2022諾貝爾物理獎：量子糾纏與它們的產地

引言
1935 年愛因斯坦等人提出EPR 悖論質疑量子力學的完備性，也讓人們開始注意到糾纏態。三十年後美國物理學家貝爾指出EPR悖論和量子力學對相同實驗的預測不同，並由美國物理學家克勞澤（John Clauser）、法國物理學家阿斯佩（Alain Aspect），和奧地利物理學家塞林格（Anton Zeilinger）在實驗上相繼驗證成功。這三位物理學家在實驗上的貢獻不僅對糾纏態的應用有所突破，也使量子資訊技術得以推進，因此共同獲得2022 年的諾貝爾物理獎。量子糾纏的應用包含擁有優異安全性的量子通訊與速度可以遠高於傳統電腦的量子運算，這些優勢讓量子資訊成為先進國家非常重視的領域。本文先介紹何謂量子糾纏，並介紹歷史的脈絡，從中可以看到三位獲獎人的工作在物理史上的重要性。

鬼魅般的超距作用- 量子糾纏
量子力學以” 量子態”（例如波函數）描述物理系統的狀態，不同的量子態擁有可分辨的可觀測物理量，例如能量、動量或是位置等。量子力學與古典物理不同的地方在於量子力學的系統的狀態能「疊加」，有如該物體能” 同時” 處在兩種以上的狀態一樣。這與古典物理裡波的概念類似，例如光波可以互相疊加、干涉，而有亮紋和暗紋。量子疊加態經過測量之後，物理系統會出現在特定的狀態，稱為量子態的崩陷。譬如以一塊布蓋著一個硬幣，在古典物理的世界裡，硬幣若不是人頭朝上，就是面額朝上。然而，在量子世界裡，硬幣的狀態若為” 疊加態”[1]，有一半的機率人頭朝上（"H"），另一半的機率則是面額朝上（"W"），有如一個旋轉中的硬幣。當我們測量（把布掀開）後，狀態會崩陷至其中一種，且是完全隨機的。

由兩個粒子組成的系統也可以發生疊加的狀態而形成糾纏態。量子糾纏不存在於古典物理，它讓兩個以上的物體即使間距已經大到沒有交互作用仍保有相關性，我們對一個物體的作用仍會影響另一個物體的狀態。以兩個硬幣的系統為例，兩個硬幣的狀態有"WW"、"WH"、"HW" 和"HH" 四種組合。假若初始的硬幣狀態被製備在一半機率是"WW" 和一半機率是"HH" 的疊加態，這種狀態無法將兩個硬幣視為獨立的個體，而且我們觀測其中一個硬幣的狀態會使兩個硬幣的狀態崩陷至"HH" 或"WW"，瞬間決定另一個硬幣的狀態。例如，如果看到其中一個硬幣是"W"（"H"），就可以知道另一個硬幣是"W"（"H"），無論兩個硬幣相距多遠。此種兩個或多個粒子的狀態具有相關性且無法各自分開描述的特性，就是量子力學裡特有的量子糾纏。

量子力學的建立
十九世紀末德國理論物理學家普朗克研究黑體輻射的現象，他假設黑體上的原子在吸收與輻射電磁波時，能量的變化是不連續的，其最小單位 」\( \epsilon\) 正比於電磁波的頻率 \(\nu\) $$ \epsilon = h \nu$$
其中 \(h\) 為普朗克常數。電磁波能量不連續的假設不僅得到理論與實驗完美符合的結果，也啟發了愛因斯坦對「光量子」的想法。1905 年愛因斯坦研究光電效應時注意到光電流與波長的關係，而且激發頻率有閾值，當頻率小於閾值時，不論照射多亮的光都不會產生光電流，而當頻率大於閾值時會產生光電流，且同樣的光強，頻率越大則光電流越大。愛因斯坦延續普朗克的想法，重新詮釋了能量不連續的概念[2]。他認為光的能量有一個最小的單位「光量子」（即「光子」），其所帶的能量與頻率正比。當光子能量大過於電子束縛能時才會使電子脫離，產生光電流。愛因斯坦的“ 光量子” 開啟了量子物理的帷幕，而後量子力學快速發展，1925 年德國物理學家海森堡發表了量子力學的矩陣形式，隔年奧地利物理學家薛丁格發表了波函數遵守的薛丁格方程式，現代的量子力學正式確立，海森堡與薛丁格也因此分別在1932和1933 年獲得諾貝爾物理獎。

人們起初並不清楚量子物理中波函數的意義，1926 年德國理論物理學家波恩提出了機率詮釋（並在1954 年獲得諾貝爾物理獎），說明波函數的絕對值平方代表粒子處在該狀態的機率大小，這個觀點與古典力學大相逕庭。古典力學只要有確定的初始條件，系統演化都有明確的軌跡，不可能出現機率性的結果。此解釋也讓許多物理學家抱持懷疑，最著名的代表人物是愛因斯坦。雖然愛因斯坦在光電效應的研究推動了量子物理的發展，但他無法接受量子力學的不確定性。他認為一個沒有被干擾的系統，應該保持著確定的狀態，而我們可以準確地預測該系統的物理量，他也因此說出著名的名言：” 上帝不會擲骰子”。

EPR 悖論
愛因斯坦相信量子力學有缺陷，才會有機率性的現象，因此他嘗試提出能顯現量子力學缺陷的假想狀況。1935 年愛因斯坦和另兩位美國物理學家波多斯基與羅森發表了極為著名的EPR 悖論[3]。他們的假想實驗中有兩個粒子，在交互作用後分離並成為糾纏態。如果依照量子力學的觀點，測量粒子A 的位置或動量後即可得知粒子B 的位置或動量。因為兩個粒子分離後就不再有交互作用，愛因斯坦認為測量粒子A 的時候不會改變粒子B（此為「局域性」），而且系統在測量前亦有確定的物理狀態（此為「實在性」）。由於測量粒子A 的位置時候可以在不改變粒子B 的狀態下準確得到粒子B 的位置，同樣道理測量粒子A 的動量可以得知粒子B 的動量，這表示粒子B 有確定的位置與動量狀態。但因為量子力學中可觀測量位置與動量的是不可交換（non-commute）關係，是無法同時準確地被測量（即滿足「測不準原理」），因此上述假想實驗的結果與量子力學互相矛盾。愛因斯坦認為量子力學雖然不是錯誤的，但是這個例子顯示量子力學並不完備。他認為有更完整的理論可以更精確地描述這個世界，這樣的理論存在一些可能無法被觀測到的「隱變數」，量子力學是在無法控制隱變數的情況下的統計結果。

貝爾不等式
EPR 悖論提出後，物理學家爭論量子力學的完備性是偏向哲學的思想辯論，愛因斯坦與丹麥物理學家波爾時常對量子力學看法有爭論。1964 年北愛爾蘭物理學家貝爾提出貝爾不等式[4]，這才將 EPR 悖論從信仰的辯論轉變成可以實驗驗證的問題。貝爾考慮自旋（spin）角動量的觀測實驗，在量子力學中，不同分量的角動量分量是不可交換的，兩者無法同時被準確測量。貝爾的假想實驗如圖一所示，兩個自旋為 1/2、總角動量為 0 的粒子產生後往反方向分離，且分離後就不再有交互作用。當兩個粒子分離非常遙遠後，我們分別測量粒子 1 在 \( \vec{A}\) 方向的角動量與粒子2 在 \( \vec{B}\) 方向角動量，以此得到兩者的相關性 \( P(\vec{A}, \vec{B})\)。當兩邊的測量結果都一樣時（都是+1/2 或−1/2），\( P(\vec{A}, \vec{B})\)即為1。當兩個測量結果相反時（一邊得到 +1/2，另一邊為−1/2）時，\( P(\vec{A}, \vec{B})\) 則為−1。經多次測量後，我們得到統計平均的\( P(\vec{A}, \vec{B})\) 數值。假若 \( \vec{A}= \vec{B}\)，由於角動量守恆，觀測粒子1 的角動量方向與大小後，就可知粒子2 的角動量方向與大小與粒子1 相反，即 \( P(\vec{A}, \vec{B})=-1\)。貝爾選擇三個任意的測量方向  \( \vec{A}\)、 \( \vec{B}\)和  \( \vec{C}\)，並以隱變數理論推導得到以下的不等式$$ 1+P(\vec{B},\vec{C}) \geq | P(\vec{A}, \vec{B}) - P(\vec{A}, \vec{C}) |$$

然而，若初始狀態為量子力學的糾纏態（或稱貝爾態）$$ | \psi_0 \rangle = ( |+,- \rangle_{12} - |-,+ \rangle_{12} ) / \sqrt{2}$$

則測量相關性的期望值會等於負的兩個向量內積，\( P(\vec{A}, \vec{B})= - \vec{A} \cdot \vec{B}\)。假若 \( \vec{A} \) 與 \(x\) 軸同向，\( \vec{C} \) 與 \(y\) 軸同向， \( \vec{B} \) 與 \(x\) 軸 \(y\) 軸都呈45°，
於此條件下，\( P(\vec{B}, \vec{C})=-1/ \sqrt{2}\)、\( P(\vec{A}, \vec{B})=-1/ \sqrt{2}\)、\( P(\vec{A}, \vec{C})=0\)，貝爾的不等式即被違反$$ 1+P(\vec{B},\vec{C}) < | P(\vec{A}, \vec{B}) - P(\vec{A}, \vec{C}) |$$
貝爾的假想實驗為局域隱變數理論與量子力學劃下一道分水嶺，同樣的實驗架設在兩種理論下有不同的預測結果，藉以驗證真實世界的運作方式。如果實驗結果永遠遵守貝爾不等式，就表示量子力學的確如愛因斯坦所想的是不完備的。反之，實驗結果若違反貝爾不等式，則確立了量子力學的正確性。

圖一：貝爾測試實驗示意圖。

貝爾測試
在貝爾不等式發表後，還在哥倫比亞大學攻讀博士的克勞澤對此非常感興趣。克勞澤與幾位同事一起研究貝爾的理論，將其推廣為更可行的貝爾測試方案[5]（後被稱為CHSH 不等式）克勞澤注意到柏克萊大學所發表的偏振相關光子對實驗可以用來驗證貝爾測試，其實驗方法是以紫外光激發鈣原子外層的電子，使電子放出一對有偏振相關性的光子並衰變回基態。但由於偏振測量準確度不高，因此該實驗尚未進行貝爾測試。克勞澤畢業後決定到柏克萊擔任博士後研究員並改進了鈣原子的實驗，進行歷史上第一次貝爾測試實驗[6]。有趣的是，克勞澤在得知實驗結果前其實傾向於相信愛因斯坦的隱變數理論，但在反覆的驗證貝爾不等式被違反後，他認知到量子力學的正確性。當時多數的物理學家已經接受量子力學，因此克勞澤的實驗結果並沒有獲得太多的迴響，但克勞澤的實驗結果仍然激起了一些物理學家對貝爾測試的討論興趣，並更嚴謹的檢視這個實驗。雖然克勞澤的實驗結果違反貝爾不等式，但有些人認為他的實驗存在一些” 漏洞”。例如，在克勞澤的實驗裝置裡，偏振的測量方向是保持不變的，但貝爾測試假設「兩端測量的偏振方向選擇完全獨立」，若固定測量方向則無法消除兩端資訊交換的可能性，因而產生局域性的漏洞，無法完全排除隱變數理論的必要性。

要消除這個實驗漏洞，首先要讓兩端的偏振測量方向在光子產生後各自獨立的隨機決定。1970 年正在巴黎－薩克雷大學攻讀博士的阿斯佩修改了克勞澤的架設（如下頁圖二b），演示了解決漏洞的方法。他在測量端架設切換器將光分為兩種路徑，根據當下的控制電壓決定通過的光子要走哪一路，而兩個路徑有不同的偏振方向測量裝置，因此可以隨機的選擇測量的偏振方向，讓兩端在光子離開光源後由各自的亂數產生器決定測量方向。雖然阿斯佩的實驗[7] 解決了一個實驗上的漏洞，而且也證實了貝爾不等式被違反，但他的實驗仍存在一些漏洞。例如，兩個測量架設的間距僅6 公尺，因此無法確保兩端的測量結果是完全獨立的。塞林格進一步將兩個探測端的間距拉遠至400 公尺[8]，若一個測量端決定測量方向後，隱變數以光速傳遞至另一測量端，則此時測量早已結束而不會受影響。2017 年塞林格發表了完全沒有漏洞的貝爾測試結果[9]，證實貝爾不等式會被違反，正式宣告沒有局域隱變數理論存在的可能性。

圖二：取自（a）克勞澤[6]、（b）阿斯佩[7] 與（c）塞林格[9] 進行貝爾測試實驗架設圖。圖中Switch 為切換器，RG為亂數產生器。

糾纏態在量子資訊的應用
在克勞澤與阿斯佩的實驗後，人們開始正視量子糾纏的重要性與它的應用價值，塞林格就是其中重要的一員。塞林格不只驗證貝爾不等式，更進一步的利用糾纏的性質發展了許多量子技術，例如量子通訊。量子通訊利用糾纏態進行密鑰的分發，將一對糾纏的光子分送到兩地，並由兩邊進行隨機的偏振方向測量。當兩地的測量互相比對測量方向後，若都選用同樣方向，其結果就可以做為共有的密鑰。因為光子對在傳遞的過程中仍維持糾纏的狀態，並不攜帶資訊。真正的資訊交換是在兩端測量之後才發生，因此竊聽者無法藉由竊取傳遞中的光子來獲得有用的資訊。假若竊聽者截取糾纏光子對並重新發送設定好偏振方向的光子對，因為只有兩端的光子保持糾纏才會違反貝爾不等式，可藉由分析兩端的測量結果是否違反貝爾不等式得知光子對是否被偷換，量子糾纏因此可以提高密鑰分發和加密通訊的安全性。此外，量子糾纏也可以用於量子資訊的傳輸（quantum teleportation）[10]。如圖三a 所示，若我們將光子1 與糾纏光子對中的光子2 進行貝爾態測量，則測量完成後光子3 會帶有與光子1 相關的狀態，量子資訊因此可以在不傳送光子1 的情況下由A 地傳送至B 地。另一個有趣的應用是量子調換（swapping，圖三b），若我們準備兩對糾纏光子，並由兩對光子各取一顆光子（2 與3）進行貝爾態測量，則在測量完後，剩下的兩個光子（1 與4）即使沒有互相接觸過，仍然會變成糾纏的狀態。量子調換在量子通訊的應用非常重要，它可以延長有效的通訊距離，是量子中繼器的理論基礎。

結語
上一個世紀第一次的量子革命為人類帶來了雷射與電晶體。雷射不管在醫學、工業與科學，甚至日常生活都有非常廣泛的應用，而電晶體的出現讓電腦速度與效能有非常巨幅的成長，資訊工程也因此成為現今非常重要的領域。而第二次的量子革命勢在必行，對人類帶來的改變或許會超出現今所能想像的範圍。這一切的發生都是建立在先賢們的努力上，阿斯佩和克勞澤開啟了人們對糾纏態的認知與重視，而塞林格在發展糾纏態的應用技術上則是重要的推手。

圖三：（a）量子傳輸示意圖 [10]。（b）量子調換示意圖 [11]。

參考資料

1.  兩種狀態機率各半的量子疊加態可寫成\( | \psi \rangle = ( | H \rangle +e^{i \alpha}  | W \rangle ) / \sqrt{2}\)，\(  | H \rangle ( | W \rangle )\) 代表硬幣是 ”H”（”W”）的量子態，α 為 0 至 2π 的實數，代表兩種狀態間的相位差。在這個例子裡面，不管 α 為多少，測量得到”H” 和”W”的狀態的機率都為 0.5。相位的影響則是在干涉時才會浮現。
2. A. Einstein, Concerning an Heuristic Point of View Toward the Emission and Transformation of Light, Ann. Phys. 17, 132（1905）
3. A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete ?” Phys. Rev. 47, 777（1935）
4. J. S. Bell, On the Einstein Podolsky Rosen paradox, Phys ics Physique Fizika 1, 195,（1964）
5. John F. Clauser, Michael A. Horne, Abner Shimony, and Richard A. Holt, “Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories,” Phys. Rev. Lett. 23, 880,（1969）
6. Stuart J. Freedman and John F. Clauser, “Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories,” Phys. Rev. Lett. 28, 938（1972）
7. Alain Aspect, Jean Dalibard, and Gérard Roger, “Experimental Test of Bell's Inequalities Using Time-Varying Analyzers,” Phys. Rev. Lett. 49, 1804（1982）
8. Gregor Weihs, Thomas Jennewein, Christoph Simon, Harald Weinfurter, and Anton Zeilinger, “Violation of Bell's Inequality under Strict Einstein Locality Conditions,” P hys. Rev. Lett. 81, 5039（1998）
9. Johannes Handsteiner, Anton Zeilinger et. al., “Cosmic Bell Test: Measurement Settings from Milky Way Stars,” Phys. Rev. Lett. 118, 060401（2017）
10. Dik Bouwmeester, Jian-Wei Pan, Klaus Mattle, Manfred Eibl, Harald Weinfurter & Anton Zeilinger, “Experimental quantum teleportation,” Nature 390, 575（1997）
11. Jian-Wei Pan, Dik Bouwmeester, Harald Weinfurter, and Anton Zeilinger, “Experimental Entanglement Swapping: Entangling Photons That Never Interacted” Phys. Rev. Lett. 80, 3891（1998）