2022諾貝爾物理獎：量子糾纏與貝爾不等式（ 上）

瑞典皇家科學院於2022 年10 月4 日公布2022 年度諾貝爾物理學獎得主，由美國John Clauser、法國Alain Aspect 及奧地Anton Zeilinger 等三位物理學家獲殊榮，表彰他們各自進行糾纏光子（entangled photons）實驗，確認違反貝爾不等式（Bell’s inequalities）、開拓量子資訊科學的重要傑出貢獻。這是距 2012 年頒獎給Serge Haroche 與David J. Wineland 表彰他們發展出突破性的實驗方式，來測量及操控個別單一的量子系統之後，睽違十年，諾貝爾物理獎終於再度頒發給量子物理領域的研究學者。

要介紹今年諾貝爾物理學獎得主的工作的重要性，似乎要從量子世界與古典世界具有一些本體上的差異談起才能讓讀者有稍微深刻的了解。也曾是諾貝爾物理學獎得主的Richard Feynman 曾經說：「我想我可以放心地說沒有人真的懂量子力學」（I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics）。這並不表示Feynman 他也不懂量子力學，而是量子世界觀與古典世界觀在本質上具有顛覆性的不同，讓剛接觸這領域的人們總會不斷地發問，「它怎麼可能會是這樣？」的問題。例如，為什麼一個量子系統就不能同時有確定的位置和動量？電子、光子怎麼可能可以同時處在這裡又在那裡？又怎麼可能既是粒子又是波？這最主要是因為量子力學的思維、詮釋與現象無法與日常的古典世界類比，讓他們覺得量子力學非常不可思議。Feynman 的用意是希望人們不要試圖以他們熟悉的概念、生活的經驗與現有的知識去“ 懂” 量子力學。或許他們應該放棄成見，擁抱一個全新的世界觀，接受微觀的量子態與量子測量“ 是會這樣的”，那麼就可以體會到那個量子世界的奇妙與引人入勝之處。

然而在量子論早期發展有卓越貢獻的物理學家如Albert Einstein 和Erwin Schrödinger，他們具對古典物理深厚的訓練與觀察和扎實的認知與素養，雖然會傾向認為量子力學可以正確描述物理世界，但由於無法摒棄對古典物理固有的信念與法則，就會覺得後來量子力學對量子系統與量子現象所發展出來的波函數的詮釋與闡述令人難以相信及接受，尤其是對2022 年諾貝爾物理學獎的主題：量子糾纏（quantum entanglement）。本文將分上下兩部分介紹量子糾纏與貝爾不等式，就讓我們以Einstein 與Niels Bohr 對量子力學詮釋的系列論戰揭開序幕。

Einstein 與Bohr 對量子力學詮釋的系列論戰

在量子力學裡，若幾個粒子（或物理自由度）在彼此交互作用後，各個粒子所擁有的特性已綜合成為整體性質，此時我們只能描述整體系統所處的整體量子態，無法分開單獨地描述各個粒子的性質或各自所處的量子態，此特別的整體量子態稱為糾纏態（entangled state），而這樣的現象稱為量子糾纏。處於特定糾纏態的兩個量子系統不論相距多遠都存在一種關聯性（correlation），其中一個量子狀態發生改變，另一個的狀態會同時發生相對應的改變。量子糾纏長期是量子力學中最具爭議性的問題之一。這個爭議可追溯到Einstein 與Bohr 對量子力學的看法與詮釋的系列論戰。在微觀世界的量子力學锂，物理系統的所有性質由一個波函數（量子態）完全描述，在沒有人測量的時候，波函數遵從Schrödinger方程式隨時間演化，那是一個連續、平滑、確定的過程。而當測量發生時，處於線性疊加態（linear superposition state）的波函數會突然崩陷（collapse）到所測量之物理量算符（operators）的其中一個本徵態（eigenstate），那是一個斷裂、突然、隨機的過程。按照Max Born 的詮釋，波函數是機率波（機率振幅），我們只能計算出可觀測之物理量可能之測量值（本徵態所對應到的本徵值）出現的統計機率（波函數振幅絕對值的平方），但不能預測該物理量在某個實驗中的確切測量值。例如，我們只能預測放射性原子在某段時間會發生衰變的機率有多少或是粒子在任一時間在某個位置可能出現的機率是多少，但不能確切預測何時放射性原子會衰變，或是任一時間粒子的確切位置，因為這些測量的結果是本質性地隨機發生。

在量子世界裡，物體的運動不再有確定的軌跡、路徑，而是取決於機率。例如，一顆粒子碰撞後會往哪一個方向運動已不再能確切知道，而我們只能計算它朝向某個方向運動的機率。既然物理量的測量值遵從某種機率分佈，即具有不確定性，那麼此不確定度有下限（lower bound）嗎？Werner Heisenberg在測不准原理（uncertainty principle）的論文中指出位置、動量等最基本的物理量不可能同時被精確地確定，這是來自量子力學裡的位置和動量的物理量算符（operators）的不可交換性（或不對易性）。如果在測量粒子的位置後立刻測量它的動量，那麽我們會發現，動量的測量值並不確定，而是一個機率分佈，反之亦然。所以，在量子力學裡，對系統的觀測能改變它的量子態，從而改變物理量被測量時的取值。如果我們先測量粒子的位置，然後立刻測量它的動量，接著再立刻測量它的位置，我們會得到與第一次測量粒子的位置的不同測量值！因此，粒子的位置和動量是具不可交換性的物理量，它們不能同時具有確定的值，且它們的測量值取決於測量的方式和過程。這導致一個很有趣的問題，對於任何量子系統，它的物理量屬性在被測量之前存在嗎？由於量子測量的結果會因測量方式的選擇以及測量過程本身而改變，所以量子世界中不存在一個獨立於測量過程的客觀的物理實在（physical reality），量子力學所能描述的只能是這些測量結果的總體集合。例如，只要選擇了測量粒子的位置，粒子的動量就無法定義，只要選擇了測量粒子的動量，粒子的位置就無法定義，所以這些物理量也就不成為物理實在。

Bohr 認為光子或電子只是在我們觀察時才呈現像波或者像粒子的性質，或者才處在某個位置或者才具有特定動量。這些看似自相矛盾，但它們其實是互補，一起構成抽象的量子力學描述。在沒有被觀測的時候，光子、電子既不是波也不是粒子，更不具有位置、動量等性質。量子物理系統的狀態由一個波函數（量子態）完全描述，只有經由不同的實驗觀測到其不同的面貌結果，才能了解電子、光子等量子物理系統的全貌。有關波粒二象性、測不准原理等不是我們認知層面的局限，而是量子力學的本體性質。經由不同的觀測方式獲取那些看起來自相矛盾的資訊，將它們互補統整，才能夠、也的確可以完整地描述量子系統的世界。

然而量子測量中這個突然、隨機的波函數崩陷過程，不僅不符合Schrödinger 方程式的演化，而且也沒有任何數學或邏輯的描述。當觀測者選擇測量某一類物理量時，量子的世界似乎便會隨之展現那一面的“ 客觀實在”，同時掩藏起其另一面。而自然界是如何回應觀察者這一測量選擇的，量子力學卻沒能給出令人信服的答案。這就是所謂的量子測量問題。Einstein 曾指出，Schrödinger 的波動方程式只描述了波函數隨時間的連續、平滑演化，其中並不存在一個讓波函數從大範圍的空間分佈“ 崩陷” 到只存在於一個位置點的莫名其妙的突然變化。這個波函數的崩陷過程既沒有相對應的物理機制也不具備嚴格的數學推演。因此，現有的量子力學理論不可能已經完備。即使假設量子力學中的確存在這樣一種未知的機制能夠協調波函數在整個空間中各個點之數值的突然變化，然而這個協調過程不需要時間，各個點之間任何資訊交流都會是在瞬間完成，不受光速的限制，Einstein 認為那樣的結果必然會違背狹義相對論。

Einstein 也曾質疑Born 的機率波詮釋和量子力學裡的隨機性，他認為一個完整的理論必須具備嚴格的因果關係，不該含有隨機因素。他曾在給Born 的信中說他相信「祂（上帝）不擲骰子」（He is not playing at dice）。Einstein 也認為量子力學對許多重要物理性質只能提供機率分佈的預測、不代表這些物理性質不存在，例如，他曾問：「你真的相信當你不看月亮的時候，它不存在嗎？」（Do you really believe the moon is not there when you are not looking at it?）。他認為量子系統也應具有獨立於測量過程的客觀的物理實在，與觀察與否和如何被測量無關。例如，電子在螢光屏幕產生亮點時，在那裡出現的電子不會只是在那一時刻成為實在。在那之前的瞬間，它應該就已經處在那個點附近。不會突然地無中生有，也不可能處在連光速都不能夠抵達該點的遠方。

Bohr 則持相反的觀點。他認為電子在螢光屏幕上產生亮點的出現只是因為螢光屏幕是一個測量位置的裝置。在那之前的一瞬間，電子並不知道它下一時刻會遇到的是螢光屏幕還是另外一個測量動量的儀器，因此那時電子還不會有確定的位置。在遭遇螢光屏幕之前，在量子力學中有的只是一個尚未崩陷的波函數。電子的位置、動量、乃至電子本身都只是抽象的概念，並非物理的實在。波函數只是一個抽象概念的機率波，不是可測量的物理量，它的崩陷也許並不涉及真實資訊的傳播，不會違反相對論。波函數中所蘊含的因果關係只會在機率、統計的意義中體現。

在Einstein 的相對論中，牛頓力學的絕對空間和絕對時間並不是客觀的物理實在，而我們能認知的世界取決於我們具體地如何測量時間、長度等物理量。Bohr 和Heisenberg 繼承了這個思維與想法，認為在量子力學裡，我們只能通過各種觀測方式來了解認識微觀的量子世界。與相對論中的參考坐標系選擇類似，這些測量的結果會因測量方式的選擇以及測量過程本身而改變，因此量子世界中不存在一個獨立於測量過程的客觀的物锂實在。量子力學所能描述的便只能是這些測量結果的總體集合。然而Einstein 與Bohr 在量子力學中涵蓋諸多方面，包括隨機性、非局域性、因果律以及完備性等等的爭論中，他們最本質的分歧似乎在於微觀世界中是否存在著客觀的物理實在（有關非局域性、因果律以及完備性等爭議將於稍後敘述）。

EPR 假想實驗、量子糾纏與局域隱藏變數
針對物理實在性，Einstein、Podolsky 和Rosen（簡稱EPR）在1935 年發表了一篇標題為「物理實在的量子力學描述可以被認為是完備的嗎？」（Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?）的論文。裡面提出了一個假想實驗，論證了量力子學不能描述某些客觀實在，所以量子力學並不完備。那時Einstein 傾向認為量子可以「正確描述」物理世界，只不過量子力學理論並不完備。

在EPR 論文裡，作者開宗明義地指出「對一個物理理論的任何認真考慮都必須考慮都必須考量到不依賴任何理論（independent of any theory）與該理論所使用的物理概念之間的區別。這些概念旨在與客觀實在相對應，並且通過這些概念，我們將這種客觀實在描繪給我們自己。」接著定義了物理實在的充分條件：對於一個與外界沒有交互作用的系統，如果系統在沒被干擾的情況下，我們能準確預測物理量的測量值（即該物理量為預測值的機率是100%），那麼該物理量對應一個客觀物理實在。EPR 然後描述了一個簡單的假想實驗：一開始因為有相互作用而有了整體共同波函數（糾纏態）的兩顆粒子，彼此分開後沒有交互作用處在距離非常遙遠的A和B 兩地。在被測量之前，根據量子力學它們都不具有位置或動量這樣的物理性質。當其中一顆粒子被某個測量儀器測量時，它會突然地有了確切的位置或動量，而具體有了這兩個物理量中的哪一個取決於測量方式的選擇。假設當處於A 地之粒子的位置被測量時，其位置被確定了，而由於糾纏關聯性，我們可從處於A 地之粒子的位置準確推斷出處於B 地之粒子的位置；假設當處於A 地之粒子的動量被測量時，其動量被確定了，而由於糾纏關聯性，我們可從處於A 地之粒子的動量準確推斷出處於B 地之粒子的動量。然而A 和B 兩地粒子之間已經没有交互作用，B 地之粒子並沒有被對A 地粒子之測量干擾。因此B 地之粒子的位置和動量能在没有被干擾下被準確預測，因而都對應客觀物理實在。只是處於B 地之粒子的位置和動量兩物理量的其中一個可以被確切預測，但我們不能同時確切預測兩者。

然而在量子力學裡，位置和動量的物理量算符（operators）是不可交換（不對易）的，任何通過實驗確定其中一個物理量測量值的嘗試都會以破壞另外那一個物理量測量值資訊的方式改變系統的量子態（波函數），所以當粒子的動量已知時，其位置就沒有物理實在性。另外，EPR 認為具完備性理論的條件可視為物理實在的每一個成員（element）都必須在物理理論中有一個對應量。由此推論，要麼（1）波函數對物理實在的量子力學描述不完備，要麼（2）當對應於兩個物理量的算符不可交換時，這兩個物理量不能有同時的物理實在性。回到EPR 論文裡的假想實驗，若從否定推論（1）的敘述出發，也就是假設波函數確實給出物理實在的完備描述，那麼會得到的結論為對應於處於B 地之粒子之兩個不可交換算符的物理量能夠有同時的物理實在性。所以，對推論（1）的否定導致對唯一的另一個推論（2）的否定。因此，EPR 得出結論，波函數給出的物理實在的量子力學描述是不完備的。

儘管EPR 承認有人可能會反對這一結論，所持的理由是他們的客觀實在與完備性的標準不夠嚴格。EPR 指出第二種選擇的邏輯可能性：「事實上，如果堅持認為兩個或多個物理量只有在它們可以被同時測量或預測時才能被視為物裡實在的同時成員（elements），那麼就不會得出我們的結論。」這是由於處於B 地之粒子的位置和動量不能同時被確切預測，因此它們可以被認定為不是同時物理實在的成員。然而，EPR 基於微觀世界中也存在著客觀的物理實在的思維，認為B 地之粒子的位置和動量雖不能同時但可以分別地被確切預測且在A 地粒子之測量過程並沒有以任何方式干擾到B 地之粒子，所以它們兩者可以分別為物理實在的。不過，由於這樣的觀點會使得 B 地之粒子的位置和動量的物理實在性取決於對A 地之粒子執行測量的過程，EPR 認為不能夠期望對物理實在的合理定義可以允許這樣的情況發生，因此捨棄了第二種選擇。

然而EPR 所承認的第二種選擇的邏輯可能性正是Bohr 的立場。Bohr 也寫了一篇標題與EPR 論文一模一樣的論文「物理實在的量子力學描述可以被認為是完備的嗎？」進行回應。Bohr 認為如果沒有測量，也就沒有物理實在，在測量前量子系統有的只是一個尚未塌縮的波函數。Bohr 這一觀點與EPR 論文一開始即主張的對一個物理理論存在「不依賴任何理論的客觀實在」的論點截然相反。Bohr 認為人類對物理實在的認知取決於測量儀器和方式的選擇。對某些物理量測量的過程必然形成對系統的干擾，從而使得另一些物理量變得不可預測，也就不可能明確地定義那些物理量。例如只要選擇了測量粒子的位置，粒子的動量就無法同時定義，也就不成為物理實在。量子力學的這一性質是本體性的，不是侷限於人類的認知層面。Bohr 指出EPR 給出物理實在的定義中「不對系統造成任何干擾」這個前提非常含糊，無法適用於量子的微觀世界。EPR 假想試驗中那具有同一波函數的兩顆糾纏粒子可視為一個共同整體系統，對其中一顆粒子的測量不僅干擾了這顆粒子，也干擾了整個系統，從而同時干擾了另一顆粒子。這樣，EPR 的挑戰便迎刃而解。

Bohr 論文的發表為這個與Einstein 為期將近十年的辯論下了最後的結論。在那之後，很少人還會繼續討論這個話題。如果有人好奇地提起，也總會得到一個現成的回答：Bohr 已經解釋過了。量子物理學的主流，尤其是更年輕的一代，早已轉移戰場，認為量子力學的基本問題已有定論，剩下來的只是各種的實際計算工作。

最早使用「糾纏」一詞的是Schrödinger，他在1935 年的論文中寫道：「我不會將其稱為量子力學的一個特徵，而是將其稱為這個與古典思想完全背離的量子力學特徵。」（I would not call that one but rather the characteristic trait of quantum mechanics, the one that enforces its entire departure from classical lines of thought）.也就是說量子糾纏的確具有奇特的關聯性。在EPR 假想試驗論文中，處於糾纏態的兩顆粒子彼此分開後，位在距離遙遠的A 和B 兩地。當其中一地的觀察者通過觀測確定了該地粒子的量子態，無論這兩顆粒子之間的距離相隔多遠，另一顆粒子的量子態會同時發生崩陷而確定下來。然而Bohr 的回應並沒有涉及兩顆粒子之間距離遙遠、以光速仍不可及的困難與問題。

包括Einstein 在內的物理學家在1930 年代提出了一些對量子糾纏關聯性的解釋。分別處在A 和B 兩地的粒子，若彼此之距離比光速乘以對A 粒子進行測量所需時間的結果還更大，則對A 粒子的測量不可能影響B 粒子的任何屬性，稱為「局域性」（locality）。在測量之前，EPR 的這兩顆糾纏粒子各自是什麼狀態能否確定呢？按照量子力學的詮釋，兩顆粒子各自的狀態只有在測量之後才能確定，且兩顆粒子不管距離多遙遠，在測量以後同時會隨機崩陷到相對應的狀態。如果A、B 兩地距離極遠，那麽這影響便是超光速的傳播。Einstein 把這種「非局域性」（nonlocality）的量子糾纏關聯性，形容為「鬼魅般的超距作用。」（spooky action at a distance）這似乎從本質上違反了局域性的因果關係。以Einstein為代表的科學家堅信傳統、局域的因果律，認定那是所有科學邏輯能夠存在的前提，量子力學也不例外。所以，在非局域和不完備之間，他們毫不猶豫地選擇了量子力學還不完備的結論。基於此，他們更傾向於這個可能：這對粒子在一開始相互作用的糾纏過程中達成了某種“ 協議”，或者獲取了某種“ 指令”。彼此分離後，它們各自都還攜帶著同樣的協議或指令。在遇到測量儀器時，它們不過只是按照既定的協議、指令行事，表現出似乎是協調一致的行為。只是我們對這協議、指令是什麼、如何作用等等一無所知。那神秘，未知但具備決定性意義的協議、指令就是所謂的「隱藏變數」（hidden variable）。他們認為量子力學的隱藏變數只能與微觀粒子如影隨形，在其所在的地點局域性地發生作用，或稱之為「局域隱藏變數」（local hidden variable），唯如此才能保證科學的局域因果律。Einstein 認為以這樣的局域隱藏變數方式對客觀物理世界處於糾纏態的粒子的量子力學描述還沒有完備，但畢竟不會違反相對論，避免了鬼魅般的非局域性超距作用，也符合傳統局域的因果關係。舉例來說：如果我們把一雙手套分別放在兩個箱子裡，然後送到距離非常遙遠的兩地，那麼打開一邊的箱子發現手套是左手的、那我們自然就會瞬間得知另外一邊的箱子裡的手套是右手的，反之亦然。這其中手套在每一瞬間的物理實在屬性（屬於是左手的或右手的）都是「存在」，只不過我們「不知道」而已。因此推測存在一些被稱為「局域隱藏變數」的未知屬性決定了粒子或手套在測量前的狀態。Einstein 認為量子力學認為箱子打開之前「手套物理實在屬性不存在」、「手套物理實在屬性瞬間被決定」根本是荒謬。量子力學所謂的「鬼魅般的超距作用/ 非局域性」就是因為理論不完備，處於糾纏狀態的粒子之間的關聯性正是因為它們包含某種局域隱藏變數。

很可惜的是EPR 假想實驗與量子糾纏的論戰並沒有引起多數物理學家駐足，1930 年代後量子力學的成功與之後量子場論、粒子物理學的偉大勝利讓這個看似哲學爭論的議題顯得無關輕重，雖然有一些物理學家試著提出不同的詮釋，但始終缺乏一個可以直接透過實驗驗證的預測。如何用實驗去區分糾纏狀態的粒子之間的關聯性是源於量子力學本質固有的性質，還是源於某種局域隱藏變數呢？一直要到1964 年John Bell 才指出這個可能性。古典觀點的「物理屬性看不見」與量子觀點的「物理屬性不存在」是有可能可以被實驗區分的。

參考文獻：
由於分散在文章許多地方的內容參考、節錄、翻譯、改寫或重整來自下列主要參考文獻的部分內容，為求文章清晰度與閱讀流暢度，就不再逐一於相對應之地方引述。

1. The Royal Swedish Academy of Sciences, Popular science background: How entanglement has become a powerful tool, https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2022/press-release/
2. The Nobel Committee for Physics, Scientific Background on the Nobel Prize in Physics 2022: For experiments with entangled photons, establishing the violation of Bell inequalities and pioneering quantum information science, https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2022/press-release/
3. A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete ?, Phys. Rev. 47, 777 （1935）.
4. 程鹗，量子纠缠背後的故事。https://blog.sciencenet.cn/u/eddiecheng ; https://xiezuo.eddiecheng.net/p/quantum-00

( 待續)