小狼內心的秘密

量子足跡何處尋：第二集 白矮星

上一回我們介紹了一個顯現在天空的量子效應，那就是恆星內部的核融合所仰賴的穿隧效應。沒有它，許多星體都無法發光。不過在無邊無際的星空中，還有一些較為暗淡的星體，它們之所以沒有分崩離析，背後也是靠著某種量子效應。這次，就讓我們從「小狼」講起，因為它正是這種倚賴量子效應才能苟延殘喘的星體之一。

這裡的「小狼」，指的是天狼星的伴星，一般的稱呼是天狼星B，「小狼」是它的暱稱。說起天狼星，也就是天狼星A，那可是夜空中最亮的恆星。天狼星如此之亮，除了因爲原本它的光度本來就不低以外，主要還是因爲它距離地球很近。天狼星距離地球約2.6秒差距（約8.6光年），是距離地球最近的恆星之一。就是因為它看起來如此明亮，所以古埃及人把它稱爲「索普代特」（Sopdet，即刺目的女神薩提特），而索普代特的象形文字是一顆星星和一個三角形。(如下圖)

圖片來源：維基百科

古埃及人的新年就選在天狼星偕日升那一天，選這一天當作新年是因爲它是尼羅河週期汎濫期的開始。並設置了36顆偕日升的恆星，稱為旬星（將黃道360度的圓分割為10度一個段落），發展出一套在夜晚推算時間的方法。天狼星接著會消失在埃及的天空達70天，剛好與神話中象徵著索普代特和冥府之神奧賽西斯在埃及地府一起渡過七十天。但是古人並沒有發現「索普代特」身旁還躲著一隻「小狼」呢。

頭戴星星與紅裙的索普代特

圖片來源：維基百科

發現小狼其實還蠻大費周章的。大天文學家愛德蒙·哈雷(Edmond Halley，1656－1742)在1718年於大西洋航行丈量星空時，心血來潮對照了自己的天體測量結果和托勒密的《天文學大成》，赫然發現恆星居然並非靜止在空中，而是有微小的移動，這個現象被稱為自行運動(Proper motion)。哈雷發現天狼星在一千八百年間向南移動了30分角（約為月球的直徑）。接著，德國天文學家弗里德里希·威廉·貝塞爾(Friedrich Wilhelm Bessel，1784－1846)，從天狼星自行運動的變化中，推斷出天狼星旁應該還有一顆當時未發現的伴星。但是要等到20年之後，美國天文學家雅凡·格雷翰·克拉克（Alvan Graham Clark，1832 – 1897)）才在1862年1月31日首次觀測到這顆暗淡的伴星。它就是我們今天的主角，小狼。

後來科學家根據對天狼星AB雙星系統的觀測資料來分析，發現小狼的質量約一個太陽質量。美國天文學家沃爾特·亞當斯(Walter Sydney Adams，1876－1956）於1915年在威爾遜山天文台使用一座60英寸（1.5米）望遠鏡觀測天狼星B的光譜，確定其為一顆暗淡的白色恆星。但是表面溫度居然高達25000K，但光度大約只有天狼星的萬分之一。根據光度和表面積的關係，推斷出其大小與地球相當。這樣高的密度簡直是難以想像。天文學家在2005年利用哈伯太空望遠鏡確認天狼星B的直徑幾乎相等於地球的直徑（12,000公里），而質量則約太陽的98%。美國天文學家威廉·魯伊登(Willem Jacob Luyten，1899－1994）在1922年第一個使用白矮星這個名詞，稍後這個名詞經亞瑟·愛丁頓而廣為流行。愛丁頓在1927年曾寫道：

我們透過星光之中的訊息來學習與了解星星。當我們解讀了天狼星伴星所傳來的光譜之後，我們得到如下的解譯：

組成材料的密度，是比你所見過任何材料的密度都要高3000倍；光是一塊小到可以放進火柴盒裡的這種材料，它的質量就可以超過一噸。我們能做何回應？在1914年的時候，我們只會有一種回應：閉嘴，別盡說些荒唐話!

的確，這麼高的密度的物質是怎麼在恆星中形成的呢?這可是說來話長。一般說來，中、低質量的恆星結束氫融合階段後，膨脹成為紅巨星，在此期間將通過3氦過程，在核心的氦融合成碳和氧。如果一顆紅巨星的質量不足以產生融合碳所需要的核心溫度（約1億K），核心會聚積碳和氧。這樣的恆星在脫落其外層，並形成行星狀星雲後，它會留下一個核心，這就是白矮星。這種白矮星主要由碳和氧組成，稱為碳氧白矮星（CO white dwarf）。如果初始質量介於8至10.5個太陽質量之間，核心的溫度足以融合碳，但仍不足以融合氖，這可能會形成氧氖鎂白矮星（O-Ne-Mg或O-Ne white dwarf )。白矮星因為內部無法達到下一階段核融合的起始溫度，所以，它無法再通過核融合產生能量來抗拒重力，照說它就應該整個星都塌掉，為何還能穩定地存在呢? 換句話說，小狼內心的秘密到底是什麼呢?

這就是量子效應上場的時候了。這個效應就是所謂的簡併壓（Degeneracy Pressure）。簡併壓是個無法用古典物理理解的現象，它是來自於赫赫有名的「包立不相容原理」。簡單來說，就是自旋為二分之一的物體 (科學家稱之為費米子，像電子就是費米子)，當描寫它們相應量子態的波函數在空間中重疊時，那麼這些量子態的量子數絕不能完全相同! 如果硬要壓縮一群波函數重疊的費米子時，就會遭到費米子的反抗而難以得逞呢。

讓我們舉個最簡單的例子，如果一群電子在一維的無限方井中，這些電子相應量子態的波函數，必須在無限方井的兩端為零。也就是說，這些波函數形成了駐波，有著這種形式:

\(sink_{n}x\) ；\(k_{n}=\frac{\pi\text{n}}{L}\)

這裡 n 必須是整數。

圖片來源：維基百科

在這個情況下，電子的量子態就取決於這個整數n。在量子理論中，量子態波函數的波數k 與物體相應的動量與能量有這樣的關係:

\(p_{n}=\hbar k_{n}\)

\(E_{n}=\sqrt{c^{2}p^{2}_{n^{}}+m^{2}c^{4}}=\sqrt{c^{2}\hbar ^{2}k^{2_{}}_{n}+m^{2}c^{4}}=\sqrt{\frac{c^{2}\hbar ^{2}\pi^{2}n^{2}}{L^{2}}+m^{2}c^{4}}\)

所以如果有N顆電子的話，那麼電子的量子數就得一路從1一路到N為止。因為不相容原理禁止電子”擠”在相同的狀態裡。所以方井的大小與電子數目就決定了這群電子的總能量。現在想像有外力（譬如說，重力）要壓縮這個方井，讓L變小，那麼能量就會升高。反過來，若是想再將一顆電子”塞"進去方井中，因為不相容原理，這顆電子的能量勢必要至少大於E_N ，不妨把它想像成是被占住低能階的電子擠到門口的可憐蟲，想要擠進擠滿人的捷運車廂時，只能站在門口一般。所以當方井夠小的時候，電子拒絕被簡併所產生的壓力，也就是簡併壓，就會產生足夠的推力，抵擋重力作用，而達到靜力平衡。白矮星之所以不會分崩離析，就是因為在內核中的電子產生的簡併壓，抵住重力的緣故。

白矮星在形成之初仍十分熾熱，但是由於後續沒有能量來源，它會因為能量不斷被輻射而逐漸冷卻。這意味著，白矮星會從最初的高色溫，隨著時間的推移而降溫而轉紅。在極為漫長的一段冷卻時間裡，白矮星最終將成為冰冷的黑矮星。不過白矮星達到這種狀態所要經歷的時間，經由理論推算，比當前的宇宙年齡（約140億年）還要長，所以天文學家認為還沒有黑矮星存在。現存最古老的白矮星仍然在以幾千K的溫度持續輻射能量。

只靠電子簡併壓力來支撐結構的白矮星，它的質量與半徑之間的關係可以計算出來，結果非常令人驚奇，質量愈重的白矮星半徑愈小!所以當恆星的質量超過1.44個太陽質量時，電子的簡併壓就無法再撐住重力，這個白矮星質量的上限被稱為錢德拉塞卡極限。

當錢德塞卡在1935年提出這個結論時，非但沒有馬上被接納，反而遭到愛丁頓強力的抨擊與反對。愛丁頓相信就算質量持續上升，非相對論的近似仍然成立。正如上圖所示，藍色曲線代表非相對論近似，這種情狀下，白矮星質量就沒有上限。錢德塞卡在受到愛丁頓公開的羞辱，只能黯然離開英國，落腳美國。錢德塞卡仍然持續他的研究，最後在1983年，他因在星體結構和進化的研究而與另一位美國體物理學家威廉·福勒共同獲諾貝爾物理學獎。也算是出了一口氣了。

天空中到底有多少顆白矮星呢? 早在1939年已經發現了18顆白矮星，到1950年發現已經發現超過一百顆的白矮星，而到了1999年，這個數目已經超過2,000顆了。史隆數位巡天(Sloan Digital Sky Survey，縮寫為SDSS）發現的白矮星甚至超過9,000顆，而且絕大多數都是從未被發現過的。雖然在已知的白矮星中，質量估計最低是0.17個太陽質量 ，最高是1.33個太陽質量，但質量分布明顯的在0.6個太陽質量處是高峰，大多數的質量都在0.5至0.7太陽質量之間。被觀測到的白矮星半徑估計在0.008和0.02太陽半徑之間。相較於地球的半徑是0.009太陽半徑，白矮星將相當於太陽的質量封裝在只有太陽的百萬分之一，與地球相似的體積內。

看來，小狼心中的秘密還真是既紮實又沉重呀，您說是吧?

==================================