局域化與多體局域化

緣起

2023 年初在主辦物理年會關於強關聯量子系統的動力學主題論壇後，想利用寒假時間把學習到的主題再深入思考。就在看似悠閒實則忙碌的寒假中收到物理雙月刊的邀稿，希望我寫一篇關於局域化物理的科普文章可以刊登在六月的物理雙月刊中。我的第一個反應是：太棒了！有一個機會可以介紹凝聚態物理許許多多有趣面相中的其中之一。但是要完成一篇可以激起新一代科學家研究興趣、不失科學精確性、抽出物理概念精妙之處的科普文章，著實是一大挑戰。點開行事曆一看，在色彩斑斕的許多承諾中，考量到我常常講著講著就放飛自我，思緒不規則跳躍，我覺得我還是保守一點，乖乖寫一封信跟雙月刊爭取多一點寫作時間。

在接下這個寫作任務的時候，我也在問自己一個問題：這篇科普文章的目的是什麼？怎麼樣幫助整個社群？怎樣幫助對物理感到好奇的不同世代？在這5500 字的篇幅裡，我希望可以勾勒出局域化現象在整個物理研究的脈絡中扮演什麼樣的角色。並且用定性描述對比不同物理機制的關鍵特色（所以讀者可能幾乎不會看到方程式）。留下物理圖像以及相關的文獻讓有興趣的讀者可以跳脫科普語言，更嚴謹的去認識這個現象。為達到這個目標，在討論局域化現象前我們先對包含局域化現象的凝聚態物理的研究骨架做個簡介吧！

凝聚態物理簡介

在開始介紹局域化（Localization）和多體局域化（Many － body localization）之前， 我們先簡單的介紹凝聚態物理是什麼？為什麼他是個有趣、年年有新進展、充滿活力的研究領域？有人會開玩笑，所謂的凝聚態物理就是排除高能物理、基本粒子物理、天文物理、原子分子物理和核物理，剩下的就是凝聚態物理。這個錯誤的理解把凝聚態物理描述成沒什麼中心思想，沒什麼大問題的領域。但是事實上，凝聚態物理是在問一個本質上很深刻的問題：一個具有巨觀數量自由度的系統，在不同條件下所可能湧現（emerge）出的群集模式（collective pattern）以及其對應的普適行為（universal behavior）。

而編織出凝聚態物理豐富圖像的針線，卻是簡單的基礎定律（電磁學、量子力學等等）。舉例來說，一樣是帶電粒子系統，我們可以有導體、絕緣體、拓樸絕緣體[1]、超導體[2] 和高溫超導體[3] 等等多樣的物理。但是不同系統實現的超導體，卻都有一些共通性，而具有普適行為。

在巨觀數量的自由度下，大自然發展出不同的織法，構成了琳琅滿目的平衡與非平衡物質態（phases of matter）。讓整個領域變成一個兼具多樣性（diversity）以及普適性（universality）的嚴謹科學研究分支。也如凝聚態理論物理泰斗P. W. Anderson 強調的：多者異也（More is different.）[4]，而成為物理研究中的一曲屢有新旋律的無盡之歌。

近代物質態的研究

其中研究物質態的相和相變。是凝聚態物理中一支古老但是卻屢屢發生新的進展讓不同世代的物理學家醉心的研究領域。在平衡態物理中，從Landau 相變理論—利用序參量（order parameter）對稱性刻畫不同物質相的的現象學理論[5]，到Wilson 的重整化群（renormalization group）[6]—在連續相變點附近系統化的考慮不同尺度下的變動效應（fluctuation），到完整的等效理論的理解。如同宏偉的宮殿，一座座聳立在物理的研究殿堂中。

一般來說，我們相信量子力學是微觀世界中打造巨觀世界的基石。當我們考慮巨觀的物質態時，量子效應理應不扮演重要角色。所以物質態的理解基本上在上述的統計物理理論框架下，已經近乎完備。然而，大自然卻不這麼認為。近四十年，在古典以及量子物理中，從拓樸角度刻畫物質相的切入點，帶來本質上對物質相的新認識。古典的拓樸聚焦在空間的流型以及定義於其上的序參量空間的關係。量子的拓樸則是發現量子糾纏模式及其物理效應的關係，指出量子糾纏（quantum entanglemnt）結構可以是不同量子物質態的秘密指紋。這兩個發現的重要性，也被2016 年的諾貝爾獎認可[7]。

從量子糾纏結構的角度分析物質態，由於對稱性於量子態的作用與古典物件不同，因此突破了傳統上以序參量對稱性分析物質態的Landau 相變理論框架。其中，對稱性於量子拓樸態中扮演的角色，也是過去二十年的重要研究主題[8]。糾纏模式的改變以及其對應到的相變，也一直是前沿研究的重點。

當我們拉遠我們的視界來看，宏觀的量子拓樸態相關研究的對象是具有多體能隙的量子系統（gapped quantum systems）的基態波函數。由於其量子糾纏結構滿足面積定律（area law），而具有許多特殊的性質。研究對象是一個靜態的波函數。然而關於激發態，以及量子多體系統的動力學問題，卻所知甚少，依然是一個開放且充滿挑戰性的研究領域。

基態：激發態；量子態：量子動力學

有趣的是，在過去二十年拓樸量子態研究如火如荼發展的同時，一個引發新理解的現象—多體局域化，慢慢的步上舞台[9]。多體局域化扮演著與基態研究互補的角色。針對多體量子系統的動力學行為研究，討論基態以外的物理，並挑戰許多基礎原理和假設。其中一個針對量子多體系統的假設，就是熱力學描述的來源。在平衡統計力學教科書中，我們通常假設逐漸在時間演化下，他會漸漸的趨近於我們所熟知的統計力學描述。但是這件事如何發生？或是有沒有什麼其他的可能性？一直都是一個懸而未解的謎。對於這個廣泛問題的重要一步，就是本徵態熱化假說（eigenstate thermalization hypothesis，ETH）[10]。簡言之，一般量子多體系統的任一本徵態的子系統，都可用平衡態統計力學描述， 在長時間演化後，量子退相干使得本徴態形成微正則系綜（microcanonical ensemble）以及與其對應的熱力學描述。多體局域化現象指出，這不是唯一的可能。

除此之外，對稱性原理在我們理解物理系統上扮演著重要的角色。從基礎粒子研究到固態系統光譜學，都是對稱原理的應用範疇。與對稱性對立的概念是無序（disorder）。在凝聚態物理中，我們很難避免系統存在雜質。雜質甚至是許多奇異現象的主要源頭，在與對稱原理互相拮抗下帶給我們豐富的現象。其中，量子力學的波動性在無序系統中所導致的干涉行為，定性上的改變了系統的本質，而無法把無序效應視為只是有序現象上的微小修正。這個開創性的工作之一，就是P. W. Anderson 1958 年的經典之作[11]。他發現波函數在一個無序環境之下，可以產生所謂的局域化（Localization）行為，而沒有擴散行為。但是，這個局域化現象，可以在多體系統中存在嗎？單體和多體系統，對於這個現象有什麼本質上的不同呢？這個工作不僅僅建立了分析量子無序系統的基石，也在未來對於量子多體系統如何趨向平衡這個問題埋下伏筆。

Anderson 局域化（單體局域化）

量子力學最重要的結構之一就是線性疊加原理，也就是波函數這個不可觀測量，經過線性疊加之後，可以對可觀測的物理量造成非顯然的效應。P. W. Anderson 在1958 年問了一個深刻的問題：如果我們把一個量子粒子，放在一個無序位能場中，這個量子粒子會做什麼事？古典來說，我們會期待這個粒子在這個無序的位能場中，隨著位能高低移動而產生類似隨機漫步的行為。巨觀上這對應到擴散行為。在時間足夠長的情況下，我們會期待這個擴散行為會分布到這個系統中的每個角落。那量子系統呢？當這個無序位能場的效應不是太強的時候，我們期待他應該會和粒子在自由空間中差不了太多，所以經過長時間後，粒子的波函數也會分布到整個系統的每個角落。有趣的現象發生在這個無序位能場的效應足夠強的時候。Anderson 發現，量子粒子即使在時間無窮長的極限下，也會被侷限在實空間一個有限區域中，而不會分布到整個系統中，這就是所謂的Anderson 局域化（Anderson localization）[11]。其中，量子力學扮演重要的角色。簡單來說，由於無序位能場提供隨機的散射相位，導致了波函數的破壞性干涉，因此把波函數侷限在初始位置附近。除了這個系列的工作外，Anderson 也因為在無序系統中許多開創性的工作與Mott 和VanVleck，獲頒1977 年的諾貝爾物理獎[12]。

圖一：Anderson 局域化的示意圖：綠色曲線是局域化的波函數，紅色曲線是無序位能場。我們可以看到波函數是在實空間發展出指數遞減的結構。

多體局域化

當一個系統發生局域化行為時，代表什麼？代表著系統的任一初始態只能在希爾伯特空間的一個角落演化。局域化行為因此直指統計力學中一個重要的概念：遍歷性假設[13]。Anderson 局域化現象，主要展示無交互作用的量子系統在無序位能場下的物理。當然以Anderson 的遠見，他其實想討論更一般性，具有交互作用的無序系統，無交互作用的極限只是一個起點。但是即使是這個起點，都已經給出很有趣的物理現象，讓許許多多研究者跳進來更近一步研究。一個有趣的問題是：局域化行為在交互作用影響下是否是穩定的。在2006 年以前，這個問題一直沒有明確的答案，當然原因是因為這個問題無論是解析或數值計算都是非常困難的。交互作用系統本身就蘊含非常豐富的物理，加上無序效應更是打開了潘朵拉的盒子一般。但是即使不知道這個問題的解答為何，科學家們都嗅出他和統計力學基礎的深刻關係。

是不是所有量子系統，都會遵守本徵態熱化假說？還是說有一些新的可能性？在 2006 年， 由三位理論學家Basko、Aleiner 和Altshuler[14]， 發現局域化行為在有限距離的交互作用微擾下會是一個穩定的動力學態。之後Pal 與Huse 的數值研究也觀察到類似的物理，這也開啟了多體局域化（Manybody localization）現象的研究。多體局域化與Anderson 局域化不同的關鍵之處，在於引入交互作用後，量子態存在的希爾伯特空間的複雜度大大不同。單體系統的希爾伯特空間基本上正比於系統大小，但是多體系統的希爾伯特空間是隨系統大小指數型成長。除此之外，多體希爾伯特空間的直積結構也讓系統的量子糾纏熵產生非顯然的動力學行為。這些行為也漸漸刻畫出多體局域化行為與Anderson 局域化有著本質上的不同。科學家們開始感到越來越好奇：這個新的物理機制是什麼？對應到的物理圖像是什麼？多體局化如同許多重要的發現，是一個可以從許多不同面向去了解的物理現象。他是一個動力學效應、他無法傳輸能量卻可以傳輸糾纏資訊、他是一個違反本徵態熱化假說的量子現象等等。由於筆者的功力有限，所以選擇以下幾個面向刻畫多體局化。未盡之處只能請讀者海涵或參考文獻中的回顧文章了。

多體希爾伯特空間中的Anderson 局域化

一個有趣的類比是把多體局域化想像成在多體希爾伯特空間（Fock space）中的局域化行為[15]。在無窮長時間演化下，Anderson局域化是量子粒子在無序位能場中被侷限在實空間的一個區域；多體局域化則是系統的多體波函數在無序位能場中被侷限在希爾伯特空間的一個範圍中。因此，多體局域化的波函數其實是一個在實空間佔據很多區域的波函數，並不是一個在實空間局域化的波函數。但是Hamiltonian 中的動能項、位能項甚至交互作用，都無法有效率的耦合這些在實空間的多體波函數們。而壓抑系統的傳輸能量的能力。

圖二：多體局域化的示意圖：綠色曲線是在多體希爾伯特空間局域化的波函數，其權重在希爾伯特空間中呈現指數遞減，由於是由多體基底所疊加而成，並不保證局域化在實空間中。藍色平面是多體希爾伯特空間。其中網絡的節點，是希爾伯特空間的基底。紅色平面，是希爾伯特空間中的無序位能場。

湧現的局部守恆量與獨特糾纏熵行為

當我們可以想像多體希爾伯特空間中的Anderson 局域化之後，我們可以推論到這些多體波函數，就好像只能和某些子空間中的多體波函數耦合，這些局部耦合就湧現出局部的守恆量（local integral of motion）。這些不同子空間的多體波函數還是可以產生線性疊加以及量子糾纏，但是他們的糾纏方式是一個指數小的糾纏機制，因此動力學上，量子糾纏熵的成長速度非常緩慢，正比於ln t[16,17]。

缺乏多體能階排斥效應

能階排斥（level repulsion）效應是在Anderson局域化中刻畫相關物理的重要工具。我們在量子力學中學到，如果兩個不耦合的量子態在沒有對稱性因素下具有相同能量，一但有任意的物理效應開始耦合這兩個量子態，通常會導致這兩個量子態的簡併被破壞。我們也可以用類似的圖像刻畫多體局域化行為，由於Hamiltonian 中的動能項、位能項甚至交互作用，都無法有效率的耦合這些在實空間的多體波函數們，這些多體波函數在能譜上就沒有本質上的理由產生能階排斥[18]。

激發態的獨特糾纏熵行為

由於多體局域化可以想像成Anderson局域化在交互作用微擾下的結果。Anderson局域化的波函數是沒有量子糾纏的波函數。所以我們預期這個行為在多體局域化物理中也是類似，也就是說，多體局域化系統中的激發態波函數的量子糾纏是短程的、滿足面積定律（area law）的多體波函數。這個性質基本上是量子拓樸態相關研究的起點，只是與之前的研究不同，多體局域化是激發態具有面積定律，因此過去在基態研究非常成功的數值演算法，如矩陣乘積態或相關的張量網絡演算法，都在多體局域化的研究中有所應用[19]。

結語：維度、相變和複雜量子系統

經過以上簡單關於多體局域化的簡介，細心的讀者可能會問：既然多體局域化是一個特殊的量子物質態，那它是不是和很多物質態一樣可以有有趣的相變行為？多體局域化行為與維度的關係是什麼？許多重要的發現，都會引發出下一個重要的問題，多體局域化是不是有引發出一些本質上新的物理？這些其實都是很棒的前沿問題。目前關於多體局域化到熱化（thermalization）行為的相變性質，依然是一個未解之謎。即使在一維系統，我們對多體局域化現象理解最多的範疇，其相變與可能相關的臨界現象，都是近期研究的熱門主題。除此之外，多體局域化是否存在於高於一維空間的系統中，也是一個充滿挑戰性的問題。甚至，無序位能場是否為必需的元素？有沒有可能在不破壞平移對稱性的情況下，實現類似的局域化現象？多體局域化與近期關於時間晶體的發現緊密相關[20]。是否有其他非顯然的量子多體時空序？許許多多的問題，目前都等待著科學家們進一步的探索。

除此之外，從更宏觀的物理角度來說，當局域化行為發生時，所衍生出的波函數新結構，帶給我們類似複雜系統（complex systems）的尺度等級。這個結構與量子力學本質的競合關係、對糾纏結構的影響，都將是未來複雜量子系統研究中一個具有潛力研究方向。而這些發現，都是由於多體希爾伯特空間的複雜性，所給出的豐富可能。相信將會留給科學家更多驚喜。

參考資料：

[1] 張泰榕，“ 拓樸材料與拓樸能帶理論”，物理雙月刊，Sep,2017

[2] J. Bardeen – Nobel Lecture. NobelPrize.org. Nobel Prize Outreach AB 2023. Sat. 13 May 2023<https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1972/bardeen/lecture/>

[3] J. Georg Bednorz – Nobel Lecture. NobelPrize.org. Nobel Prize Outreach AB 2023. Sat. 13 May 2023. <https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1987/bednorz/lecture/>

[4] P. W. Anderson, "More is different: broken symmetry and the nature of the hierarchical structure of science." Science 177.4047（1972）: 393-396

[5] N. Goldenfeld, "Lectures on phase transitions and critical phenomena."（1992）.

[6] Kenneth G. Wilson – Nobel Lecture. NobelPrize.org. Nobel Prize Outreach AB 2023. Sat. 13 May 2023. <https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1982/wilson/lecture/>

[7] Press release. NobelPrize.org. Nobel Prize Outreach AB 2023. Sat. 13 May 2023. <https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2016/press-release/>

[8] 謝長澤，“ 凝態系統中的對稱與拓樸”，物理雙月刊， Jan, 2023

[9] R. Nandkishore, and D. A. Huse. "Many-body localization and thermalization in quantum statistical mechanics." Annu. Rev. Condens. Matter Phys. 6.1（2015）: 15-38.

[10] M. Srednicki. "Chaos and quantum thermalization". Phys. Rev. E, 50:888, 1994.

[11] P. W. Anderson, "Absence of diffusion in certain random lattices.", Phys. Rev., 109:1492, 1958.

[12] P. W. Anderson – Nobel Lecture. NobelPrize.org. Nobel Prize Outreach AB 2023. Fri. 12 May 2023. <https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1977/anderson/lecture/>

[13] 高崇文，“ 為科學而生 為原子而死的波茲曼（上/ 下）”，物理雙月刊，Sep, 2018

[14] D. M. Basko, I. L. Aleiner, and B. L. Altshuler, Annals of Physics 321, 1126（2006）

[15] A. Pal and D. A. Huse. "Many-body localization phase transition." Phys. Rev. B., 82.17（2010）: 174411.

[16] D. Huse, R. Nandkishore, and V. Oganesyan. "Phenomenology of fully many-bodylocalized systems." Phys. Rev. B 90.17（2014）: 174202.

[17] M. Serbyn, Z. Papić, and D. A. Abanin. "Universal slow growth of entanglement in interacting strongly disordered systems." Phys. Rev. Letts. 110.26（2013）: 260601.

[18] V. Oganesyan, and D. A. Huse. "Localization of interacting fermions at high temperature." Phys. Rev. B., 75.15（2007）: 155111.

[19] D. Pekker, et al. "Hilbert-glass transition: New universality of temperature-tuned many-body dynamical quantum criticality." Phys. Rev. X., 4.1（2014）: 011052. [20] Khemani, Vedika, Roderich Moessner, and S. L. Sondhi.