一個頻隙以下各頻帶的陳數，並將它們加總起來，就得到表徵這個頻隙拓樸特性的總陳數。兩個總陳數差不為 $0$ 的材料（結構）接在一起時，在界面處會出現手徵邊緣態（chiral edge state），亦即沿邊界單向傳播的導波模態（guided wave mode）[10]。此種導波模態的色散關係（dispersion relation）是一條穿過整個頻隙且單調上升的曲線，所以被稱作無頻隙邊緣態（gapless edge state）。因為這個特性，手徵邊緣態對於雜質具有抗干擾的能力。當界面附近有少量的雜質時，這種手徵型的導波可以繞過去，維持它單向傳播的特性[23]。

圖 5: 典型的光子手徵邊緣態。左圖是場圖,右圖是繞過障礙物的光子能流 (參考 [23])。

第一個被發現有手徵邊緣態的物理系統是在強大外加磁場下的二維電子氣（2D electron gas）的整數量子霍爾效應（integer quantum Hall effect），簡稱IQHE[1-3]。1988年，D. Haldane 提出了一個陳絕緣體的晶格模型。他發現：如果對石墨烯加上週期磁場（平均為 $0$），依然可以藉著破壞T 對稱產生非平庸拓樸相，出現手徵邊緣態。2008 年，Haldane 與S. Raghu 合作，將拓樸不變量與手徵邊緣態的理論與物理現象移植到光學與電磁系統中[24]。在一個像石墨烯這樣的蜂窩晶格系統中，可以藉著先找出頻帶的簡併點—狄拉克點（Dirac point），再破壞系統的 $ \rm T$ 對稱性而將此點打開一個小頻隙。對於具有邊界的相同系統，頻隙內就會生出一個無頻隙邊緣態的色散曲線，而邊界上出現單向傳播導波模態。在由磁光材料構成的光子晶體中，可以藉著外加磁場破壞T 對稱，打破簡併而實現光子手徵邊緣態。根據類似的思路，後續的研究進一步發展出了拓樸光子學（topological photonics）[10,25]。

2005 年，Kane 與Mele 改造Haldane 的模型，考慮電子自旋，並將外加的週期磁場換成石墨烯原子本身提供的自旋軌道交互作用（spin-orbital interaction），發現了量子自旋霍爾效應（quantum spin Hall effect，QSHE），它的拓樸相具有螺旋邊緣態。此模型具有 $ \rm T$ 對稱，所以陳數為 $0$。但若將向上與向下的自旋分開考慮，可以分別計算出不為 $0$ 的陳數（一正一負）。這種系統的拓樸不變量是取值只有 $0$ 與 $1$ 的 $ \rm Z_2$ 不變量，其意義比較難解釋，欲深入了解可參考[1,3,4,5,7]。在螺旋邊緣態中，自旋向上與向下的電子往相反的方向繞圈，淨電流是 $0$，但自旋流則可以加成[2]。這種特殊的傳播型態為自旋電子學（spintronics）的研究提供了新的可能性。

前面討論過的卷繞數與札克相也可以推廣到二維以上，成為向量型拓樸不變量，稱為拓樸極化[20]。一個具有方形晶格的二維SSH 模型是一維SSH 模型的二維推廣。每個晶胞內有四個原子格點，圍成一個正方形。當電子在這四個格點間做近鄰跳躍時，躍遷強度都是同一個 $v$ 值。若電子躍遷至近鄰晶胞的格點時，躍遷強度為 $w$。由於這個系統具有嚴格的 $ \rm I$ 與T 對稱性，所以其陳數為0，因此沒有手徵邊緣態。不過，若分別沿 $k_x$ 與 $k_y$ 方向積分第 $n$ 頻帶之貝瑞聯絡的兩分量）$A^n_x (\vec{k})$ 與 $A^n_y (\vec{k})$ ，得到兩個札克相 $\theta ^n_x (k_y)$ 與 $\theta ^n_y (k_x)$ ，並將結果分別對其相依變數 $k_y$ 與 $k_x$ 平均，會得到兩個平均札克相 $ \bar{\theta}^n_x = \int^{\pi}_{-\pi} dk_y \theta^n_x (k_y)$ 與 $ \bar{\theta}^n_y = \int^{\pi}_{-\pi} dk_x \theta^n_y (k_x)$，具有不是 $0$ 就是 $\pi$ 的數值。加總頻隙以下的各頻帶的 $\theta ^n_x$ 與 $\theta ^n_y$ 得 $\theta _x$ 與 $\theta _y$ ，就可以定義拓樸極化 $\vec{P}$ 為[26]$$\vec{P}=\frac{1}{2 \pi} (\bar{\theta}_x , \bar{\theta}_y) \hspace{1cm}(5)$$

圖 6: 左:二維 SSH 模型示意圖。虛線圍住之四個格點為一個晶胞。晶胞內外之躍遷強度分別為 $v$ 與 $w$。右:角態的一個例子。四個角具有最大的機率密度,以最大的實心圓盤表示。

當 $v > w$ 時，$ \vec{P}=(0,0)$ ，系統是拓樸平庸的。反之，當 $v < w$ 時，$\vec{P}= \left( \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$，系統處於非平庸的拓樸相，此時在一個具有邊界的系統中，電子機率函數的極大值會發生在系統邊界的四個角上，向系統內指數衰減。這種被釘在角落的拓樸態被稱為角態（corner state）[27]。

拓樸不變量在力學系統的應用

本節介紹兩個筆者實驗室有參與的關於拓樸力學系統的研究工作，以作為拓樸不變量的應用實例。第一個例子用到的拓樸不變量是札克相。在[28] 的研究中，我們考慮週期彈性繩波系統的拓樸相變。在一個空間週期內，有 $\text{A}$ , $\text{B}$兩種不同材質的繩子，彼此連接在一起。可以調控的參數是這兩種材質的（線）質量密度 $ \rho_{\text{A}}$ , $ \rho_{\text{B}}$ 以及它們在週期 $l=l_{\text{A}} + l_{\text{B}} $ 內分配到的長度 $l_{\text{A}}$, $l_{\text{B}}$。繩子的張力 $\tau$ 是外加的，可以調整但是跟材質無關。繩波在材質 $ \alpha$（ $\text{A}$或 $\text{B}$）裡的傳播速率是 $c_{\alpha}= \sqrt{ \tau / \rho_{\alpha}}$，當波的（角）頻率是 $\omega$ 時給出波數（wave number）$k_{\alpha} = \omega / c_{\alpha}$。

根據[17] 的理論，當$k_{\text{A}}l_{\text{A}} / k_{\text{B}}l_{\text{B}} = m_1/m_2$，而 $m_1$ 與 $m_2$ 是兩個互質（coprime）的整數時，第 $m = m_1 + m_2 $ 個頻隙是閉合的。藉著微調 $\rho_{\text{A}}$ , $\rho_{\text{B}}$ 與 $l_{\text{A}}$ , $l_{\text{B}}$，但維持週期$ l=l_{\text{A}}+l_{\text{B}}$ 不變，就可以得到兩組其第 $m$ 頻隙是打開的週期彈性繩，分別對應拓樸相變前後的系統。根據論文[28] 中選擇的參數，我們在第 7 個頻隙上下頻帶觀察到札克相反轉。我們也將左右各 20 個週期的兩組彈性繩連接起來，以一個具有頻隙中心頻率的振動源激發這個有 40 個空間週期的彈性繩，發現無論是根據波穿透率還是各位置的振幅，都可以看到被激發的界面態。

圖 7: 左:(a) 與 (b) 表示在第 7 頻隙 (黃色區域) 上下頻帶的札克相互換。(c) 結合兩種拓樸不同的光子晶體後,穿透譜在第 7 能隙中出現一個峰值,代表出現了拓樸邊界態。右:拓樸邊界態在空間上的振幅。橫軸數字是以週期 l 為單位所給出的座標。

第二個例子用到的拓樸不變量是陳數。在聲學或力學振動系統中要實現手徵邊緣態，還是基於破壞T 對稱的方法。在[29] 的研究中，我們考慮的系統是一個二維蜂窩晶格的力學振動系統，固定質量的球置於各格點，被彈簧（鍵）所連接。我們是利用旋轉座標系內的柯氏力來代替電子系統的羅倫茲磁力，達成破壞 $\text{T}$ 對稱的目的。我們設定這個振動的系統是置於一個旋轉的圓盤上（不考慮摩擦力），隨轉盤一起轉動。當蜂窩狀網格上的各個球振動的時候，除了有來自於本身彈簧的回復力之外，還受到離心力以及柯氏力的作用。我們假定轉盤轉速不是太快，所以可以忽略離心力。在這樣的假設之下，柯氏力就會扮演羅倫茲力的角色，轉盤振子的振動波就會在適當條件下出現手徵邊緣態。

圖 8: 具蜂窩晶格結構的轉盤振子網格系統。此系統置於旋轉圓盤上。柯氏力扮演羅倫茲力的角色,振動波在適當條件下出現手徵邊緣態。右下圖紅色曲線是邊緣態的色散曲線,參考 [29]。

結語

本文介紹了包括卷繞數、札克相、陳數，以及拓樸極化等拓樸不變量，以及它們在適用的模型中“ 保護” 的邊界態。作為上述觀念的應用，我們也介紹了兩個以札克相與陳數作為拓樸不變量的拓樸力學系統。近年來，除了已發展多年的拓樸光子學、拓樸聲學（topological acoustics），與拓樸力學（topological mechanics）之外，拓樸電路（topological circuits）[11,30-32] 的研究正方興未艾，在其中，卷繞數、札克相、以及拓樸極化依然扮演重要的角色，而拓樸角態成為新的研究對象。在這類電路研究中，由於電阻或二極體的存在，使其成為研究近年流行的非互易（nonreciprocal）[33,34] 與非厄米（nonhermitian）[35] 系統的理想平台。雖然目前還不清楚這些五花八門的新發展究竟會將我們引向哪裡，但毫無疑問，這些研究打破了古典物理與量子物理的界線，讓我們對物理學各領域間的關係，有了一番全新的認識。