二十世紀的前三十年，是物理發展大爆發的年代。相對論與量子力學的相繼提出，大大改變了物理學的面貌，使得人們對於時空、因果律、隨機性的看法都發生了根本的改變。從二十世紀前半到現在，固態物理、高能物理、半導體物理、光電科技、奈米科技，與能源科技的發展，以及正在如火如荼發展中的量子資訊科技，或多或少都牽涉到量子力學的應用。而核能科技、宇宙學研究、重力波偵 測、科幻電影 (例如星際效應 interstellar) 中關於黑洞與蟲洞 (blackhole and wormhole) 的物理特性模擬，以及日常生活中不可或缺的全球定位系統 (Global Positioning System, GPS)，都可算是相對論的應用。生活在這樣一個高科技的時代，再加上許多名人對於新物理的偉大成就的廣泛宣傳，一般人或許會逐漸相信新物理已經完全取代了舊物理，因此不需要學習已被淘汰的舊物理，只要學習新的就好。在一些內容牽扯到相對論或量子力學的Youtube 影片 (它們未必是科普影片) 裡，常常有“相對論推翻了牛頓力學”的說法。在一些上世紀的科普書裡，類似的敘述也很常見。然而，這樣的說法究竟對不對呢？

在高中物理課程裡有關萬有引力的單元中，通常都會介紹克卜勒行星運動三大定律，具體內容可敘述如下。第一定律：行星繞太陽運動的軌跡是橢圓，而太陽位於橢圓的一個焦點。第二定律:太陽與行星連線在單位時間內掃過的面積是定值。第三定律：行星繞太陽的週期的二次方，正比於橢圓半長軸的三次方。如果會解微分方程式，那麼只要根據牛頓的萬有引力定律與第二運動定律寫出運動方程式，然後解這些方程式就可以將克卜勒的這三個定律都證明出來。不過，在高中階段，多數同學還沒有解微分方程式的相關知識與經驗，所以這種分析方法的困難度偏高。

要在有重力場的彎曲時空中探討孿生子問題，就必須明確知道重力場的分布情形，或是所謂「時空的形狀」，否則是沒有確定結論的。

隨手翻開一本古典力學 (classical mechanics) 的教科書，除了會看到大家在普通物理 (General physics) 就遇見過的牛頓力學 (Newtonian mechanics) 之外，應該還會看到所謂拉格朗日力學 (Lagrangian Mechanics) 與哈密頓力學 (Hamiltonian Mechanics)。其實這幾種名稱不同的力學大致上處理的是相同範疇的力學問題，但是表達的方式與使用的手法有很大的差異。以現代物理學的眼光來看，後兩種力學裡的概念不但對量子力學的建立有很重要的啟發，其中用到的拉格朗日函數 (Lagrangian) 與哈密頓量 (Hamiltonian) 更是要以標準程序量子化 (quantize) 任何一個物理系統必須先知道的關鍵物理量。究竟這些力學的概念與牛頓力學有何不同？它們與量子力學的關係是什麼？它們的適用範圍與優缺點是什麼？在這一期的專欄文章裡，我想先跟大家聊聊牛頓力學與拉格朗日力學的關係，以及後者所採用的基本原理在量子力學觀點下是如何解釋的。關於哈密頓力學的相關討論，就留待未來的專欄文章再跟大家分享。

我在高中時期思考「電場」的意義時，總覺得定義這個概念只是多此一舉。我認為既然電場被定義為「單位電荷所受的電力」，那麼電場只不過是電力的替代物，並沒有什麼更重要的內涵。這種感受在計算牛頓萬有引力相關問題時更加明顯：既然像靜電力或重力這類「超距作用」(action at a distance) 的施力者與受力者都是物體，有必要在空虛的空間裡處處都定義一個「場強」嗎？一直到我學習了狹義相對論與電磁學 (尤其是電磁波) 之後，我才算真正理解「場」概念的重要性。在這一期的文章裡，就來分享一下我對此問題的思考心得。

圖 1. 位於倫敦金絲雀碼頭 (Canary Wharf, London) 車站附近的公共藝術作品：六個公共時鐘 (Six Public Clocks). 創作者為 Konstantin Grcic.

 

物理初學者可能會以為只有量子力學才會使用到複數 (complex number)。因為量子力學的狀態空間是抽象的希爾伯特空間 (Hilbert space)，為了描述系統狀態在希爾伯特空間的演化必須使用複數，而古典物理的可觀測量都是實數，不需要使用複數。其實不然，古典物理與許多工程問題也大量使用複數表達式，雖然實際觀測的物理量確實可用實數表示。這些與實驗對應的實數量通常就是複數量的實部或虛部。在這些問題的處理中若完全不使用複數，解決過程就會變得非常繁瑣，有時候甚至根本做不到。舉例而言，像在「超穎材料」(metamaterials) 這類既有色散 (dispersion) 又有吸收 (absorption) 的介質中，介電常數 (dielectric constant, permittivity) 或磁導率 (permeability) 一般都是複數，而且不該把它們的實部與虛部拆開來看，因為彼此是互相關聯的。又例如要在波動光學 (wave optics) 範疇內解釋全內反射 (total internal refraction) 現象時，必須引入虛數的波向量 (wave vector)，才能說明什麼是消逝波 (evanescent wave)。

「加速運動的電荷會輻射電磁波」或許是一個多數讀者都聽過的概念。不過，如果問起這個概念是在哪裡學到的，怎麼知道這個敘述是真實的，每個人或許會有不同的答案。就我記憶所及，我不是在電磁學課裡學到這個概念的，而是在學習近代物理 (modern physics) 裡關於原子的拉塞福模型時學到的。基本概念大概是這麼說的：拉塞福根據阿爾法粒子 (alpha particle) 對金箔的散射實驗結果，建立了原子的「行星模型」。在這個模型提供的圖像中，原子中的正電荷集中於原子核，其體積比原子本身小得多，而帶負電荷的電子像行星，圍繞著像太陽的原子核運動。這個圖像在量子力學提出後被「原子核四周圍繞著電子雲」，「電子只有軌域 (orbital) 而沒有軌道 (trajectory)」的形象所取代。不過，在流行文化中，行星模型依然很常被使用來表達原子的形象。在介紹完這個模型後，書上通常就會強調這個模型有致命缺點，指出「電子繞原子核轉圈運動是一種加速運動，而加速運動的電荷會輻射電磁波」，這會導致在極短的時間內「電子因損失能量而撞向原子核，最終墜毀在原子核上」。也就是說，拉塞福模型無法解釋原子的穩定性。