牛頓力學被推翻了嗎？談談物理定律的適用範圍

二十世紀的前三十年，是物理發展大爆發的年代。相對論與量子力學的相繼提出，大大改變了物理學的面貌，使得人們對於時空、因果律、隨機性的看法都發生了根本的改變。從二十世紀前半到現在，固態物理、高能物理、半導體物理、光電科技、奈米科技，與能源科技的發展，以及正在如火如荼發展中的量子資訊科技，或多或少都牽涉到量子力學的應用。而核能科技、宇宙學研究、重力波偵 測、科幻電影 (例如星際效應 interstellar) 中關於黑洞與蟲洞 (blackhole and wormhole) 的物理特性模擬，以及日常生活中不可或缺的全球定位系統 (Global Positioning System, GPS)，都可算是相對論的應用。生活在這樣一個高科技的時代，再加上許多名人對於新物理的偉大成就的廣泛宣傳，一般人或許會逐漸相信新物理已經完全取代了舊物理，因此不需要學習已被淘汰的舊物理，只要學習新的就好。在一些內容牽扯到相對論或量子力學的Youtube 影片 (它們未必是科普影片) 裡，常常有“相對論推翻了牛頓力學”的說法。在一些上世紀的科普書裡，類似的敘述也很常見。然而，這樣的說法究竟對不對呢？

在回答這個問題之前，讓我們首先比較一下新舊理論對同一個物理現象的數據描述有多大的差異，以及這個差異是否重要。以牛頓力學跟狹義相對論比較，雖然他們給出的時空觀很不一樣，物理公式的模樣也有許多差異，但它們在物體的運動速度 \(v\) 遠小於光速 \(c\) 時對同一個物理量會給出幾乎一樣的結果，差別僅在 \((v/c)^2\) 的等級。假設我們追求的精確度要求這個偏差在百萬分之一 (\(10^{-6}\)) 以下，那麼在速度 \(v \leqslant 0.001c \approx 300 \hspace{1mm}\rm km/s\) 以下時都沒有必要使用相對論。這個速度上限大約是 900 馬赫，遠遠超過人類飛行器、流星，與太陽系內星體的運動速度。因此，除非是對精確度有更高的要求，或是誤差會隨時間不斷累積 (例如 GPS、水星軌道的近日點進動)，或是此差異因乘上某些巨大的係數 (例如庫倫常數) 而成為另一種可觀測的物理量，否則是不必考慮相對論的。事實上，磁力作為靜電力的相對論效應就是後一種情況：一個截面積 \(1 \hspace{1mm}\rm mm^2\) 的銅製導線中若通過 \(10 \rm Amp\) 電流，對應的電荷漂移速度其實只有 \(0.6 \hspace{1mm}\rm mm/s\)，但磁力的存在卻是很顯而易見的。這或許是最令人印象深刻的低速相對論效應了。除了以上所提到的這幾種情況外，在處理其它低速物體運動相關的物理現象時，相對論並不需要被認真考慮。

將牛頓力學跟量子力學相比就更有趣了。根據量子力學，物體的位置與動量各有一個不確定度 (uncertainty)，它們的乘積大約等於普朗克常數 (Planck’s constant)。對於原子中的電子而言，位置的不確定度與其物質波 (matter wave) 的波長同等級，而這個尺度恰好大約是原子的大小。所以，若採用波模態 (wave modes) 的觀點，並配合能量與頻率的正比關係 \(E=h\nu=\hbar \omega\)，就能夠很好地解釋由薛丁格方程式解出的電子軌域 (electron orbital) 型態。對於一個像地球這麼大質量的物體，它的位置不確定度有多大呢？根據天文學的資料，地球質量大約是 \(M\)_地球\(=5.97 \times 10^{24} \hspace{1mm}\rm kg\)，而它繞行太陽的速度大約是 \(v\)_地球\(=3 \times 10^{4} \hspace{1mm}\rm m/s\)，所以相對於太陽的動量是 \(p\)_地球\(=1.8 \times 10^{29} \hspace{1mm}\rm kg \cdot m/s\)。代入物質波的波長公式 \(\lambda = h/p\) 就得到 \( \lambda\)_地球\(=3.7 \times 10^{-63} \hspace{1mm}\textrm{m}=3.7 \times 10^{-54} \hspace{1mm} \textrm{nm}\)。前面說過，位置的不確定度跟物質波波長在同一等級，所以因量子力學原因而導致的地球位置的不確定度就是 \(10^{-54} \hspace{1mm} \textrm{nm}\) 的等級，而這是一個人類科技到目前為止根本不可能量到的長度！如果把地球的運動軌跡由一條數學上的理想曲線換成一根粗細等於位置不確定度的管子，那麼由於這根管子實在太細了，所以它與理想的曲線的區別在實際的觀測中是顯現不出來的。因此，在星體運動的問題上，沒有考慮量子力學描述的必要性。

讀者或許會覺得星體的質量太大了，不必使用量子力學是很顯然的。為了進一步探究牛頓力學的適用範圍，讓我們考慮一個直徑 1 微米 ( \(1 \hspace{1mm} \rm \mu m\) ) 的水滴，以每秒1公分 (\(1\rm cm/s \)) 的速度移動。根據此數據可計算出水滴的動量是 \(p=5.24 \times 10^{-18} \hspace{1mm} \rm m/s\)，對應的物質波波長為 \(\lambda = 1.3 \times 10^{-16} \hspace{1mm} \textrm{m}=1.3 \times 10^{-7}\hspace{1mm} \textrm{nm}\)，遠小於水滴直徑，因此其位置不確定度也是遠小於此水滴直徑與路徑尺度。所以，大至星體，小至微米尺度的小顆粒，當我們探討的只是它們的運動問題時，是不需要使用量子力學的。不過，若研究的是這個微米水滴的表面張力，或是它的化學性質，量子力學通常就需要被考慮。

從以上這些簡單的估算可以看出來，雖然相對論與量子力學是現代物理的兩大基石，是基本物理定律必須符合的框架，但並不是使用了它們就一定可以更好的幫我們解決問題或了解物理現象的細節。很多時候它們對問題的解決沒有實質幫助，卻要耗費更多的計算資源。如果把這兩個理論比喻為“牛刀”那麼物理學家通常在解決問題時，並不會直接使用這兩把牛刀，而是靈活地運用各種較輕便好用的工具刀，再看看是否有需要加上來自相對論與量子力學的小幅度修正。那些需要考慮的修正通常會以某種“修正項”的型態結合到舊理論的框架裡，而幫助我們更好的解決問題。

 在不直接牽涉相對論與量子力學的物理問題裡，也可能因為問題的性質不同而採用不同的理論工具。以光學為例，若只是要簡單處理光線經過不同透明介質的折射行為，那麼只要使用幾何光學 (geometric optics) 就夠了。根據幾何光學的費馬原理 (Fermat’s principle)，從光源到觀察點，光線會走一條時間最短的路徑。從這個原理可以推導出光線折射的司乃爾定律 (Snell’s law) 與鏡子對光線的反射定律，也可以導出各種透鏡公式。在這種處理方式下，不需要理會光的波動特性，也不需要追究費馬原理的物理根源。不過，當遇到光的干涉 (interference) 與繞射 (diffraction) 問題時，幾何光學就無能為力了。此時光的波動性要被認真對待。利用波的疊加原理 (superposition principle)，就可以對光的各種波動現象給出可被實驗驗證的結果，也可以對費馬原理給出一個基於波相位的合理的解釋 (詳情可參考去年的專欄文 <因果律與極值原理—漫談哈密頓原理的量子力學根源>)。幾何光學適用於光波長遠小於光在行進的過程中所遇到的各種結構 (例如透鏡) 的特徵尺寸 (透鏡厚度，兩光學元件間的距離…等) 的情況，此時光線路徑就像是古典力學中的粒子軌跡，而改變光線傳播方向的各種手段就像是作用力或位能變化。當上述條件不完全成立的時候--例如光通過光學薄膜 (optical thin film) 或光柵 (grating)，波動性就變得重要，不考慮光的波動性就無法對物理現象給出合理的解釋與預測。更進一步，當要處理的光學現象與光的偏振 (polarization) 有關時 -- 例如方解石 (calcite) 晶體對光的雙折射 (birefringence) 或偏振片 (polarizer) 對光的濾波效應，這時只考慮波動性也不夠了，還必須知道光波其實是電磁波 (electromagnetic waves)。在處理奈米光學 (nano-optics) 的問題時 – 例如光子晶體 (photonics crystals) ，除了必須完整使用整套馬克斯威方程組 (Maxwell’s equations) 之外，對於系統的各種邊界條件 (boundary conditions) 也必須仔細照顧到，否則會得出錯誤甚至是荒謬的結果。不過，在上述提到的各個情況中，關於光是不是由光子組成，以及光子帶有多少能量與動量，都是不相關的。

在前一段提到的各種光學現象中，光在一個特定介質 (例如水或玻璃) 中的傳播行為可以藉著知道介質的折射率 (refractive index) 而預測出來。能這樣做的理由是因為折射率其實不是一個基本物理量，而是一個平均效應。當可見光在介質中傳播時，由於其波長是數百奈米 (約 \(350 \hspace{1mm} \textrm{nm} \sim 850\hspace{1mm} \textrm{nm}\) )，遠遠大於原子/離子間距 (小於 \(1 \hspace{1mm} \textrm{nm}\)) ，光波在介質中 “感受” 到的只是波長範圍內大量原子/離子的平均反應，而 “感受不到” 原子分布的 “顆粒狀”。所以，在這種情況下，使用那個對應於 “原子平均反應” 的折射率就足以給出相當正確的結果。若我們考慮的是波長落在晶體原子間距範圍的 X 光，折射率概念就不再適用了。此時X 光可以 “感受” 到原子分布的周期性，而晶體原子陣列就扮演著三維光柵的角色，使 X 光發生繞射現象，這就是所謂的布拉格繞射 (Bragg diffraction)。

上兩段所提到的光學現象，其解釋都不需要考慮光是由光子組成的。不過，在黑體輻射 (black body radiation) 問題裡，關於光子存在的暗示就出現了。到了光電效應 (photoelectric effect) 現象，以光子解釋的必要性就很明顯了。到了康普頓效應 (Compton effect)，不僅要假設光子的存在，被光子擊中的電子的動量與能量關係還必須採用相對論性的計算公式，才能給出正確的結果。

回到關於牛頓力學是否已被推翻的問題。經過以上的解釋，相信讀者都已了解：新舊理論之間的關係，並不像拆掉老舊的房子，蓋起一棟新大樓，從此不再與老房子有關。我認為它們更像是精密程度不同的工具，可以視情況替換使用。當處理某些問題，並不需要極高的精密度時，我們就可以使用較粗糙但是方便使用的舊工具，而不是非用新的不可。以這種意義而言，牛頓力學並不是被推翻了，而是我們對於它的適用範圍有了更清楚的認識。可以預期，將來會出現新理論取代相對論與量子力學，那時我們就會知道它們的使用範圍要受到什麼限制。有些時候，人們甚至會暫時犧牲新理論的某些普遍性，並讓它與舊理論的方程式相結合，以建構出某種好用的模型。例如在電漿光子學 (plasmonics) 與超穎材料 (metamaterials) 研究中常被使用的 Drude 模型 (Drude model)，就是利用牛頓第二運動定律計算電荷在電磁場作用下的運動，並根據此運動計算出極化電流 (polarization current)，再代入馬克斯威方程組中，就可以相當好的解釋光在金屬與超穎材料中的傳播行為。在這種做法中，馬克斯威方程組所描述的電磁場是否具有相對論所要求的羅倫茲協變性 (Lorentz invariance)，是沒有考慮的。這是因為在這個模型適用的場合中，電荷的移動速度都是遠小於光速的，所以沒有必要為了追求羅倫茲協變性而讓模型過度的複雜化。研究者只在意如何在 “介質參考系” 中處理問題，而把如何將理論擴展成具有羅倫茲協變性的問題留給將來。