加速運動的電荷一定會輻射電磁波嗎？
- 皮皮老師的物理心得
- 撰文者：欒丕綱
- 發文日期：2020-11-17
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「加速運動的電荷會輻射電磁波」或許是一個多數讀者都聽過的概念。不過，如果問起這個概念是在哪裡學到的，怎麼知道這個敘述是真實的，每個人或許會有不同的答案。就我記憶所及，我不是在電磁學課裡學到這個概念的，而是在學習近代物理 (modern physics) 裡關於原子的拉塞福模型時學到的。基本概念大概是這麼說的：拉塞福根據阿爾法粒子 (alpha particle) 對金箔的散射實驗結果，建立了原子的「行星模型」。在這個模型提供的圖像中，原子中的正電荷集中於原子核，其體積比原子本身小得多，而帶負電荷的電子像行星，圍繞著像太陽的原子核運動。這個圖像在量子力學提出後被「原子核四周圍繞著電子雲」，「電子只有軌域 (orbital) 而沒有軌道 (trajectory)」的形象所取代。不過，在流行文化中，行星模型依然很常被使用來表達原子的形象。在介紹完這個模型後，書上通常就會強調這個模型有致命缺點，指出「電子繞原子核轉圈運動是一種加速運動，而加速運動的電荷會輻射電磁波」，這會導致在極短的時間內「電子因損失能量而撞向原子核，最終墜毀在原子核上」。也就是說，拉塞福模型無法解釋原子的穩定性。
上述這個問題在量子力學發展出來後就被解決了。至於是怎麼解決的，請容我先賣個關子。讓我們先考慮以下的問題：一個均勻帶電的圓環，以固定的角速度繞著圓環的軸心旋轉，請問此圓環是否會輻射電磁波？乍看這個問題，答案似乎是肯定的，因為圓環上的每一點都在做圓周運動，都在加速，所以「應該」都會輻射電磁波。可是再仔細一想，以均勻角速度旋轉的圓環電荷對應一個繞圓環流動的直流電，但沒聽說過直流電流可以發射電磁波呀！答案究竟是哪一個？輻射？還是不輻射？要徹底解決這個問題，最一翻兩瞪眼的方法或許是尋找一個可以根據電荷運動計算電磁輻射的公式，然後直接算出結果。不過，這樣暴力解決問題的趣味性似乎少了點。所以我想在此跟大家分享一個更直觀的解決辦法。
讓我們先將電荷集中於圓環上的一點，並假設此總電荷量為q，圓環的旋轉角速度為 w，對應的旋轉週期為
。
現在，將原來的單一點電荷 q 分為兩個點電荷，每個點電荷各分配到 q/2 的電量，並固定於圓環直徑兩端面對面的兩點 (即彼此角座標相差
)。原來的電磁場分量 f(t) 現在變成
根據前述 f(t) 的週期條件 f(t)=f(t+T) 可知新的結果滿足
根據這個結果，可知「一分為二」的結果是：週期減半，振幅也減半。如果將這個思考結果推廣至「一分為N」(各電荷等間隔地分布於圓環上) 的情況，也不難得知其效果是：週期變為1/N，振幅也降為1/N。
現在讓我們考慮「一分為無窮」的效果，也就是回到我們最初所考慮的「均勻帶電的圓環，以固定的角速度旋轉是否會輻射電磁波」的問題。將現在這個情況的電磁場分量觀測值記為
，則根據前述的討論有
在上面這個算式裡，我們使用了「積分就是黎曼和 (Riemann sum) 的極限」的概念，將 kT/N 換成
，將T/N 視為
，並在第二行做了變數代換
，此外還利用了週期條件f(t)=f(t+T)。最後的結果就是原來那個函數在一個週期內的平均值，是一個不隨時間改變的固定值。也就是說圍繞在此圓環四周的電場與磁場都是靜態的，沒有任何「波」的特徵。這就說明均勻角速度旋轉的帶電圓環是不會輻射電磁波的，雖然圓環上的任意一點都在做著加速運動。
這個圓環系統不輻射電磁波的關鍵究竟是什麼？加速電荷不是「就應該」輻射電磁波嗎？讓我們回頭看看加速電荷輻射電磁波的原因是什麼。這裡我們必須提一下 Maxwell 方程組。我們關於電磁波的所有重要知識 (其中也包含光學)，基本上都是根據 Maxwell 方程組所得到的。根據這個方程組，可以推論出以下結論：作為電磁波源 (sources) 的電荷分布 (charge distribution) 或電流分布 (current distribution) 必須在時間上有變化，才會輻射電磁波。根據這個結果，就不難理解為何點電荷作圓周運動會輻射電磁波，而帶電圓環的等角速度轉動卻不會輻射了。前者的電荷與電流都是「跟著電荷走」的，因此電荷密度與電流密度在空間上分布的確是隨時間變化的，而後者卻是穩定不變的。這也給出了直流電 (穩定電流) 不輻射電磁波的理由。或許會有讀者挑戰這裡的說法，說：「等速運動的點電荷也具有隨時間變化的電荷密度與電流密度」，那麼它們為什麼不輻射電磁波？這的確不是一個很容易回答的問題。我能夠想到的最簡單說法，就是「對於等速運動的情形，總是能找到一個慣性坐標系，在其中這個電荷是靜止不動的，因此它的四周只有靜電場，連磁場也沒有，當然就不會輻射電磁波了」。
現在讓我們回到原子穩定性的問題。想想為何在穩定態 (stationary state) 的原子不會輻射電磁波？這就要從原子中的電荷密度與電流密度是什麼說起了。根據量子力學的官方詮釋 (哥本哈根詮釋)，粒子在量子世界裡是沒有運動軌跡的，只有一個由波函數所給出的機率分布，定義出所謂的電子軌域。根據波函數，可以計算電子出現在任意位置的機率密度 (probability density) 與機率流密度 (probability current density)，而這兩個量乘以電子電荷分別就是電荷密度與電流密度。對於穩定態，這兩者都是不隨時間變化的定值，因此由它們所給出的電磁場就只能是不隨時間改變的靜電場與靜磁場了。這就解釋了原子為何可以穩定存在。
作者：欒丕綱
國立中央大學 光電科學與工程學系 副教授