粒子物理行(十六)電荷守恆與規範對稱

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  • 撰文者:黎偉健
  • 發文日期:2023-02-14
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相信任何一個學過物理的人都學過電荷守恆定律—封閉系統內的總電荷隨時間不變,即電荷不能被創造或消滅。例如,電子\(e^−\) 帶負電荷 \(−e\)(\(e\) 為質子電荷),反電子 \(e^+ \) 帶正電荷 \(+e\),兩者可碰撞而互相湮滅,變成兩顆光子(圖一)。在這過程中,初態總電荷為 \(−e + e = 0\),終態總電荷也為零(光子不帶電荷),因此這過程符合電荷守恆定律,並且確實在實驗中被觀察到。至今,物理學家並未在實驗中發現電荷守恆定律被違反。因此,我們有理由相信電荷守恆定律是被嚴格遵守的基本物理定律。我們很自然會問:「為何電荷守恆?」在第二章,我們知道守恆定律與物理定律的對稱性有關。例如,能量守恆是基於物理定律在時間平移下的不變性,即物理定律不分時間;動量守恆是基於物理定律在空間平移下的不變性,即物理定律不分位置;角動量守恆是基於物理定律在空間旋轉下的不變性,即物理定律不分方向。我們可以問:「電荷守恆是基於某種物理定律的對稱性嗎?」從現代物理學的角度看,答案是肯定的。可是,有別於能量、動量和角動量守恆所對應的時空對稱,電荷守恆所對應的對稱與時空對稱無關,是一種獨立於時空對稱的內在對稱,稱為規範對稱(gauge symmetry)。在現代物理學裏,規範對稱被視為比電荷守恆更基本的原理,因為電荷守恆只是規範對稱所蘊含的眾多結果之一。

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圖一

光子的特質

我們在第十章中了解了量子電動力學的基本原理。簡言之,所謂的電磁交互作用其實就是帶電荷粒子之間交換光子的結果。光子具有兩個特質:一是它的質量為零,二是它的的自旋為 \(1\)。因為光子質量為零,它以光速運動。而因為光子的自旋為 \(1\),它具有兩個偏振態,對應螺旋度 \(\sigma = +1\) 和 \(−1\)(見圖二 a 和 b,其中灰色箭頭為光子角動量沿其動量 \(p\) 方向的分量)註1。光子偏振態的概念在日常生活也能遇到,例如太陽眼鏡之所以能擋住部份光子,正是因為太陽眼鏡鏡片只容許光子以某一特定的偏振態通過。注意,對於質量非零而自旋為1 的粒子,它的螺旋度有三個可能 \( ( \sigma = 1, 0, −1) \),因此比光子多一個自由度註 2。在量子場論裏,粒子是量子場的激發,而為了使得理論符合連續時空對稱(龐加萊羣),量子場必須在連續時空變換下作特定形式的變換。這種特定形式的變換稱為對稱羣的表示(representation)註 3。作為粒子,光子當然有它對應的量子場—光子場。光子雖然自旋為1,但只有兩個自由度,如果把它寫成量子場,我們會發現該場並沒有我們期望的連續時空變換規律,即不是連續時空變換羣的表示,或稱為不協變註 4。從表面上看,這似乎意味着光子與量子場論不相容,這當然在理論上是災難性的。

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圖二a圖二b

規範對稱


幸好的是,理論上有辦法拯救這個災難。我們可以假設光子場與其他場的交互作用具有某特定形式,使得光子場的不協變性不影響交互作用的連續時空對稱性。這種交互作用的特定形式,可看成是一種另類對稱性的結果,這種新的對稱性稱為規範對稱(gauge symmetry)。以上討論聽上去好像有點抽象難懂。簡言之,如果我們堅持要把質量為零自旋為 \(1\) 的粒子寫成量子場,那麼我們必須引入一種新的對稱性—規範對稱,使得得到的理論仍然符合狹義相對論。規範對稱是一連續對稱,因此根據第二章所提及到的諾特定理,它對應一個守恆的物理量,而這個守恆量便是電荷。所以,電荷守恆是光子作為質量為零自旋為 \(1\) 的粒子的必然結果。從這個角度看,電荷守恆是規範對稱的結果,而規範對稱等價於質量為零自旋為 \(1\) 的粒子存在。給定了規範對稱後,對應的質量為零自旋為 \(1\) 的粒子稱為規範玻色子(gauge boson),其對應的量子場稱為規範場(gauge field)。光子便是一種規範玻色子,而光子場便是一種規範場。我們可以用圖像表示規範對稱所涉及到的對稱變換,稱為規範變換(gauge transformation)。如下頁圖三,其中灰色箭頭表示電子場的一個分量,它是一個複數,圖中顯示的是一個複平面,而規範變換相當於灰色箭頭在複平面上的轉動註 5。由於規範變換不涉及時空變換,規範對稱不是時空對稱,它是一種內在對稱(internal symmetry)。另外,值得注意的是,規範變換中的旋轉角度(如圖三中的旋轉角度)是可以依賴時空點的,即規範變換是一種局域變換(local transformation),這點也與全域性的時空對稱不同(例如時間平移是對每個時空點作相同的時間平移),並且具有深刻的物理意義,我們會在往後的章節加以探討。



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圖三

規範對稱決定交互作用


規範對稱不僅蘊含電荷守恆,它還嚴格地限制着粒子可能的交互作用形式。我們知道,符合能量守恆、動量守恆和角動量守恆的交互作用有千千萬萬種形式。可是,給定了規範對稱後,規範玻色子與其他粒子的交互作用形式便被唯一地確定下來。例如,兩顆電子之間的靜電斥力為 \( \alpha / r^2\),其中 \(r\) 為兩顆電子之間的距離,\( \alpha = e^2 / 4 \pi\)(自然單位系統)\( ~ 1/137\) 是量子電動力學裏決定粒子間交互作用强度的唯一自由參數,稱為精細結構常數(fine structure constant),其反平方形式 \(1/r^2\) 便是規範對稱的必然結果。又例如,在第十章中我們討論到量子電動力學中的費曼法則,它們都是由規範對稱所決定,理由是,規範對稱性決定了作用量的形式註6,而作用量決定了費曼法則。

以上我們討論到的如圖三的規範對稱只是規範對稱中最簡單的例子,稱為 \( U(1) \) 規範對稱,而 \( U(1) \) 是其規範羣註 7。我們可以說,量力電動力學其實就是 \( U(1) \) 規範場論。有趣的是,規範場論不僅能正確地描述電磁交互作用,它也能描述強交互作用和弱交互作用。描述強交互作用和弱交互作用的規範場論使用了比 \( U(1) \) 更為複雜的規範羣,其蘊合的物理現象極為豐富,我們將在以後的章節對其一一細味。