從中學時期開始，相信許多人都會有類似的體驗：物理是數學以外使用數學最多的科目。翻開任何一本物理教科書，很難看到連續兩頁都沒有出現數學公式的情況。大學裡，理工科系的必修科目中，通常都有一定數量的高等數學課程；它們的名字或許叫應用數學、工程數學、物理數學、高等微積分，或是數學分析等等。各系也可能將上述課程各部分內容分別獨立出來，開出像是線性代數、向量分析、複變函數、偏微分方程、群論、微分幾何等課程。理想上，這些數學課程存在的目的是為了幫助學生們在學習物理相關課程前打好必要的數學基礎。不過，經常發生的狀況是：學生們在毫無心理準備的情況下先在物理課裡遭遇到這些令他們有些困惑或害怕的數學，然後才在數學課裡再度學習到它們；許多人因此而有適應不良的痛苦經驗。

相信任何一個學過物理的人都學過電荷守恆定律—封閉系統內的總電荷隨時間不變，即電荷不能被創造或消滅。例如，電子\(e^−\) 帶負電荷 \(−e\)（\(e\) 為質子電荷），反電子 \(e^+ \) 帶正電荷 \(+e\)，兩者可碰撞而互相湮滅，變成兩顆光子（圖一）。在這過程中，初態總電荷為 \(−e + e = 0\)，終態總電荷也為零（光子不帶電荷），因此這過程符合電荷守恆定律，並且確實在實驗中被觀察到。至今，物理學家並未在實驗中發現電荷守恆定律被違反。因此，我們有理由相信電荷守恆定律是被嚴格遵守的基本物理定律。我們很自然會問：「為何電荷守恆？」在第二章，我們知道守恆定律與物理定律的對稱性有關。例如，能量守恆是基於物理定律在時間平移下的不變性，即物理定律不分時間；動量守恆是基於物理定律在空間平移下的不變性，即物理定律不分位置；角動量守恆是基於物理定律在空間旋轉下的不變性，即物理定律不分方向。我們可以問：「電荷守恆是基於某種物理定律的對稱性嗎？」從現代物理學的角度看，答案是肯定的。可是，有別於能量、動量和角動量守恆所對應的時空對稱，電荷守恆所對應的對稱與時空對稱無關，是一種獨立於時空對稱的內在對稱，稱為規範對稱（gauge symmetry）。在現代物理學裏，規範對稱被視為比電荷守恆更基本的原理，因為電荷守恆只是規範對稱所蘊含的眾多結果之一。

量子英雄傳說 第一季 第四集：馬克斯·卡爾·恩斯特·路德維希·普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck，1858年4月23日－1947年10月4日）

世家子弟多半老成持重，所謂「千金之子不死於盜賊」。然而世事難料，開了量子革命第一槍的，卻是一位不折不扣的世家子弟。但是他卻是在通往革命的門前，來回踱步，躑躅不前，沈吟再三，直到五年後，被年輕後輩的一記驚天雷，嚇到回過神來。這段戲劇化的過程，正是黑體輻射這幕大戲的結局，而主角就是德國物理學家馬克斯·普朗克（Max Planck）

量子足跡何處尋第三集：脈衝星
 大家相信有外星人嗎？從太空傳來規律的無線電波會不會是外星人在呼朋引伴？這一次讓我們來談談這個有趣的問題。歷史上第一次從太空收到可疑訊號，是在1967年10月，劍橋大學卡文迪希實驗室（Cavendish Laboratory）的一位研究生——24歲的喬絲琳·貝爾·伯奈爾（Jocelyn Bell Burnell）在檢測無線電望遠鏡收到的訊號時，無意間發現了一些有規律的脈衝訊號，它們的周期是1.337秒，而且非常穩定。這個發現一開始被半認真地視為外星文明傳送來的訊號，隨後戲謔地取名為小綠人，標示為LGM-1。(Little Green Man)。但是之後沒多久，更多以不同的自轉週期散佈在天空各處的無線電波波源被發現之後，就迅速的排除了這種可能性。後來人們確認這是一類新的天體，並把它命名為「脈衝星」。這當然不是什麼小綠人。

20 世紀60 年代天文學有四項非常重要的發現：脈衝星、類星體、宇宙微波背景輻射以及星際有機分子，它們被稱為「四大發現」。這四項發現都與無線電波望遠鏡有關，所以不意外地，1974 年的諾貝爾物理學頒給兩位英國天文物理學家，馬丁· 賴爾（Martin Ryle，1918-1984）與安東尼·休伊什（Antony Hewish，1924-2021）。得獎的理由是「他們在無線電天文物理學的開創性研究：賴爾的發明和觀測，特別是合成孔徑技術；休伊什是發現脈衝星方面的關鍵性角色」。這也是諾貝爾物理獎第一次頒給專業的天文學家。

量子英雄傳說第一季 第三集：打開量子大門的男人--威廉·維因（Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien，1864年1月13日－1928年8月30日）

貝爾不等式
John von Neumann 在他1932 年的《量子力學的數學基礎》（Mathematical Foundations of Quantum Mechanics）一書中已經以數學證明了量子力學在測量時所呈現的隨機性是理論的內在必然，不可能出自某種尚未被發現的隱藏變數來描述測量之前粒子的位置、動量等等物理量。然而Bell 在1952 年，工作之餘讀到了David Bohm 剛發表的論文。其中描述了一個「非局域隱藏變數」（nonlocal hidden variables）理論，讓粒子隨時都具有確定的位置和動量。這個理論不僅沒有與正統量子力學衝突，反而可以完全等價。年輕的Bell 思想上與Einstein 類似，Bell 嘗試尋求局域性隱藏變數的可能性。他也對Bohm 動力學中的非局域性感到不可思議。Bell 稍後驚訝發現 von Neumann 的證明中存在邏輯漏洞。其實早在von Neumann 的書出版之後兩年，德國的年輕女數學家 Grete Hermann 就已經指出von Neumann 使用了一個不合理的假設，因此整個證明過程出現漏洞。但她的論文發表在一份小刊物上，沒有引起注意。Bell 發現如果摒棄von Neumann 那個不必要的假設，原先的結論也並非完全毫無用處。量子力學雖然沒有一概地排斥隱藏變數，卻的確不允許Einstein 所堅持的局域性隱藏變數。所以，如果隱藏變數能夠在量子力學中存在，它必須是非局域性的，這是為什麼Bohm 能夠提出一個維持物裡實在性但與量子力學等價的「非局域隱藏變數」理論，而Einstein 卻只得無功而返。之後，Bell 開始認真考慮如果量子力學中不允許局域性的隱藏變數，那它是否真的就會有被允許的非局域性隱藏變數，那它是否真的就會允許那個曾令 Einstein 憂心忡忡的鬼魅般超距作用的存在？如何才能通過實際測量驗證呢？

瑞典皇家科學院於2022 年10 月4 日公布2022 年度諾貝爾物理學獎得主，由美國John Clauser、法國Alain Aspect 及奧地Anton Zeilinger 等三位物理學家獲殊榮，表彰他們各自進行糾纏光子（entangled photons）實驗，確認違反貝爾不等式（Bell’s inequalities）、開拓量子資訊科學的重要傑出貢獻。這是距 2012 年頒獎給Serge Haroche 與David J. Wineland 表彰他們發展出突破性的實驗方式，來測量及操控個別單一的量子系統之後，睽違十年，諾貝爾物理獎終於再度頒發給量子物理領域的研究學者。

所謂的量子穿隧效應（Quantum tunnelling effect）是指像電子等微觀粒子能夠穿入甚至穿越位能障壁的行為。儘管在古典力學中，當位能障壁的高度大於粒子的總能量，這種行為隱含著負動能值，這完全是不可能發生的事。但是在量子力學中這卻是稀鬆平常的事。量子穿隧理論原先被應用在原子物理與原子核物理中。最有名的例子莫過於喬治· 伽莫夫於1928 年用量子穿隧效應解釋原子核如何產生α 衰變以及核融合如何發生。但是量子穿隧效應在半導體物理學、超導體物理學等其它領域也有很重要的應用。1973 年的諾貝爾物理獎就是頒給三位將量子穿隧效應（Quantum tunnelling effect）應用到半導體物理學、超導體物理學相關領域的物理學家：出生於日本的美國籍物理學家江崎玲於奈（出生於1925 年3 月12 日）與出生於挪威的美國籍物理學家伊瓦爾· 季埃弗（Ivar Giaever，出生於1929 年4 月5 日）兩人因「發現半導體和超導體的穿隧效應」而各得到四分之一的獎金。英國物理學家約瑟夫森（Brian David Josephson，出生於1940 年）則因「理論上預測出通過位能障壁的超電流（supercurrent）的性質，特別是被稱為約瑟夫森效應的現象」而得到另外一半的獎金。值得一提的是是得獎的當時，這三人都不是大學裡的教授，江崎玲於奈當時任職於IBM，而賈埃弗則是在通用電氣工作。至於約瑟夫森當時還是劍橋的講師（reader），他在得到諾貝爾獎後才被升為教授。

量子足跡何處尋：第二集 白矮星
上一回我們介紹了一個顯現在天空的量子效應，那就是恆星內部的核融合所仰賴的穿隧效應。沒有它，許多星體都無法發光。不過在無邊無際的星空中，還有一些較為暗淡的星體，它們之所以沒有分崩離析，背後也是靠著某種量子效應。這次，就讓我們從「小狼」講起，因為它正是這種倚賴量子效應才能苟延殘喘的星體之一。

量子英雄傳說第一季第二集：克希荷夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824年3月12日－1887年10月17日）

量子熊團隊成員「蜻蜓老師」（東海大學應用物理學系施奇廷教授）於 1 月 16 日舉行之「2023 台灣物理學會年會」中，獲頒「傑出物理教育獎」，得獎理由是「長期投身於台灣物理教育課程與教學之發展，並致力物理知識的推廣，具有顯著貢獻與影響力。」