打開量子大門的男人

量子英雄傳說第一季 第三集：打開量子大門的男人--

威廉·維因（Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien，1864年1月13日－1928年8月30日）

上一回我們提到了克希荷夫的輻射三定律。關於元素的放射光譜線與吸收光譜線，我們留待第六集，再繼續討論這個重要的話題。接下來三集，我們集中火力來討論黑體輻射，特別是蘊藏於其中的核心概念，那就是量子（Quantum）！

這一集的主角是在物理界外，鮮少為人所知的威廉·維因。

1914年諾貝爾物理學獎得主馬克斯·馮·勞厄這麼稱讚維因：「他為我們打開了通往量子物理學的大門」（He led us to the very gates of quantum physics）。他做了什麼成為打開那扇門的那個男人? 請聽我們娓娓道來。

維因1864年1月13日出生在東普魯士的菲施豪森（Fischhausen），他的父親是地主兼農場主人。 他從1883年至1885年，都在柏林大學的亥姆霍茲實驗室工作，亥姆霍茲是當時德國物理界的領導人物。維因於1886年獲得博士學位。後來由於他父親生病，維因不得不回去幫助管理他父親的農場。一直到1890年，他把父親的土地變賣之後，維因才回到亥姆霍茲的身邊。維因之後分別在亞琛工業大學物理學，吉森大學，維爾茨堡大學任教。最後落腳於慕尼黑大學。他在慕尼黑大學待到退休。

維因最大的成就是結合電磁學以及熱力學來研究黑體輻射。雖然維因是理論與實驗的二刀流，他的黑體輻射相關工作，算是一流的理論工作。而且這個理論工作，已經成為「想像實驗」的範本，絕對值得大書特書一番。接下來，我們試圖在用最少的數學的情況下，將維因的工作做一個回顧：

克希荷夫先前定義黑體輻射，是由不反射任何光線的物體所發出的連續光譜，他還利用「想像實驗」說明，被溫度\(T\)的物體所包圍的空腔中，存在著與物體性質無關的輻射能量分布。

圖片來源：維基百科

假設我們將光線射進小洞，光線在空腔內被不斷被牆壁反射，或者被吸收。那麼入射的光線就沒有反射到外面來。 如此一來，這個小洞就有如一個黑體一般，如果在這個空腔周圍的牆壁上開一個小孔，通過它發出輻射，我們量到的輻射與溫度T的黑體發出的輻射應該要相同。

接下來，在維也納大學的科學家約瑟夫·斯特凡（Jožef Štefan，1835－1893）在1879年，根據實驗數據提出，黑體輻射的能量與絕對溫度四次方成正比的關係。五年後，他的高足，玻茲曼從電磁波理論的輻射壓公式，搭配熱力學，推導出這條物理定律。但是這條定律，並沒有告訴我們，輻射強度是怎麼跟著波長而變化。

維因的工作是進一步指出黑體輻射中，強度最強的那個電磁輻射波長，與溫度成反比，這個定律被稱為「維因位移定律」。這個名字的由來是因為它告訴我們，

黑體光譜中最亮的波長，會如何隨著溫度變化來移動。

整個推導還是基於想像實驗：我們假設溫度為\(T\)的空腔，腔壁是完全反射所有入射輻射的物體，像鏡子一樣，稱為白體（white body）。我們把一塊溫度T的黑體放進這個空腔。黑體放射的輻射在空腔內來回反射，空腔內的電磁輻射強度分布與黑體的放射光譜一定要相同，因為黑體會吸收周遭的輻射，如果放射出來，與吸收的不一樣，黑體的溫度就會改變，那就違反熱力學了!

接下來，讓我們施展魔法，黑體從空腔中消失。這時候空腔裡的輻射就是一群在空腔內的電磁駐波。所以黑體輻射，搖身一變，成了空腔內的電磁駐波，不同波長的駐波有不同的強度。空腔內單位體積的輻射能量\(E\)，是原先黑體的溫度\(T\)與波長\(\lambda\)的函數，我們把它寫作\(E(\lambda,T)\)。

接著，讓我們推動空腔的白體牆壁，緩緩地向內移動。整個過程非常緩慢，所以沒有熱的傳輸，這種過程稱為「絕熱過程」。

\(p_{\lambda}=E_{\lambda}/c\) 是波長為\(\lambda\)的電磁波，作用在單位面積牆壁的動量。由於牆壁反射了電磁波，等於牆壁讓電磁波產生了動量變化\(2p_{\lambda}\)。 單位時間 \(\Delta t\)內，牆壁受力為\(2p_{\lambda}/\Delta t=2E_{\lambda}/(c\Delta t)\)。\(v\) 是我們推動牆壁的速度，牆壁這段時間的位移是\(v\Delta t\)，所以牆壁對這股電磁波作的功為

\(W_{\lambda}=(v\Delta t)\frac{2E_{\lambda}}{c\Delta t}=v\frac{2E_{\lambda}}{c}.\)

按照能量守恆定律，這個功不會消失，而是轉化成輻射，進一步增加了輻射的強度，增加的輻射強度密度當然是

\(\Delta E_{\lambda}=W_{\lambda}=v\frac{2E_{\lambda}}{c}.\)

但是白體牆壁的移動而引起的輻射密度變化並不是唯一的變化。當光線被移動的鏡子反射時，會產生都卜勒效應

\(\Delta \lambda=-\frac{2v}{c}\lambda.\)

所以我們知道\(E_{\lambda}\lambda\)在絕對過程中，保持不變，因為，

\(\Delta (E_{\lambda}\lambda)=\Delta E_{\lambda}\lambda+E_{\lambda}\Delta\lambda=0\)

我們稱它是絕熱不變量(Adiabatic invariant)。除了\(E_{\lambda}\lambda\)之外，空腔輻射還有一個重要的絕熱不變量。那就是\(\lambda T\)。要說明這件事，必須先讓我們設想空腔是邊長為L的立方體。此時，空腔內的駐波形式是

\(\sin\frac{N_{x}\pi x}{L}\sin\frac{N_{y}\pi y}{L}\sin\frac{N_{z}\pi z}{L}\sin\frac{2\pi c t}{\lambda}\)

因為波值在空腔牆壁上必須為零。此外波動方程式要求

\(\left(\frac{N_{x}\pi}{L}\right)^2+\left(\frac{N_{y}\pi}{L}\right)^2+\left(\frac{N_{z}\pi}{L}\right)^2=\left(\frac{2\pi}{\lambda}\right)^2\)

這個條件可以改寫為

\(N^2=N_{x}^2+N_{y}^2+N_{z}^2=\frac{4L^2}{\lambda^2}\)

既然在絕熱過程中，牆壁移動非常緩慢，駐波節點不會突然增加，所以上列這個條件始終維持著，那就表示

\(\Delta N^2=\Delta \left(\frac{4L^2}{\lambda^2}\right)=0\)

自然，我們有

\(\Delta\left[\left(\frac{N^2}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\right]=\frac{3}{2}\left(\frac{N^2}{4}\right)^{\frac{1}{2}}\Delta \left(\frac{N^2}{4}\right)=0\)

這也就表示

\(\Delta \left[\left(\frac{N^2}{4}\right)^{\frac{3}{2}}\right]=\Delta \left(\frac{L^3}{\lambda^3}\right)=\Delta \left(\frac{V}{\lambda^3}\right)=0.\)

所以在絕熱壓縮的過程中，體積與波長三次方的比率保持不變，

\(\frac{V}{\lambda^3}=K_{1}\)

另一方面，在熱力學中，絕熱過程要滿足 \(TV^{(\lambda-1)}=常數\)。 \(\lambda\) 是絕熱指數，對於電磁波而言，\(\lambda=\frac{4}{3}\)，所以我們有\(T^3V=K_2\)。換言之，

\(\Delta (T^3\lambda^3)=\Delta \left(\frac{K_{2}}{V}\cdot\lambda^3\right)=\Delta \left(\frac{K_{2}}{\frac{V}{\lambda^3}}\right)=\Delta \left(\frac{K_{2}}{K_{1}}\right)=0\)

所以\(\lambda T\)也是空腔輻射中的絕熱不變量。

從第一個絕熱不變量\(E_{\lambda}\lambda=常數\)，我們得到

\(E_{\lambda}(\lambda, T)=\frac{1}{\lambda}F(\lambda, T)\)

這裡F(\lambda, T)的值在絕熱過程中保持不變。但是\(\lambda T\)必須是常數，所以我們得到這個結論，

\(E_{\lambda}=\frac{1}{\lambda}F(\lambda T)\)

當然，\(F(x)\)是某個未知的函數。

要得到輻射強度分布，我們需要先算一下波長在\(\lambda\)與\(\lambda+\Delta\lambda\)之間的駐波的數目N(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)。這稍微需要花點工夫。假如我們把滿足

\(N_{x}^2+N_{y}^2+N_{z}^2\leq 4\frac{L^2}{\lambda^2}\)

的(N_x,  N_y,  N_z)這種格子點組合數定義為N(λ)，那麼

\(N(\lambda,\lambda+\Delta \lambda)=N(\lambda)-N(\lambda+\Delta \lambda)\)

N(λ) 可以看做是半徑為2L/λ的球體內所有格子點的數目。考慮我們只要正的格子點，然後電磁波極化方向有兩個，可以得到

\(N(\lambda)=\frac{1}{8}\times 2\times \frac{4\pi}{3} \times \left(\frac{2L}{\lambda}\right)^3=\frac{8\pi}{3}\left(\frac{L}{\lambda}\right)^3\)

這個結果是基於相鄰格子點圍成的正方體的體積為1，所以格子點數目就等於體積。那麼厚度為\(\Delta\lambda\)的球殼內的駐波數就是

\(N(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)=N(\lambda)-N(\lambda+\Delta \lambda)=\frac{8\pi L^3}{\lambda^4}\Delta\lambda=\left(\frac{8\pi V}{\lambda^4}\right)\Delta \lambda\)

現在我們把以上的結果組合起來，可以得到

\(E(\lambda,\lambda+\Delta \lambda)=N(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)\times E_{\lambda}=\frac{8\pi V}{\lambda^5}F(\lambda T)\Delta \lambda\)

這個公式是運用熱力學與電磁學在空腔輻射的極限，只從熱力學與電磁學，維因只能到達這裡。但是他由此可以得到一個非常重要的結果，就是強度最強的輻射波長 \(\lambda_{m}\)與溫度的乘積不變。因為\(E(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)\)的極值發生 \(\lambda_{m}\)

\(\lambda_m=5\frac{F(x)}{G(x) T}\)

這裡的\(G(x)\) 是\(F(x)\)對\(x\)的導數:

\(G(x)=\frac{dF(x)}{dx}\)

所以

\(\lambda_{m} T=5\frac{F(x)}{G(x)}\)

方程式右邊是\(x\)的函數，既然\(x=\lambda T\)也是空腔輻射中的絕熱不變量，那麼自然是常數。所以方程式的左邊也是常數，這就是維因在1893年提出的維因位移定律。

當然，維因並不滿足於這個結果。他念茲在茲的是找出\(F(x)\)。雖然電磁學與熱力學推導不出\(F(x)\)，但是維因繼續設想，如果空腔內有氣體分子的話，那麼溫度T的黑體輻射與溫度T的氣體分子要形成熱平衡，所以\(F(x)\)與馬克斯威爾速度分布對溫度的反應關係應該很類似吧? 馬克斯威爾速度分布公式如下，

 \(f(v)=\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}4 \pi v^2 e^{-\frac{mv^2}{2kT}}\)

所以維因選定

\(F(\lambda T)=\exp^{-\frac{b}{\lambda T}}\)

這裡\(b\)是需要從實驗來決定的常數。維因在1896年提出這個分布，被稱為「維因分布」。在電磁波波長很短，也就是頻率相對高的時候，能夠理想地解釋實驗數據。但是到了比較長的波長，也就是低頻率的部分，就與實驗多有扞格了。

維因在1898年研究了新發現的陽極射線，他測量了它們在磁場和電場影響下的偏移，並得出陽極射線由帶正電的粒子組成，指出它們的帶正電量與陰極射線的帶負電量相等。並且它們比電子重的結論。其實陽極射線就是質子。維因所使用的方法在約20年後形成了質譜學，能夠精確測量多種原子及其同位素的質量，這對估計原子核反應所釋放能量非常關鍵。

雖然維因打開了通往量子秘密的大門，卻停在門口，猶豫不決。黑體輻射的秘密，似乎呼之欲出，但是實際上卻是猶抱琵琶半遮面，是誰揭開了美人的面紗呢? 還請各位讀者繼續收看我們的量子英雄傳說！