猶豫著要不要掀開美人面紗的老成科學家(下):不情願的革命者

量子英雄傳說 第一季 第四集:馬克斯·卡爾·恩斯特·路德維希·普朗克(Max Karl Ernst Ludwig Planck,1858年4月23日-1947年10月4日)

 

 

上一回,我們提到赫赫有名的普朗克分布公式:

\(E(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)=\frac{8\pi V}{\lambda^5}\frac{1}{\exp^{\frac{b}{\lambda T}}-1}\Delta\lambda\)

 

這個公式看起來非常奇怪,但是其實在適當的極限下,這條公式又回復到我們熟悉的樣子。當\(\lambda T\gt \gt b\) 時,

 

\(\exp^{\frac{b}{\lambda T}}\sim 1+\frac{b}{\lambda T}\)

 

換句話說,當我們只看黑體輻射中波長夠長的電磁駐波的話,那麼結果正是瑞利男爵的結果:

 

 

\(E(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)\sim\frac{8\pi V}{\lambda^5}\frac{\lambda T}{b}\Delta\lambda=\frac{8\pi V}{b\lambda^4} T\Delta \lambda\)

 

反之,如果我們只看波長夠短的黑體輻射電磁駐波的部分,也就是當\(\lambda T\lt \lt b\)

 

 

\(\frac{1}{\exp^{\frac{b}{\lambda T}}-1}\sim \exp^{-\frac{b}{\lambda T}}\)

 

那我們就得到

 \(E(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)= \frac{8\pi V}{\lambda^5}\frac{1}{\exp^{\frac{b}{\lambda T}}-1}\Delta\lambda\sim\frac{8\pi V}{\lambda^5}\exp^{-\frac{b}{\lambda T}}\Delta \lambda\)

這正是維因分布。由於瑞利分布可以從古典物理推導出來,但是維因分布則是完全只是模仿馬克士威分布而來,顯然,有前所未知的物理藏在這個公式裡。但是當時沒有人察覺到任何一點蛛絲馬跡,就是連普朗克本人都沒想到。

 

幸虧普朗克無法滿足這個「知其然,不知其所以然」的結果。身為「熵」的專家,他當然要回到「熵」來,想辦法破解這個奧秘。左思右想,普朗克百般不願地,居然用起他的論敵,波茲曼的「故智」,將「熵」與振子的所有可能能量分布連接起來。他學起波茲曼,假設能量有個最小單位,ε,總共有能量Pε,分布在N個振子。那麼可能的組合就等於有P個石頭,用N-1個火柴棒區隔,像這樣

\(\varepsilon\varepsilon |\varepsilon || \varepsilon\varepsilon\varepsilon\varepsilon|.......\)

 

代表第一個振子有兩個ε,第二個有一個,第三個有零個,第四個有四個,等等

這樣所有可能狀態的數目W變成

 

\(W=(N+p-1)! /P!(N-1)!\)

使用「熵」的公式 S=k Log W,而且NU=E=Pε,再使用史特寧公式

\(\ln (n!)=n\ln n-n\)

普朗克得到了

\(S=\frac{k}{N}[(N+p)\ln (N+p)-N\ln N-P\ln P=k\left[\left(1+\frac{U}{\varepsilon}\right)\ln \left(1+\frac{U}{\varepsilon}\right)-\frac{U}{\varepsilon}\ln \frac{U}{\varepsilon}\right]\)

 

這樣「熵」對振子能量U的二次導數就是:

\(-\frac{k}{\varepsilon}\left(\frac{1}{U}-\frac{1}{U+\varepsilon}\right)\)

與之前普朗克單純只是猜測而採用的

\(-\frac{\lambda}{b}\left(\frac{1}{U}-\frac{1}{U+\beta}\right)\)

 

來對照,我們得到

\(\beta=\varepsilon\)

而且與先前我們已經知道的

\(\beta=\frac{bk}{\lambda}\)

也一致。由此看來波茲曼的手法的確有他的厲害之處。

 

可是真正奇怪的事此時卻浮上來了。波茲曼的作法是讓ε趨近於零,讓系統的能量連續地分布在不同的頻率上。換句話說,要讓β趨近於零,也就是說,b 必須趨近於零。但是維因分布最要緊的,就是這個b值。一旦b 值取零,那麼整個維因分布就跟溫度無關了! 這是不可能的事!

 

如同著名的偵探,夏洛克·福爾摩斯的一句名言:

當所有不可能的情況都被排除以後。剩下來的,不管再荒謬,都非是答案不可。

所以我們看看,我們的答案有多荒謬!既然β是虛擬振子能量的最小單位,而β又與波長成反比,也就是跟頻率成正比,那麼,換句話說,能量最小的單位必須與頻率成正比!

 

這個結論古怪之處在哪裡?古怪之處在於,古典物理中,振子頻率與振子能量完全沒有關係。波動也好,振動也好,能量只與振輻有關,而振輻可以是任意值,完全是從物體在某一個時刻的運動狀態,換句話,就是「位置」與「動量」,來決定的。所以古典物理中,能量的分布一定是連續的,因為振輻可以是任意值,根本沒有限制,也不該存在任何限制。這也是為什麼波茲曼在最後,一定都要讓ε趨近於零的原因。退一步講,萬一出於任何理由,這些虛擬振子的位置真的受到限制,這個限制也不應該與頻率有關呀。

 

但是既然其他可能性都排除了,我們只好面對現實。虛擬振子的能量最小值必須滿足這樣的關係: 

\(\varepsilon=h\nu\)

在這裡,h 是一個前所未知的常數。後來被稱為普朗克常數。

普朗克的黑體輻射公式可以寫成

 

\(u(\lambda, T)=\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\)

 

黑體輻射的測量結果,給出了

 

\(h=6.62606896(33)\times 10^{-34} J s=4.13566733(10)\times 10^{-15} eV s\)

這個數值。

 

回頭來看,\(\lambda T\gt \gt b\)這個條件等於 \(kt\gt \gt h\nu\),此時普朗克黑體輻射公式就會看起來像是瑞利公式。反過來,\(\lambda T\lt \lt b\)這個條件就等於 \(kt\lt \lt  h\nu\),這時候普朗克公式就會變成像是維因分布了。我們現在發現,新的物理現象只有在高頻率或是低溫的時候才會變得比較明顯。低頻率的虛擬振子,它們的最小能量單元很小,所以能量就如同古典物理一般地連續分布。而溫度夠高的時候,熱騷動的效應會將量子效應整個蓋住,反之,低溫物理比較可能看到量子效應。黑體輻射中的量子秘密,可以說,在熵的亮光下,逐漸呈現在物理學家眼前了

 

照理說,普朗克應該如獲至寶,大力宣傳才是。實際上卻完全相反。普朗克足足有六年時間沒有再發表與黑體輻射有關的論文。原因正是他一直試圖將h 當作是數學上的虛擬之物,他想盡辦法要把黑體輻射的公式塞回古典物理能夠接受的框架內,當然,他沒有成功。所以他一直保持沉默。

 

一般的書都記載,量子這個詞「Quantum」,最早是普朗克拿來指涉能量的最小單位,其實在二十世紀初,「Quantum」這個字眼廣為物理界使用,意義就是最小的單位,像是電量,質量,普朗克是不是把它用來指黑體輻射中,虛擬振子的能量的最小單位? 這件事在物理史上曾引發過爭論,因為普朗克是否認為虛擬振子的能量是否真的是不連續的,都還眾說紛紜,所以當時普朗克是否相信振子的能量有最小的單位,也沒有定論。而且普朗克一直迴避討論輻射本身的熵,而是討論虛擬振子的熵,就算能量真的不連續地分布,也只是分布在振子上,因為普朗克,與其他當時的物理學家,仍然篤信馬克士威的電磁理論。而馬克士威理論的電磁波能量,自然是連續地分布的。所以普朗克就在量子的大門前,來來回回地踱步。如果連始作俑者都不肯定,那麼科學界沒有產生巨大的回響,也是合理的事。說到底,普朗克原本就是相當穩健,甚至可以說是保守的德國學者,而且,在那個時代,統計力學都尚在發展中,許多東西並不明朗,所以黑體輻射中的量子奧秘,披著統計現象的外衣,還沒有真正地顯露它的真面目。

 

這一切在五年後都變了,一位來自伯恩專利局,默默無聞的年輕人寫了一篇奇文「關於光的產生和轉化的一個啟發性觀點」,這篇文章賦予普朗克寫下的關係式:

\(\varepsilon=h\nu\)

一個全新的意義。這個轉折,就留到下一回的量子英雄傳說了,還請各位讀者鎖定我們,繼續收看喔!

 

 

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