萬有引力的平方反比形式與克卜勒行星運動三大定律
- 皮皮老師的物理心得
- 撰文者：欒丕綱（國立中央大學光電科學與工程學系）
- 發文日期：2022-02-01
- 點閱次數：21503
在高中物理課程裡有關萬有引力的單元中，通常都會介紹克卜勒行星運動三大定律，具體內容可敘述如下。第一定律：行星繞太陽運動的軌跡是橢圓，而太陽位於橢圓的一個焦點。第二定律:太陽與行星連線在單位時間內掃過的面積是定值。第三定律：行星繞太陽的週期的二次方，正比於橢圓半長軸的三次方。如果會解微分方程式，那麼只要根據牛頓的萬有引力定律與第二運動定律寫出運動方程式，然後解這些方程式就可以將克卜勒的這三個定律都證明出來。不過，在高中階段，多數同學還沒有解微分方程式的相關知識與經驗，所以這種分析方法的困難度偏高。
在軌道是圓形的特殊情況下，克卜勒第二定律顯然是成立的，而第三定律可以藉著將太陽對行星的引力視為圓周運動的向心力而很簡單地推導出來。這樣只講特例的處理方式或許很難令求知慾較強的同學滿意。為了滿足同學們的好奇心，在這一期的專欄裡，我將利用基本的物理知識與少量一階導數的計算，推導出這三個行星運動定律。要理解以下的內容，讀者只需要知道極座標之下的橢圓方程式，以及一些基本的微分 (導數) 知識，但並不需要熟悉二階線性常微分方程式的基本解法。
雖然在以前的專欄文章中曾分析過為何力場比超距作用力更合理，但在這篇文章中，我們將暫且假定萬有引力是超距力，是連心力 (central force)，作用在兩個粒子的連線上，且作用力強度跟時間無關，只跟距離的平方成反比，寫成
$$ \vec{F} = - \frac{\alpha}{r^2} \hat{r} \hspace{2cm} (1)$$
此處 \(\alpha = GMm\)，\(G = 6.67 \times 10^{-11} \hspace{2mm} \rm m^3kg^{-1}s^{-2}\) 是重力常數 (萬有引力常數)，\(M\) 是位於力心 (force center) 那個粒子 (太陽) 的質量，而 \(m\) 是被作用的那個運動粒子 (行星) 的質量。由於太陽質量遠大於行星質量，即 \(M \gg m\)，可假設力心不動，固定於座標原點。粒子的位置向量為 \(\vec{r}\)，粒子與力心之間的距離為 \(r=| \vec{r} |\)，而 \(\hat{r}= \frac{\vec{r}}{r}\) 表示 \(\vec{r}\) 方向的單位向量，負號代表此作用力是吸引力。在這些假設下，可以定義位能為
$$ U(\vec{r}) = - \int_{\infty}^{\vec{r}} \vec{F} (\vec{r}') \cdot d \vec{r}' =-\frac{\alpha}{r}\hspace{2cm} (2)$$
在此定義中，無窮遠處的位能被設定為 0，因此在 \(r\) 有限的範圍內位能都是負的。設粒子 (行星) 速度為 \(\vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt}\)，可知粒子具有動量為 \(\vec{p} = m \vec{v}\)。根據牛頓第二運動定律 \(\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt}\) (力是動量變化率)， 可寫下運動方程式
$$ m \frac{d \vec{v}}{dt} = - \frac{\alpha}{r^2} \hat{r} \hspace{2cm} (3)$$
由牛頓第二定律可推得力矩是角動量的變化率，即 \( \vec{N} = \frac{d \vec{L}}{dt}\)，其中 \(\vec{N} = \vec{r} \times \vec{F}\) 是力矩，而 \(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}\) 是角動量。由於 (1) 中的 \(\vec{F}\) 平行於 \(\vec{r}\) ，故知力矩 \(\vec{N} = 0\)，這表示角動量 \(\vec{L}\) 在連心力系統中不會隨時間改變，為一守恆量。
將 \(\vec{L}\) 的指向設為 \(z\) 軸方向，粒子的位置就可以用 \(xy\) 平面的極座標 \( (r, \theta) \) 描述。此時角動量的大小就是\( L = |\vec{L}| = |m \vec{r} \times \vec{v}| = mrv_{\theta} = mr^2 \dot{\theta}\)。此處 \(\dot{\theta}=\frac{d \theta}{dt} = \frac{v_{\theta}}{r}\) 為粒子運動的瞬時角速度，而 \(v_{\theta} = r \dot{\theta}\) 是速度 \(\vec{v}\) 在角度增加方向的分量。根據此結果，可知位置向量 \(\vec{r}\) 掃過的面積之時變率 \( \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \mid \vec{r} \times \frac{d \vec{r}}{dt}\mid = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta}\) 也是一個定值，即
\(\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \dot{\theta} = \frac{L}{2m} =\)守恆量 (4)
方程式 (4) 即是克卜勒第二定律，它等價於角動量守恆。
若以 \(\vec{v} = \frac{d \vec{r}}{dt}\) 與 (3) 式做內積運算，就會得到 \(\frac{d}{dt} \left( \frac{mv^2}{2} - \frac{\alpha}{r}\right) =\frac{dE}{dt} = 0\)，即力學能 (mechanical energy) \( E= \frac{mv^2}{2} - \frac{\alpha}{r} \) 守恆，寫成：
\(E = \frac{m}{2} \left( v^2_r+v^2_{\theta} \right) - \frac{\alpha}{r} = \frac{m}{2} \left( \dot{r}^2+r^2 \dot{\theta}^2 \right) -\frac{\alpha}{r} =\)守恆力學能 (5)
其中 \( \dot{r} =\frac{dr}{dt} = v_r\) 是徑向速度，即速度 \(\vec{v}\) 在 \(\vec{r}\) 方向上的分量。
根據基本關係式 \( \frac{\dot{r}}{\dot{\theta}} = \frac{\dot{r} dt}{\dot{\theta} dt} = \frac{dr}{d \theta}\) 以及 (4) 式給出的關係式 \(r^2 \dot{\theta} = \frac{L}{m} =\)常數，可以從動能項 \( \frac{m}{2}( \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2)\) 中提出因子 \(r^4 \dot{\theta}^2 = \left( \frac{L}{m} \right)^2\)，而將 (5) 式改寫為
$$E = \frac{m}{2} r^4 \dot{\theta^2} \left( \frac{\dot{r}^2}{r^4 \dot{\theta}^2} +\frac{1}{r^2} \right) -\frac{\alpha}{r} = \frac{L^2}{2m} \left[ \left( \frac{1}{r^2} \frac{dr}{d \theta} \right)^2 +\frac{1}{r^2} \right] - \frac{\alpha}{r}\hspace{2cm} (6)$$
利用\(\frac{1}{r^2} \frac{dr}{d \theta}=- \frac{d}{d \theta}\left( \frac{1}{r} \right) \)，可知 (6) 式第二個等號後的每一項都是對 \(\frac{1}{r}\) 的運算，因此很自然地，可令 \(u = \frac{1}{r}\)，而將 (6) 式改寫為
$$ \left( \frac{du}{d \theta} \right)^2 + \left( u-\frac{m \alpha}{L^2} \right)^2 = \frac{2mE}{L^2} + \frac{m^2 \alpha^2}{L^2} = \left( \frac{m \alpha}{L^2} \right)^2 \left( 1+\frac{2EL^2}{m \alpha^2} \right) \hspace{2cm} (7)$$
此方程式左端是兩個平方項的和，右端是一個常數，具有 \( \sin^2 θ+ \cos^2 θ=1 \) 的形式；再比較關係式 \( \frac{d}{dθ} ( ±\cosθ+c )=∓\sinθ \) (此處為 \(c\) 一常數)，就可寫下 \(u\)：
$$ u= \frac{1}{r} =\left( \frac{mα}{L^2} \right) \left[ 1+ \sqrt{1+ \frac{2E L^2}{m α^2}} \cos( θ− θ_0 ) \right] \hspace{2cm} (8)$$
定義兩個量：
$$ d= \frac{L^2}{mα} , \hspace{2cm} ε=\sqrt{ 1+ \frac{2E L^2}{m α^2}} \hspace{2cm} (9)$$
且選擇座標軸向使 \( \theta_0 = 0\)，就得到橢圓方程式
$$ \frac{d}{r} =1+ε\cosθ \hspace{2cm} (10)$$
讀者可以很容易看出 \( ε\) 是橢圓的離心率， \(d\) 是半正焦弦長，而 (10) 式就是克卜勒行星運動第一定律。
從上述結果可以推得橢圓的半長軸 與半短軸 為
$$ a= \frac{d}{1− ε^2} = \frac{α}{ 2| E |} , \hspace{2cm} b= \frac{d}{\sqrt{1− ε^2}} = \frac{L}{\sqrt{2m| E |}} \hspace{2cm} (11)$$
此處用到了束縛態 (bound state) 的條件，即 \( E=−| E |=− \frac{α}{2a} \)
\(A\)橢圓 \( =π ab \) \(= \frac{π αL}{\sqrt{m}} | 2E |^{−3/2} \) \(= \frac{π L}{\sqrt{mα}} a^{3/2} \) (12)
再根據 (4) 式，就得到行星繞日週期 \(T\)為
$$ T= \frac{A}{( L/2m )} =2π \sqrt{\frac{m}{α}} a^{3/2} = \frac{2π a^{3/2}}{\sqrt{GM}} \hspace{2cm}(13)$$
將 (13) 平方，就得到克卜勒行星運動第三定律：
$$ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4 π^2}{GM} \hspace{2cm} (14)$$
在前面的所有推導中，我們都假定系統處於束縛態，動能不足以將行星送至無窮遠，因此有總力學能 \(E<0\)，這就導致了離心率 \(ε <1\)，因而得到行星軌跡是橢圓的結論。若總力學能 \(E=0\)，雖然克卜勒第二定律依然正確，但此時離心率 \(ε =1\)，行星軌跡是拋物線。此時運轉週期變成無窮大，而且沒有對應的克卜勒第三定律了。若行星動能再大一些，就會成為非束縛態了。此時總力學能是正值，即 \(E>0\)，且離心率 \(ε >1\)，軌跡變成雙曲線，而所謂的「行星」也不再是行星，而是只來一次，就永遠離開太陽系的星體。順帶一提，若平方反比型連心力為斥力—像拉賽福散射中的金原子核與阿爾法粒子 (α-particle) 之間的庫倫斥力那樣，系統的總力學能就會永遠是正的。此時 (1) 式要改成
$$ \vec{F}= \frac{β}{r^2} \hat{r}\hspace{2cm} (15)$$
其中 \( β= K_e Qq \) ， \( K_e =8.99× 10 9 \rm kg⋅ m^3 s^{−2} C^{−2} \) 是庫倫常數，而 \(Q\) 與 \(q\) 分別是力心粒子 (金原子核) 與受力粒子 (阿爾法粒子) 的電荷。使用 (15) 式並依照 (1) 至 (14) 的步驟計算將會得到 \( ε> 0\) 的雙曲線型的軌跡，但軌跡方程式與 (10) 式的形式略有不同，要將 (10) 式等號右方的 1 換成 -1 才對。
上述關於束縛態具有封閉軌跡 (橢圓) 以及非束縛態具有開放軌跡 (拋物線或雙曲線) 的結論，也能在量子系統中找到對應的結論。氫原子的束縛態能譜具有離散的能階，但散射態或游離態的能譜則是連續的，這個現象有很直觀的解釋。在束縛態的情況，電子總能量為負值，因此電子的波函數只有在圍繞原子核附近有限區域是明顯不為 0，一旦遠離此區域就迅速降為 0，這相當於機率波被裝在一個隱形的箱子裡，使自己與自己發生干涉。由於機率波散布於三維空間，因此這個干涉效應產生了穩定的節線與節面，形成各種軌域圖樣，各有不同的振動頻率 \(\nu\)，因而根據普朗克關係式 \(E = h \nu\) 也就有各種能量。從一種軌域圖樣變為另一種是不連續的變化，這表示它們對應的能量只能跳躍式的變化。這就解釋了束縛態能階的離散性。在散射態或游離態的情況，由於波函數不需要在空間中形成小範圍內的穩定干涉圖樣，這就使得能譜可以連續變化。
延伸閱讀：