晴空塔、GPS，與費曼時鐘問題—聊聊重力場中的時間效應

要在有重力場的彎曲時空中探討孿生子問題，就必須明確知道重力場的分布情形，或是所謂「時空的形狀」，否則是沒有確定結論的。

在四月號的專文《相對論裡的兩種時間 -- 淺談孿生子悖論》裡，我們介紹了狹義相對論裡的兩種時間觀念：座標時 (coordinate time) 與原時 (proper time)，並分析了孿生子悖論 (Twin paradox)，得到的結論是：高速太空旅行的太空人 B結束旅行返回地球後，會發現他比留在地球上的雙胞胎兄弟 A 年輕。把 A、B 兩人視為兩個時鐘的話，判斷的依據是 B 有加速與減速，所以 B 並不在慣性系中，但 A 一直在慣性系中，所以 A 的時間可以跟 B 沿路所經過的各個座標鐘同步，但 B 鐘記錄的原時間隔永遠比沿路經過的座標鐘讀數差少，這就導出了 B 鐘的總讀數一定比 A 鐘少，因此 B 比較年輕的結論。

若用閔可夫斯基空間 (Minkowski space) 的時空圖 (spacetime diagram) 來看，A 鐘的世界線 (world line) 是一條直線，但 B 鐘的不是。事實上，數學上可以證明：閔可夫斯基空間中的類時 (time-like) 直線對應最長的原時。所以，如果我們一開始就採用時空圖的描述方式的話，結論就變得很明顯，似乎沒有什麼討論的必要了。不過，在真實的世界裡，地球是有重力場的，還有自轉與繞著太陽的公轉，此外還受到太陽重力場的作用，因此並不是慣性系。此外，太空旅行的 B 所拜訪的星球，也可能有強大的重力場。看過《星際效應》這類電影，或是常常關注黑洞 (black hole) 相關知識的朋友，一定聽過強大的重力場會使時間的流逝變慢這件事。因此，如果運動的時鐘是在重力場中，上述孿生子問題的答案是否會有不同？先說結論：如果重力場不是很強，但出去旅行的 B 先生的太空船速度夠接近光速的話，結論還是會維持一樣。不過，如果重力效應與速度效應大致相當的時候，結論就有可能不同。

在繼續討論這個問題之前，我們先介紹一個相關的問題。這是物理學家費曼 (Richard P. Feynman) 在《費曼物理講義》(Feynman Lectures on Physics) 第 II 卷第 42 章第8 節 “彎曲時空中的運動” 所提出的問題。事實上，同樣的問題在《費曼重力學》(Feynman Lectures on Gravitation) 以及《別鬧了！費曼先生》(Surely you’re Joking, Mr. Feynman !) 裡也都有出現，只是呈現的重點有所不同，有興趣的讀者不妨找書來看看。我們現在將這個問題敘述如下：有一模一樣的 A 與 B 兩個時鐘 (彼此同步)，放置在地球表面的兩個位置。我們在兩者時間同為 0 秒的時候開始把 A 時鐘舉高，在高處待上一陣子，再將它移動到地面上 B 時鐘所在的位置。我們規定在它回到地面的時候，時鐘 B 必須剛好到達第 100 秒。現在的問題是：究竟該如何移動A 鐘，才能使它累積最多的讀數？這個問題其實就是在探討時鐘以怎樣的方式在重力場中移動可以累積最長的原時。由於時鐘 A 在高處停留時走得比較快 (後面會詳細分析)，所以表面上看來似乎 A 時鐘應該在高處待久一點再回地面。不過，若在高處待得太久，待到了太接近該回來地面的時間，就必須快速從高處俯衝到地面 B 鐘處，這會使得 A 鐘在回程時走得較慢，累積的讀數變少。由於地球的重力場比較微弱，為了使分析過程更容易理解，我們暫時假設時鐘的運動速度遠小於光速。雖然如此，我們仍然需要認真考慮速率效應所造成的時間膨脹效應，但會適度使用簡單明瞭的近似公式。我們將地面的時鐘全部同步化，並以 \(t\) 表示它們所讀出的共同時間。事實上，由於地球本身在自轉，且環繞太陽公轉，這種破壞了時間反轉對稱性 (time reversal symmetry) 的重力場中的時鐘是無法像狹義相對論中那樣完全同步化的。不過，由於地球自轉並不算太快，所以不太吹毛求疵的話，可以暫時忘掉地球的自轉，假定這種同步化是做得到的。

現在我們來探討離地面高度 \(h\) 處的靜止時鐘的時間讀數 \(\tau\) 與地面時間 \(t\) 之間的關係。解答的線索藏在愛因斯坦的等效原理 (equivalence principle) 裡。根據這個原理，一個在零重力場的太空中以加速度 \(a=g\) (向上) 前進的太空船內發生的物理現象，與一個豎立在地面上，被重力場 (重力加速度)  (向下) 作用的同樣的太空船內部的物理現象是完全相同的。考慮一個位於高度 \(h\) 處的原子持續發出頻率為 \(f\) 的光，並在地面被接收到。根據等效原理，可以把地面想像為加速迎向發光的原子，所以當光被接收到時，接收器相對於發光時的原子有不為 0 的速度，因此有 Doppler 效應 (Doppler effect)，即接收到的光頻率 \(f'\) 會比 \(f\) 高。雖然在光的傳播過程中，地面持續在 “加速上升”，但由於光速 \(c\) 非常大，所以在光到達地面之前，這個加速上升只移動了微不足道的距離。我們因此可以把這個傳播過程所花的時間很好地近似為 \( h \over c\)。對應於這個時間差，加速造成的接收器與發光原子的相對速度是 \(v=\) \({gh}\over {c}\)，因此根據狹義相對論給出的 Doppler 效應公式，發射與接收頻率之間的關係是：

\( f'=f \sqrt{{1+v/c}\over{1-v/c}}\)\(≈f( 1+ \) \(v \over c \) \( )=f( 1+\) \(gh \over {c^2} \) \( ).  \)  (1)

現在讓我們回到 “沒有加速上升的地面” 的原來圖像。在重力場中要如何理解 (1) 式的結果？記住 \(f\)  是用 \(h\) 高處的時鐘所量出的 “每秒放出的波長個數”，而 \(f'\) 是同樣的波序列傳到地面時，用地面的時鐘量出的 “每秒接收的波長個數”。由於重力場是穩定存在而不隨時間改變的，可以很容易推論出發射端與接收端之間的波長個數不會隨著時間  改變，因此這個頻率的差異可以被解釋為  處的靜止時鐘處放出一個波長所對應的讀數差  與地面時鐘接收一個波長的讀數差  不同，兩者的比值是：

\( \frac{Δτ}{Δt} = \frac {1/f}{1/f'} = \frac{f'}{f} =( 1+ \frac{gh}{c^2} )=1+ \frac{Δϕ}{c^2} \). (2)

此處 \(\Delta \phi = gh\) 是高度 \(h\) 處的重力勢 (gravitational potential)，即每單位質量分到的重力位能。前述費曼時鐘問題提到的高處的時鐘走得比較快就是根據這個結論而來的。有的科普文章會說重力場較強的地方時鐘走得慢，這說法對一般星球的重力場而言是正確的，因為場強的地方重力勢也低。不過，時鐘的快慢跟重力場強弱的關係並不是必然的，真正直接相關的其實是重力勢而不是場強。此外，上述光波交換的過程 (針對特定原子，特定光譜線) 可以在任何兩個固定的空間點之間持續進行，並將計數的波長個數乘以某常數之後定義為座標時，供整個坐標系使用。因此公式 (2) 的結果可以表達為固定時鐘的原時讀數與座標時讀數的比值隨地點而變，而在重力勢越高的地方，這個比值越大。在目前的問題裡，我們可以簡單地把地面時間 \(t\) 當成座標時。

這個重力造成的時間效應自 1959 年起已被實驗驗證過許多次，最新的一次或許是去年 (2020 年) 日本科學家利用東京晴空塔 (Tokyo Skytree) 所做的實驗。研究團隊將兩個光學晶格鐘 （optical lattice clocks）分別放置在晴空塔453.6公尺及3.6公尺高處並比較，證實了在453.6公尺處時鐘每天時間會過得比3.6公尺處的底層快約4奈秒。根據實驗條件，可將 3.6 公尺高處當成 “地面”，得到高度差 \( h=450 \rm m \) ，然後再根據公式 (2) 可算出時鐘速率的偏差比率是\( \frac{Δϕ}{c^2} = \frac{gh}{c^2} = \frac{9.8×450}{9× 10^{16}} =4.9× 10^{−14} \) 。由於一天有 86400 秒，因此每天偏差的總時間為 \( δ t=86400×4.9× 10^{−14}  \rm s = 4.23  ns \) ，即 4.23 奈秒，與實驗結果相符。

現在我們把因時鐘運動所造成的時間變慢效應一併納入考慮。根據狹義相對論，一個運動的時鐘記錄的原時讀數，是靜止時鐘的讀數乘以因子\(\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}\) 。因此，一個位於高度 \(h\) 處並以速率 \(v\) 相對於地面移動的時鐘，當地面時鐘讀數增加 \(dt\) 秒時，它的讀數增量就是

\( dτ= \sqrt{1− \frac{v^2}{c^2}} ( 1+\frac{ Δϕ}{c^2}) dt≈( 1−\frac{v^2}{2c^2})( 1+\frac{Δϕ}{c^2}) dt≈( 1−\frac{v^2}{2c^2} + \frac{Δϕ}{c^2}) dt \) (3)

大家在日常生活中很依賴的GPS 全球衛星定位系統，就有應用這個公式做GPS 衛星與地面交換訊號的時間修正。這些 GPS 衛星距地表的高度大約是 \(h=20000  \rm km\), 以速度 \(v= 14000   \rm km/hr=3888.9  \rm m/s\) 繞行地球。根據此速度可計算出 \(\frac{v^2}{2c^2}=8.4 ×10^{-11}\) ，因此衛星時鐘在一天裡會因為速度效應較地面時鐘慢大約 7.3 微秒。另外，由於重力場強度是平方反比於衛星至地心的距離，所以 \(\Delta \phi / c^2\) 不再近似於 \(gh/c^2\) ，而是

\( \frac{Δϕ}{c^2}=\frac{GM}{Rc^2}( 1−\frac{R}{R+h})=\frac{gR}{c^2}(\frac{h}{R+h})=5.26× 10^{−10}\) .

此處 \(G\) 是牛頓重力常數，\(M\) 是地球質量，而 \(R=6371 \rm km\) 是地球半徑。根據此式可知一個高掛在 \(h=20000  \rm km\) 高空處不移動的衛星時鐘每天比地面時鐘快大約 45.4 微秒。當運動與重力勢兩個效應一起考慮時，衛星時鐘每天就要比地面時鐘快上 38.1 微秒。這個38 微秒表面上看來微不足道，但實際上，若不修正衛星與地面時鐘的差異，會造成相當可觀的定位誤差，而這就會使 GPS 變成了廢物。

現在我們已做好了充分準備，可以對費曼的時鐘問題給出明確的解答了。我們把原問題中的地面總時間 100 秒記為 \(T\)，則根據 (3) 式，原來的問題可寫成滿足以下數學條件的路徑：

\( \int_{0}^{T} ( 1− \frac{v^2}{2c^2}+{Δϕ}{c^2}) dt=T− \int_{0}^{T}(\frac{v^2}{2c^2} − \frac{Δϕ}{c^2} ) dt= \)極大值 (4)

由於 \(T\) 在問題中是給定的固定值 (100 秒)，因此 (4) 式相當於

\( \int_{0}^{T}(\frac{v^2}{2c^2} −\frac{Δϕ}{c^2}) dt= \)極小值 (5)

假設問題中的 A 時鐘是綁在一個物體上，時鐘加物體的總質量是 \(m\)，我們可將 (5) 式乘以\(mc^2\) ，改寫為以下條件

\( \int_{0}^{T}(\frac{mv^2}{2}−mΔϕ) dt= \int_{0}^{T}( K−U) dt= \int_{0}^{T}L  dt = \)極小值 (6)

此處 \(K\) 與 \(U\) 分別是動能與位能，而它們的差 \(L\) 就是前一期專欄中所介紹過的拉格朗日函數 (Lagrangian function)。很明顯，滿足條件 (6) 的運動，就是重力場中的拋體運動！我們只需要適當選擇初始速度的大小與方向，使得拋體在拋出後 100 秒時恰好到達 B 時鐘處，就是給出 A 鐘的最長原時讀數的運動方式。

前述關於費曼時鐘問題的討論給出了一個重要結果：只受重力作用的物體，其運動滿足最長原時條件。不過，在分析過程中，我們假定重力場不強，物體的運動速度也不快，所以我們採用的近似公式都可以成立。如果討論的是很強的重力場 (例如黑洞附近)，或是運動速度接近光速，我們前面用的那些近似手法當然就不適用了。此時就必須採用完整的廣義相對論而不是只用了等效原理。不過，非常有趣的是，在任意強度的重力場中只受重力影響而運動的質點，它們在時空中畫出的世界線仍然是對應最長原時的那一條，被稱作測地線 (geodesics)。根據這個結果，要在有重力場的彎曲時空中探討孿生子問題，就必須明確知道重力場的分布情形，或是所謂「時空的形狀」，否則是沒有確定結論的。