「力場」為何比「超距作用」更合理？

我在高中時期思考「電場」的意義時，總覺得定義這個概念只是多此一舉。我認為既然電場被定義為「單位電荷所受的電力」，那麼電場只不過是電力的替代物，並沒有什麼更重要的內涵。這種感受在計算牛頓萬有引力相關問題時更加明顯：既然像靜電力或重力這類「超距作用」(action at a distance) 的施力者與受力者都是物體，有必要在空虛的空間裡處處都定義一個「場強」嗎？一直到我學習了狹義相對論與電磁學 (尤其是電磁波) 之後，我才算真正理解「場」概念的重要性。在這一期的文章裡，就來分享一下我對此問題的思考心得。

讓我們從牛頓第三定律開始談起。此一定律是說：當兩個物體交互作用時，彼此施加於對方的力 (作用力與反作用力)，必定是大小相等、方向相反的。我們可以把它寫成以下向量公式：

等號左邊的  代表物體 2 施於物體 1 的力；而等號右邊的 代表物體 1 施於物體 2 的力。如果相互作用的只有這一對物體，那麼跟據牛頓第二運動定律 (物體所受的力等於動量變化率) 就得到 

 ，
其中  與  分別是物體 1 與物體 2 的動量。將此式對時間積分，就知道兩物體的動量變化也是大小相等，方向相反的。換句話說，兩物體的總動量不隨時間改變，也就是總動量是一個守恆量。當一個系統中相互作用的物體有很多個時，只要每兩個物體之間的交互作用符合牛頓第三運動定律，再配合作用力的加成性 (作用於一個物體的總作用力是各個其它物體作用於此物體的作用力的向量和)，還是可以得到系統動量守恆的結論 (如果沒有其它來自系統外的作用力的話)。從這個簡單的討論可以看出，牛頓第三定律保證了力學系統內部的動量守恆。這就是質心 (center of mass) 概念的重要根據。藉著系統「內力」的彼此相消，系統質心的運動軌跡就是一個系統總質量集中於質心的虛構的粒子在外力作用下的運動軌跡。


仔細的讀者或許會發現以上的討論沒有提到交互作用的一對物體受力的時間是否是同時的 (simultaneous)。如果物體是經由「接觸力」作用，例如撞球，那麼作用與反作用力發生在同一時刻是沒有問題的。不過，如果交互作用的是一對沒有碰觸到彼此的帶電粒子，或是藉著萬有引力彼此吸引的兩顆星球，作用力與反作用力還能發生在同一時間，並符合牛頓第三定律嗎？在不考慮相對論的情況下，這種「瞬時」(instantaneous) 的「超距作用力」概念能幫助我們以極高的精確度計算行星繞日的運動，甚至是太空探測器的軌跡。不過，當需要考慮相對論時，許多問題就浮現了。

 

事實上，牛頓自己也對超距作用力這個概念有疑慮。他在一封給Richard Bentley的信裡說：『實在難以想像沒有生命的物質能夠作用與影響其它物質而完全不需要非物質傳遞機制，也不依靠彼此接觸……對於物質而言，重力應該是那麼內在的、固有的、本質的，能夠使得一個物體能夠作用於以真空相隔有限距離的另一個物體，而不需要通過任何非物質的媒介來傳遞作用力，這對我來說這是一個超大荒謬。我相信不會有任何在哲學方面具有充分思考能力的人士會墜入其中。重力必定是由按照某種定律作用的代理所造成的。至於這代理到底是物質的還是非物質的，在這裡我留給我的讀者來思考。』(引自維基百科“超距作用”)



現在來看看超距作用力在相對論架構下會有什麼問題。相對論的一個非常重要的結論是真空光速 c (約 300,000 km/s) 是任何訊號或粒子運動所能達到的最大可能速度。因此，瞬時超距作用力就被排除了。當交互作用的傳遞速度是有限的，那就表示一對彼此作用的粒子的其中一個有某種運動狀態的變化時，另一個粒子不會馬上知道。這導致牛頓第三定律在這個情況下不能成立。另一方面，根據相對論的羅倫茲轉轉換 (Lorentz transformation) 可知「同時」不具有絕對意義。在某一慣性系內同時的兩事件 A 與 B，換到其它慣性系有可能 A 比 B 早發生，也可能 B 比 A 早發生，因此瞬時超距作用力若存在，就會破壞因果律 (causality)，因此在物理上極不可能正確。


讀者或許會反駁這裡的說法，認為「量子糾纏」(quantum entanglement) 就是瞬時影響或是超光速影響。其實這是一種誤解。對相互糾纏的一對粒子的其中一方的測量結果，雖然會與另一方有超光速的關聯性 (correlation)，但是測量結果是隨機而不可控的，因此無法藉由量子糾纏去進行有因果意義的一方對另一方的影響。再者，雖然對已進行測量的一方而言，另一方會出現什麼結果是在此方測量結果確定的當下就知道的，但是另一方測量者其實並不知道此方是否已進行了測量。兩方還是得透過一個傳遞訊息速度等於或小於真空光速的管道溝通過，才算真正確認了結果。



如果一個粒子與另一個粒子的作用不是瞬時的，那麼超距作用就必須被「場」 (field) 的觀念取代。根據場論的觀念，兩粒子不是直接作用，而是各自被對方在空間中建立的場作用。在相對論成立的世界裡，系統動量的守恆是藉著「場可以攜帶動量」而達成的。對一個藉著某種力場相互作用的多粒子系統，如果只記錄多個粒子各自的動量，會發現它們的總和不是守恆量。分析任意一對粒子所受到的作用力，也不會是「大小相等，方向相反」的，牛頓第三定律在此不適用了。

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在牛頓力學的架構下，當多個粒子藉著彼此的超距交互作用而相互影響時，它們除了改變彼此的動量，也會影響整個系統內部的能量分配。如果粒子之間是真空，能量就只能儲存在個別粒子作為動能或是儲存在粒子對之間作為位能，而在空蕩蕩的空間裡什麼都沒有。當引入「場」的概念後，場就獲得了某種物裡實在性 (physical reality)。場不但可以攜帶動量，也可以儲存與傳遞能量。電磁場可以脫離振盪的電荷與電流而輻射出去，就是這種物理實在性的體現。當今大家對電磁波都早已習以為常，相信不難理解以上的結論。想進一步了解電磁能量與電磁動量的朋友，不妨讀讀費曼物裡講義第二卷第 27 章《場能量與場動量》。

上述關於場能量與場動量的概念當然不限於應用在電磁場，而是所有的作用力場。在廣義相對論裡，重力場一般而言是動態的。因此，一對互繞的黑洞可以動態地扭曲時空，而這種「時空漣漪」會以重力波的形式輻射出來。重力波當然也是攜帶動量與能量的，只是它們實在太微弱了，因此必須使用非常精密的儀器與特殊方法才能測量得到。以現今的技術而言，要測量大明星跟粉絲們揮手時所輻射出的重力波是不太可能的。如果哪一天這可以做得到，人類就又多了一種傳遞訊息的手段了。我期待那一天的來臨。