粒子物理行（十六）電荷守恆與規範對稱

相信任何一個學過物理的人都學過電荷守恆定律—封閉系統內的總電荷隨時間不變，即電荷不能被創造或消滅。例如，電子\(e^−\) 帶負電荷 \(−e\)（\(e\) 為質子電荷），反電子 \(e^+ \) 帶正電荷 \(+e\)，兩者可碰撞而互相湮滅，變成兩顆光子（圖一）。在這過程中，初態總電荷為 \(−e + e = 0\)，終態總電荷也為零（光子不帶電荷），因此這過程符合電荷守恆定律，並且確實在實驗中被觀察到。至今，物理學家並未在實驗中發現電荷守恆定律被違反。因此，我們有理由相信電荷守恆定律是被嚴格遵守的基本物理定律。我們很自然會問：「為何電荷守恆？」在第二章，我們知道守恆定律與物理定律的對稱性有關。例如，能量守恆是基於物理定律在時間平移下的不變性，即物理定律不分時間；動量守恆是基於物理定律在空間平移下的不變性，即物理定律不分位置；角動量守恆是基於物理定律在空間旋轉下的不變性，即物理定律不分方向。我們可以問：「電荷守恆是基於某種物理定律的對稱性嗎？」從現代物理學的角度看，答案是肯定的。可是，有別於能量、動量和角動量守恆所對應的時空對稱，電荷守恆所對應的對稱與時空對稱無關，是一種獨立於時空對稱的內在對稱，稱為規範對稱（gauge symmetry）。在現代物理學裏，規範對稱被視為比電荷守恆更基本的原理，因為電荷守恆只是規範對稱所蘊含的眾多結果之一。

圖一

光子的特質

我們在第十章中了解了量子電動力學的基本原理。簡言之，所謂的電磁交互作用其實就是帶電荷粒子之間交換光子的結果。光子具有兩個特質：一是它的質量為零，二是它的的自旋為 \(1\)。因為光子質量為零，它以光速運動。而因為光子的自旋為 \(1\)，它具有兩個偏振態，對應螺旋度 \(\sigma = +1\) 和 \(−1\)（見圖二 a 和 b，其中灰色箭頭為光子角動量沿其動量 \(p\) 方向的分量）註1。光子偏振態的概念在日常生活也能遇到，例如太陽眼鏡之所以能擋住部份光子，正是因為太陽眼鏡鏡片只容許光子以某一特定的偏振態通過。注意，對於質量非零而自旋為1 的粒子，它的螺旋度有三個可能 \( ( \sigma = 1, 0, −1) \)，因此比光子多一個自由度註 2。在量子場論裏，粒子是量子場的激發，而為了使得理論符合連續時空對稱（龐加萊羣），量子場必須在連續時空變換下作特定形式的變換。這種特定形式的變換稱為對稱羣的表示（representation）註 3。作為粒子，光子當然有它對應的量子場—光子場。光子雖然自旋為1，但只有兩個自由度，如果把它寫成量子場，我們會發現該場並沒有我們期望的連續時空變換規律，即不是連續時空變換羣的表示，或稱為不協變註 4。從表面上看，這似乎意味着光子與量子場論不相容，這當然在理論上是災難性的。

圖二a	圖二b

規範對稱

幸好的是，理論上有辦法拯救這個災難。我們可以假設光子場與其他場的交互作用具有某特定形式，使得光子場的不協變性不影響交互作用的連續時空對稱性。這種交互作用的特定形式，可看成是一種另類對稱性的結果，這種新的對稱性稱為規範對稱（gauge symmetry）。以上討論聽上去好像有點抽象難懂。簡言之，如果我們堅持要把質量為零自旋為 \(1\) 的粒子寫成量子場，那麼我們必須引入一種新的對稱性—規範對稱，使得得到的理論仍然符合狹義相對論。規範對稱是一連續對稱，因此根據第二章所提及到的諾特定理，它對應一個守恆的物理量，而這個守恆量便是電荷。所以，電荷守恆是光子作為質量為零自旋為 \(1\) 的粒子的必然結果。從這個角度看，電荷守恆是規範對稱的結果，而規範對稱等價於質量為零自旋為 \(1\) 的粒子存在。給定了規範對稱後，對應的質量為零自旋為 \(1\) 的粒子稱為規範玻色子（gauge boson），其對應的量子場稱為規範場（gauge field）。光子便是一種規範玻色子，而光子場便是一種規範場。我們可以用圖像表示規範對稱所涉及到的對稱變換，稱為規範變換（gauge transformation）。如下頁圖三，其中灰色箭頭表示電子場的一個分量，它是一個複數，圖中顯示的是一個複平面，而規範變換相當於灰色箭頭在複平面上的轉動註 5。由於規範變換不涉及時空變換，規範對稱不是時空對稱，它是一種內在對稱（internal symmetry）。另外，值得注意的是，規範變換中的旋轉角度（如圖三中的旋轉角度）是可以依賴時空點的，即規範變換是一種局域變換（local transformation），這點也與全域性的時空對稱不同（例如時間平移是對每個時空點作相同的時間平移），並且具有深刻的物理意義，我們會在往後的章節加以探討。

圖三

規範對稱決定交互作用

規範對稱不僅蘊含電荷守恆，它還嚴格地限制着粒子可能的交互作用形式。我們知道，符合能量守恆、動量守恆和角動量守恆的交互作用有千千萬萬種形式。可是，給定了規範對稱後，規範玻色子與其他粒子的交互作用形式便被唯一地確定下來。例如，兩顆電子之間的靜電斥力為 \( \alpha / r^2\)，其中 \(r\) 為兩顆電子之間的距離，\( \alpha = e^2 / 4 \pi\)（自然單位系統）\( ~ 1/137\) 是量子電動力學裏決定粒子間交互作用强度的唯一自由參數，稱為精細結構常數（fine structure constant），其反平方形式 \(1/r^2\) 便是規範對稱的必然結果。又例如，在第十章中我們討論到量子電動力學中的費曼法則，它們都是由規範對稱所決定，理由是，規範對稱性決定了作用量的形式註6，而作用量決定了費曼法則。

以上我們討論到的如圖三的規範對稱只是規範對稱中最簡單的例子，稱為 \( U(1) \) 規範對稱，而 \( U(1) \) 是其規範羣註 7。我們可以說，量力電動力學其實就是 \( U(1) \) 規範場論。有趣的是，規範場論不僅能正確地描述電磁交互作用，它也能描述強交互作用和弱交互作用。描述強交互作用和弱交互作用的規範場論使用了比 \( U(1) \) 更為複雜的規範羣，其蘊合的物理現象極為豐富，我們將在以後的章節對其一一細味。