無序金屬電導圖像的幾個簡單推導

本篇短文試圖提供一些導出弱無序金屬的電導（conductance, \(G\)）和電導率（conductivity, \( \sigma \)）的物理圖像，不追求數學上的嚴謹推導。本文可作為〈安德森局域理論的起源〉一文的補充說明，應有助於讀者更容易掌握和深入理解無序系統的導電問題。

考慮一個外加（小）偏壓的弱無序金屬樣品，其中導電電子在沿著電流方向前進的過程裡，受到許多次彈性散射，因此以擴散（diffusion）形式運動（所以弱無序金屬文獻上也稱為“diffusive metals”）。低溫時，經過成百上千，甚至上萬次的彈性碰撞之後，才會遭遇一次（電子－聲子）非彈性碰撞。

假如考慮三維系統，則樣品體積可寫為 \(L^3\)，\(L\) 為金屬塊邊長。如考慮準二維系統，則樣品體積可寫為 \(L^2 t\)，\(t\) 為金屬薄膜厚度。如考慮準一維系統，則樣品體積可寫為 \(LA\)，\(A\) 為金屬細線截面積。在弱無序狀態下，因為彈性碰撞頻繁，因此電子彈性平均自由程（\(l = v_{F}τ \)，\(v_F\) 為費米速度，\( \tau\) 為彈性碰撞時間）很短，可視為是電性傳輸問題中的最短特徵長度。因此，無論是金屬塊、金屬薄膜，或是金屬細線，都屬於三維波茲曼傳輸問題，即  \( L \gg 1\) （三維），\(L \gt t \gg l \)（準二維），或 \( L  \gt \sqrt{A} \gg l \) （準一維）。

電導率

外加電場（\( \mathcal{E}\)）時，導電電子沿著某（如 \(x\)）方向受到的力可寫為 \(e \mathcal{E} = m(dv/dt) \approx m(v_{d}/ \tau)\)，或 \( \mathcal{E} \approx (m/e)(v_d / \tau)\)，其中 \(e\) 為電子電荷，\(m\) 為電子等效質量，\(v_d\) 為漂移速度（drift velocity）。代入電流密度表示式 \(j = nev_d = \sigma \mathcal{E} \)，可得電導率 \( \sigma = ne^2 \tau / m\)，其中 \( n = n(k_F) \)為電子密度，\(k_F\) 為費米波數。以三維系統為例，\(n = k_F^3 / 3π^2\)，電導率可改寫為$$\sigma=\frac{n e^2 \tau}{m}=\frac{k_F e^2}{3 \pi^2 \hbar}\left(k_F l\right) \hspace{1cm}(1)$$\(h = 2\pi \hbar \) 為普朗克常數。式（1）中費米波數和電子平均自由程的乘積 \(k_{F}l\) 是一個純量（沒有單位），該值的大小反映了樣品的無序程度（因而決定了低溫下量子干涉效應的強弱及各種介觀物理現象的大小）。

週期表中一般金屬的費米波數值為 \(k_F \sim 10^{10} \hspace{2mm}m^{−1}\)。在實驗室製作（蒸鍍或濺鍍）的弱無序金屬樣品中，電阻率通常為 \( \rho = 1/ \sigma \sim (10-100) \rm{\mu} \Omega \hspace{2mm} \rm{cm} \)，則由式 (1) 可算出 \( k_{F} l \sim (10-100) \)。（因為彈性散射率很強，室溫電阻率值與低溫電阻率值通常相差不了幾倍，\(\rho (300K) / \rho (4K) \sim 10^{0}\)。）

電導的自然單位

電導與電導率的關係為 \(G = \sigma L^{d-2}\)，\(d\) 為系統維度。以三維系統為例，\(G = \sigma L\)，所以電導的單位為電導率的單位乘上長度：\( [G] = [\sigma] \cdot [L] \)，或用費米波長 \( \lambda_{F} = 2 \pi / k_F \) 改寫成 \( [G] = [\sigma] \cdot [\lambda_{F}]= [\sigma] \cdot [1 / k_F] \)。由式（1）可知電導的單位可以僅用電子電荷和普朗克常數兩個自然常數的組合表示：$$ [G] = \left[ \frac{e^2}{h} \right] \hspace{2cm}(2) $$
同理，考慮準二維系統時，可依類似上述的推導過程得出 \( \sigma^{d=2}=(e^2 / h)(k_F l) \)，因此電導和電導率（電阻和電阻率）有相同的單位：\( [G] = [\sigma^{d=2}] = [e^2 / h]\)。在E. Abrahams 等四人的著名標度局域理論（scaling theory of localization）中，即以無單位電導 \( g(L) \equiv G(L)/(e^2 / h) \)做為標度參數，討論二維正方形系統（面積為 \( L^2\)）和三維立方體系統（體積為 \(L^3 \)）隨 \(L\) 增倍時的系統電導行為。有趣的是，直到1978 年安德森似乎從未曾意識到 \([e^2 / h]\) 就是電導的單位，或至少未曾用心思考過 \([e^2 / h]\) 作為電導單位的意義。

系統呈金屬性的條件

考慮一個準一維系統，把一條長「金屬」細線視作是由一段段長度 \(L\)，截面積\(A\)（直徑 \( \sqrt{A}\)）的子系統串連而成，且 \( L \gt \sqrt{A} \gg 1\)。外加（小）偏壓後，如電流能夠順暢流通整條細線，則系統呈金屬性，即（在液氦溫度以上）細線的電阻隨溫度下降而下降，電阻對溫度的變化可由三維波茲曼傳輸方程式（和Matthiessen’s rule）描述。

想像在每一段子系統 \(L\) 中的能階為離散的，單位能量之能態總數為 \(N(0)LA\) ，即能階平均間距為 \( \delta \approx 1 /[N(0)LA] \)，其中 \(N(0)\) 為單位體積的能態密度。導電電子因頻繁遭遇彈性散射而以擴散形式運動，它通過整段子系統所需的時間是 \( \tau_{D} \approx L^2 /D\)，\(D\) 為電子的擴散係數。由於（緩慢地）擴散運動耗費一段時間，造成離散的電子能階有了寬度（電子能量的不確定度），大小為 \( E_D \approx \hbar / \tau_{D} \approx \hbar D / L^2 \)。

假設每個子系統 \(L\) 的外觀性質如體積、電阻／電阻率、雜質／點缺陷總數等都一樣，在實驗能力的掌控範圍之內；微觀上則雜質／點缺陷的空間位置是隨機分布的，實驗手段無法控制。由於每個子系統的雜質位能形式不完全相同（哈密爾頓量具有不同的位能項），導致了相鄰子系統 \(L\) 中的電子能階的高低疏密有異，無法一一對齊（圖一）。因此，外加很小偏壓時，不能保證（絕對零度時）導電電子必定能夠從所在的 \(L\) 子系統中的某個能階，順利擴散進入隔壁的子系統中的某個相對應（能量相當的）能階。要讓導電電子能夠順利擴散進入相鄰子系統中的某個能量最相近的能階，一個合理的條件應是能階寬度大於能階平均間距：\(E_{D} \gt \delta\)  [ 註1]。反之，如果 \(E_{D} \lt \delta\)，電子將無法擴散進入隔壁子系統，則細線將無法導電，是為絕緣體，即（在低溫時）細線的電阻將隨溫度下降而快速上升。從後一不等式 \( \hbar D / L^2 \lt 1/ [N(0)LA]\)，以及電導率的表示式 \( \sigma = D e^2 N(0)\)，可得細線成為絕緣體的條件為其電導值 \(G = \sigma (A / L) \lt e^2 /\hbar \)，或其電阻值 \( R \gt \hbar / e^2\)。（此時，導電電子將被局域在每段子系統中，局域長度 \( \xi \le L\)。）換句話說，一條直徑為 \( \sqrt{A} (\lt \xi)\) 的細線要保有金屬性，電阻必須小於 \( \sim \hbar / e^2 \sim 10 \hspace{2mm} k \Omega\) [ 註2]。

圖一：兩個相鄰子系統中的能階示意圖（取自參考文獻[1]）

準一維量子修正效應的實驗發現

以上是D. J. Thouless 在1977 年所做的理論預測[1]，他認為如果能夠在實驗室做出一條電阻大約 \(10 \hspace{2mm} k \Omega\) 的金屬細線，則在極低溫時將有機會看到安德森局域現象，即電阻隨溫度下降而呈指數形式上升。實務上，這卻是一項具有高度挑戰性的實驗，因為如果把電阻不等式 \(R = \rho (L/A) \gt \hbar /e^2\) 改寫為 \( A \lt \rho L e^2 / \hbar\) ，並假設 \(\rho \sim 100 \hspace{2mm} \rm{\mu \Omega} \hspace{2mm} \rm{cm}\)，\(L \sim 5  \hspace{2mm}\mu m\)，則細線的直徑必須為 \(\sqrt{A} \lt 35 \hspace{2mm} \rm{nm}\)。直到今日（更遑論1970、80 年代），想製作出並針對直徑數十奈米的細小金屬線進行精確低溫四點電阻測量，並非一件唾手可得的事。
1979 年，Nicholas J. Giordano（筆者的博士論文指導教授）等人利用濺射離子蝕刻法首先在玻璃基片上刻蝕出奈米高度的台階，接著沿著台階製作出直徑為數十至上百奈米的金屬線。他們發現在低溫時，電阻果然隨著溫度下降而上升，但相對於殘餘電阻而言，上升量非常小（圖二），顯然並沒有如理論預期般的發生數量級的變化[2]。

電子相位相干長度

以上Thouless 考慮的是絕對零度時的情況。當溫度上升（\(T \gt 0\)）時，子系統 \(L\) 的長度就不再是關鍵尺度，因為導電電子會因遭受非彈性（電子－聲子）散射而喪失相位相干性，其相位相干長度（dephasing length）為 \(L_{\phi} = \sqrt{D \tau_{\phi}}\)，其中 \( \tau_{\phi} (T) \) 為電子相位相干時間[3,4]。在弱無序金屬樣品中，通常 \( L_{\phi} \lt L\)，所以電子因擴散運動而造成的能階寬度，將（遠）較Thouless 的原始估計值為大，\( E_{D} (L_{\phi} ) \approx \hbar D / L_{\phi}^2 \gt E_{D} (L) \approx \hbar D / L^2 \)，因此相鄰子系統間的能階將比較容易產生重疊（耦合），讓電子更容易一路通過相鄰的子系統，從而呈現金屬性行為。（此時，\(L_{\phi} (T) \lt \xi \)。）換一種說法，由於 \(R(L_{\phi}) \lt R(L) \) ，因此細線的電阻值更難達到符合 \(R(L_{\phi}) \gt e^2\) 的絕緣性條件。

圖二的實驗結果，很快地被解釋為準一維弱局域效應（weak-localization effect）， 或嚴格說， 應是準一維電子－ 電子作用效應（electron-electron interaction effect），因為在無序金屬中後者對於殘餘電阻率的修正量，常（遠）大於前者造成的修正量。此外，熱能也會導致離散的電子能階產生寬度（thermal smearing），從而引進另一個特徵長度，稱為熱擴散長度（thermal diffusion length），寫成 \(L_{T} = \sqrt{D \tau_{T}} = sqrt{D \hbar / k_{B} T}\)，其中 \(k_B\) 是波茲曼常數。

圖二：一系列金鈀合金細線的相對電阻對溫度的變化行為，數字標示細線的直徑√A（取自參考文獻[2]）

致謝：

感謝香港科技大學沈平退休教授、中央大學楊仲準教授、輔仁大學吳至原副教授、陽明交通大學葉勝玄助理教授及天津大學李志青教授在本文發表前的仔細閱讀和提供修改意見。

參考資料：

[1] D. J. Thouless, Maximum Metallic Resistance in Thin Wires, Physical Review Letters 39, 1167-1169（1977）

[2] N. Giordano, W. Gilson, and D. E. Prober, Experimental Study of Anderson Localization in Thin Wires, Physical Review Letters 43, 725-728（1979）

[3] J. J. Lin and J. P. Bird, Recent experimental studies of electron dephasing in metal and semiconductor mesoscopic structures, Journal of  Physics: Condensed Matter 14,R501-R596（2002）

[4] 林志忠，追蹤電子相位相干性—想起一篇綜述文章，（《物理》45（5）, 336-338（2016））