猶豫著要不要掀開美人面紗的老成科學家(下)：不情願的革命者

量子英雄傳說 第一季 第四集：馬克斯·卡爾·恩斯特·路德維希·普朗克（Max Karl Ernst Ludwig Planck，1858年4月23日－1947年10月4日）

上一回，我們提到赫赫有名的普朗克分布公式:

\(E(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)=\frac{8\pi V}{\lambda^5}\frac{1}{\exp^{\frac{b}{\lambda T}}-1}\Delta\lambda\)

這個公式看起來非常奇怪，但是其實在適當的極限下，這條公式又回復到我們熟悉的樣子。當\(\lambda T\gt \gt b\) 時，

\(\exp^{\frac{b}{\lambda T}}\sim 1+\frac{b}{\lambda T}\)

換句話說，當我們只看黑體輻射中波長夠長的電磁駐波的話，那麼結果正是瑞利男爵的結果:

\(E(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)\sim\frac{8\pi V}{\lambda^5}\frac{\lambda T}{b}\Delta\lambda=\frac{8\pi V}{b\lambda^4} T\Delta \lambda\)

反之，如果我們只看波長夠短的黑體輻射電磁駐波的部分，也就是當\(\lambda T\lt \lt b\)

\(\frac{1}{\exp^{\frac{b}{\lambda T}}-1}\sim \exp^{-\frac{b}{\lambda T}}\)

那我們就得到

 \(E(\lambda,\lambda+\Delta\lambda)= \frac{8\pi V}{\lambda^5}\frac{1}{\exp^{\frac{b}{\lambda T}}-1}\Delta\lambda\sim\frac{8\pi V}{\lambda^5}\exp^{-\frac{b}{\lambda T}}\Delta \lambda\)

這正是維因分布。由於瑞利分布可以從古典物理推導出來，但是維因分布則是完全只是模仿馬克士威分布而來，顯然，有前所未知的物理藏在這個公式裡。但是當時沒有人察覺到任何一點蛛絲馬跡，就是連普朗克本人都沒想到。

幸虧普朗克無法滿足這個「知其然，不知其所以然」的結果。身為「熵」的專家，他當然要回到「熵」來，想辦法破解這個奧秘。左思右想，普朗克百般不願地，居然用起他的論敵，波茲曼的「故智」，將「熵」與振子的所有可能能量分布連接起來。他學起波茲曼，假設能量有個最小單位，ε，總共有能量Pε，分布在N個振子。那麼可能的組合就等於有P個石頭，用N-1個火柴棒區隔，像這樣

\(\varepsilon\varepsilon |\varepsilon || \varepsilon\varepsilon\varepsilon\varepsilon|.......\)

代表第一個振子有兩個ε，第二個有一個，第三個有零個，第四個有四個，等等

這樣所有可能狀態的數目W變成

\(W=(N+p-1)! /P!(N-1)!\)

使用「熵」的公式 S=k Log W，而且NU=E=Pε，再使用史特寧公式

\(\ln (n!)=n\ln n-n\)

普朗克得到了

\(S=\frac{k}{N}[(N+p)\ln (N+p)-N\ln N-P\ln P=k\left[\left(1+\frac{U}{\varepsilon}\right)\ln \left(1+\frac{U}{\varepsilon}\right)-\frac{U}{\varepsilon}\ln \frac{U}{\varepsilon}\right]\)

這樣「熵」對振子能量U的二次導數就是:

\(-\frac{k}{\varepsilon}\left(\frac{1}{U}-\frac{1}{U+\varepsilon}\right)\)

與之前普朗克單純只是猜測而採用的

\(-\frac{\lambda}{b}\left(\frac{1}{U}-\frac{1}{U+\beta}\right)\)

來對照，我們得到

\(\beta=\varepsilon\)

而且與先前我們已經知道的

\(\beta=\frac{bk}{\lambda}\)

也一致。由此看來波茲曼的手法的確有他的厲害之處。

可是真正奇怪的事此時卻浮上來了。波茲曼的作法是讓ε趨近於零，讓系統的能量連續地分布在不同的頻率上。換句話說，要讓β趨近於零，也就是說，b 必須趨近於零。但是維因分布最要緊的，就是這個b值。一旦b 值取零，那麼整個維因分布就跟溫度無關了! 這是不可能的事！

如同著名的偵探，夏洛克·福爾摩斯的一句名言：

當所有不可能的情況都被排除以後。剩下來的，不管再荒謬，都非是答案不可。

所以我們看看，我們的答案有多荒謬!既然β是虛擬振子能量的最小單位，而β又與波長成反比，也就是跟頻率成正比，那麼，換句話說，能量最小的單位必須與頻率成正比！

這個結論古怪之處在哪裡？古怪之處在於，古典物理中，振子頻率與振子能量完全沒有關係。波動也好，振動也好，能量只與振輻有關，而振輻可以是任意值，完全是從物體在某一個時刻的運動狀態，換句話，就是「位置」與「動量」，來決定的。所以古典物理中，能量的分布一定是連續的，因為振輻可以是任意值，根本沒有限制，也不該存在任何限制。這也是為什麼波茲曼在最後，一定都要讓ε趨近於零的原因。退一步講，萬一出於任何理由，這些虛擬振子的位置真的受到限制，這個限制也不應該與頻率有關呀。

但是既然其他可能性都排除了，我們只好面對現實。虛擬振子的能量最小值必須滿足這樣的關係: 

\(\varepsilon=h\nu\)

在這裡，h 是一個前所未知的常數。後來被稱為普朗克常數。

普朗克的黑體輻射公式可以寫成

\(u(\lambda, T)=\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}\)

黑體輻射的測量結果，給出了

\(h=6.62606896(33)\times 10^{-34} J s=4.13566733(10)\times 10^{-15} eV s\)

這個數值。

回頭來看，\(\lambda T\gt \gt b\)這個條件等於 \(kt\gt \gt h\nu\)，此時普朗克黑體輻射公式就會看起來像是瑞利公式。反過來，\(\lambda T\lt \lt b\)這個條件就等於 \(kt\lt \lt  h\nu\)，這時候普朗克公式就會變成像是維因分布了。我們現在發現，新的物理現象只有在高頻率或是低溫的時候才會變得比較明顯。低頻率的虛擬振子，它們的最小能量單元很小，所以能量就如同古典物理一般地連續分布。而溫度夠高的時候，熱騷動的效應會將量子效應整個蓋住，反之，低溫物理比較可能看到量子效應。黑體輻射中的量子秘密，可以說，在熵的亮光下，逐漸呈現在物理學家眼前了

照理說，普朗克應該如獲至寶，大力宣傳才是。實際上卻完全相反。普朗克足足有六年時間沒有再發表與黑體輻射有關的論文。原因正是他一直試圖將h 當作是數學上的虛擬之物，他想盡辦法要把黑體輻射的公式塞回古典物理能夠接受的框架內，當然，他沒有成功。所以他一直保持沉默。

一般的書都記載，量子這個詞「Quantum」，最早是普朗克拿來指涉能量的最小單位，其實在二十世紀初，「Quantum」這個字眼廣為物理界使用，意義就是最小的單位，像是電量，質量，普朗克是不是把它用來指黑體輻射中，虛擬振子的能量的最小單位? 這件事在物理史上曾引發過爭論，因為普朗克是否認為虛擬振子的能量是否真的是不連續的，都還眾說紛紜，所以當時普朗克是否相信振子的能量有最小的單位，也沒有定論。而且普朗克一直迴避討論輻射本身的熵，而是討論虛擬振子的熵，就算能量真的不連續地分布，也只是分布在振子上，因為普朗克，與其他當時的物理學家，仍然篤信馬克士威的電磁理論。而馬克士威理論的電磁波能量，自然是連續地分布的。所以普朗克就在量子的大門前，來來回回地踱步。如果連始作俑者都不肯定，那麼科學界沒有產生巨大的回響，也是合理的事。說到底，普朗克原本就是相當穩健，甚至可以說是保守的德國學者，而且，在那個時代，統計力學都尚在發展中，許多東西並不明朗，所以黑體輻射中的量子奧秘，披著統計現象的外衣，還沒有真正地顯露它的真面目。

這一切在五年後都變了，一位來自伯恩專利局，默默無聞的年輕人寫了一篇奇文「關於光的產生和轉化的一個啟發性觀點」，這篇文章賦予普朗克寫下的關係式：

\(\varepsilon=h\nu\)

一個全新的意義。這個轉折，就留到下一回的量子英雄傳說了，還請各位讀者鎖定我們，繼續收看喔！

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