沉醉於數字的高校教師約翰·雅各布·巴末耳

量子英雄傳說 第一季 第七集：約翰·雅各布·巴末耳(Johann Jacob Balmer ，1 May 1825 – 12 March 1898)

上一回的量子英雄傳說介紹了埃格斯特朗與他的光譜線研究。這些研究伴隨著一個重要的發展，就是尋找新元素。光是從1850年–1899年就發現了26種新元素，整個十九世紀更是發現了五十種新元素。每個元素都有各自的光譜線，這些光譜線與元素的化學性質到底有什麼關聯？這可真是個大哉問！克希荷夫和本生工作之後的幾年裡，光譜學的主要目標是確定給定元素光譜中譜線之間的定量關係以及不同物質譜線之間的關係。當1870年代以後，元素周期表的出現，顯現出元素的化學性質有某種秩序周期性地出現，再加上當時電動力學持續地進步，獨特的光譜線頻率對應到原子內部組成電荷分布的振動，更是讓科學家對元素的光譜線寄以厚望，希望能夠把光譜當作是個通往物質組成奧秘的窗口！

早在 1869 年愛爾蘭物理學家喬治·約翰斯通·斯通尼（George Johnstone Stoney 1826-1911）就推測光譜源於分子的內部運動。 然而，他的理論完全無法解釋實驗結果。這個工作是個跨世代的挑戰，就算到了1881 年，亞瑟·舒斯特(Sir Franz Arthur Friedrich Schuster 1851–1934)還是有這樣的感嘆：

Most probably some law hitherto undiscovered exists . . . .

很可能存在一些迄今為止未被發現的定律......

隔年後，舒斯特說道：

“光譜學雄心勃勃的目標，是研究原子和分子的振動，希望我們能得到關於將它們結合在一起的作用力的有用資訊……但我們不能過早地期待任何偉大或非常重要的發現。 一般規律，因為我們所謂的分子的構造無疑是一個非常複雜的問題，而且這個問題的難度是如此之大，以至於如果不是因為我們最終希望獲得的結果的首要重要性，從事這一項調查，除了最樂觀的人以外，其他人很可能會感到氣餒，即使經過多年的工作，結果也可能毫無結果。. . . 與此同時，我們必須興高采烈地歡迎，任何朝著理想方向邁出的最小一步。”

舒斯特作夢也沒想到兩年後，一位默默無聞的女子高中數學老師邁出了關鍵的一步！

這一步的重要性與普朗克發現的量子關係不相上下，都是即將來到的量子革命的磐石。這位高中老師就是瑞士巴塞爾的約翰·雅各布·巴末耳(Johann Jacob Balmer，1825–1898)。其實巴末耳能踏出這關鍵的一步，多少就像是金庸的天龍八部中虛竹之所以能破解逍遙派「聾啞老人」蘇星河的珍瓏棋局，此話說來唐突，但是確有幾分道理。因為巴末耳對物理所知甚少，對化學元素更是一竅不通！所以巴末耳沒有從電動力學下手，因為他根本不懂，也沒有企圖從元素周期表尋找靈感，而是單純地鎖定一個目標：氫的光譜線，這成為他成功的關鍵！因為氫的結構最為簡單，它就是一個質子與一個電子組成的系統。但是當時不要說質子，連電子都還隱沒在黑暗中，氫的特殊之處，只有它是最輕的元素。選定氫的光譜還有一個好處，就是在可見光的範圍內，氫光譜只有四條光譜線，而且被非常精確地被測量了。

事實上，氫是科學家非常熟悉的一種元素。早在1671年，羅伯特·波義耳發現鐵屑和稀釋酸之間會發生反應，並產生氣體——也就是氫氣。1766年，英國怪才亨利·卡文迪什同樣利用金屬和酸之間的反應，發現氫氣是一種獨立的物質，並將其命名為「易燃氣」。1781年，他又發現該氣體在燃燒後會生成水。故此，卡文迪什一般被後世尊為氫元素的發現者。1783年，安東萬-羅倫·德·拉瓦節和皮耶爾-西蒙·拉普拉斯重複並證實了卡文迪什的實驗。拉瓦節為這一元素命名為「Hydrogen」，詞源為希臘文中的「水」（ὑδρο）和「創造者」（-γενής）。

言歸正傳，就在1884 年 6 月 25 日，巴末耳在巴塞爾的 Naturforschende Gesellschaft (巴塞爾自然科學協會)發表演講時，向前邁出了一大步。 他首先用“基本數”h來表示氫光譜的四個可見光線的波長如下：

巴末耳採用的h = 3.6456×10⁻⁷ m，或者我們用埃來表達，h等於3645.6 Å

巴末耳注意到公式中的分子是 3²、4²、5²、6²，而分母則是 3²-2²、4²-2²、5²-2²、6²-2²。

因此，他得出了一個簡單的公式，該公式用兩個整數 m 和 n 表示已知的氫光譜波長：

\(\lambda=const \left(\frac{m^2}{m^2-n^2}\right)\)

對於氫，n = 2。現在讓 m 取值 3、4、5、6.。每個計算依次將產生可見氫光譜的波長。

最初，巴末耳只知道埃格斯特朗對前四條可見氫線的測量結果，但是他還使用m = 7計算了公式的第五個結果，預測氫的第五條線的波長在 3969.65 埃處。如果它存在，它幾乎在可見光譜的邊緣。他很快被告知這條線以及其他線已經被發現了！公式獲得的計算結果與觀察值之間的比較顯示非常一致，差異最多為一千分之一。這是紫外波段，當時的光譜技術已經能夠量到這麼短波長的光譜線了。 

這個石破天驚的發現背後是一位謙遜有禮，可能還有點奇怪的老紳士。巴末耳1825年誕生在瑞士巴塞爾鄉村的勞森，是家中的長子。大學時期曾留學德國的卡爾斯魯厄大學和柏林大學，攻讀數學，1846年回到瑞士，擔任中學時期的母校巴塞爾中學的工程製圖教師。1849年巴末耳以關於擺線的論文在瑞士巴塞爾大學獲得博士學位。1859年起在瑞士巴塞爾女子中學擔任數學教師，1865年到1890年期間擔任巴塞爾大學的兼任講師。

巴末耳的專長是幾何，但是他著迷於數秘術(numerology)，數秘術其實不算是科學或是數學，而是一種”法術”~。有點像是我們熟悉的姓名學，或是陰陽五行之術，數秘術主張整數可以解釋世上一切事物。他認為一切真理可以用整數的比率、平方等等去理解，就像古代的畢達哥拉斯主張的那樣，巴末耳就曾以西結書第 40-43 章中給出的尺寸比例去重建裡頭描述的”未來新聖殿”的設計圖。 那麼，你可能會問，他是怎麼來選擇氫譜作為解決問題的呢？

這時候，我們要感謝他的好朋友Eduard Hagenbach-Bischoff (1833– 1910)。Hagenbach-Bischoff 在巴塞爾、柏林、日內瓦、巴黎學習物理和數學，並在巴塞爾獲得了博士學位。 從 1863 年到 1906 年，他是巴塞爾的物理學正教授 1874 年，他成為巴塞爾新成立的“伯努利亞”物理研究所所長，並於 1874 年至 1879 年擔任瑞士科學院院長。

巴末耳向Hagenbach-Bischoff 抱怨他“無事可做”。Hagenbach-Bischoff 回答說：“嗯，你對數字很感興趣，你為什麼不看看你能從氫光譜中得出的這組數字呢？” 沒想到，巴末耳居然得到了這麼一個不可思議的公式！當時巴末耳已經將近 60 歲了。

巴末耳隔年正式發表論文， 他討論了常數h (3645.6 x 10^-7 mm) 的意義：

人們可以稱這個數h稱為氫的基本數；如果人們也能成功地找到了其他化學元素的相應基本數，那麼就可以推測這些基本數和[物質的]原子量之間存在某些關係，可以表達為原子量的函數。

他還討論了如何確定巴末耳公式描述的線的極限波長：

“如果 n = 2 的公式對於氫光譜的所有光譜線都是正確的話，那麼這意味著朝著紫外端這些光譜線越來越接近波長 3645.6埃，但不能跨越這個限制；而在 [光譜的紅端] C 線 [今天稱為 H_a] 代表可能最長的 [波長] 線。只有存在更高階的光譜線，才會在紅外區域出現。

所謂更高階，是指 n 取更高的值，例如 3、4、5 等等。當然，這種主張是不正確的，量子英雄傳說的讀者們可以想想看，理由是什麼。

在第二篇論文中，巴末耳表明他的公式適用於氫光譜中的所有 14 條已知譜線。 (m從3 到 16，n=2)。許多實驗測量值非常非常接近巴末耳的值，誤差只在 0.1 Å 或更小範圍內。 然而，至少有一條線偏離了大約 4 Å。 巴末耳居然懷疑實驗測量值不準，而不是他的公式有問題呢！這種態度會讓正牌物理學家抓狂吧，哈哈哈~

1897年高齡七十二的巴末耳又發表了有關氦光譜和鋰光譜的各譜線頻率之間的類似關係。這一年英國科學家湯木生發現了電子，但是顯然還沒有人理解巴末耳的神奇公式與電子有什麼相關，隔年巴末耳就去世了，終其一生，巴末耳與他的同輩們，雖然掌握著通往量子神宮大殿門口的鑰匙，但是沒有人去轉動它。科學界要再等待十五年，才第一次轉動這把鑰匙，當然，這還需要將普朗克的量子和湯木生發現的電子，這兩種知識熔為一爐才能大功告成，這其中的來龍去脈，還請讀者們屏息以待，更精采的還在後頭！