亂中有序：從自旋玻璃到神經網絡

你是否有時被人際關係搞到一個頭兩個大，覺得這個世界怎麼如此複雜呢？啊哈～你並不寂寞，科學家長年以往也被複雜系統搞到一個頭兩個大，很拿抓到適當的切入點，給出客觀具體的描述。今年諾貝爾物理奬開盤，正是頒給研究複雜系統 (complex systems) 的科學家：一半是由研究大氣模型且準確全球暖化的真鍋淑郎 (Syukuro Manabe)、哈塞曼 (Klaus Hasselmann) 所共享，另一半則是由帕里西 (Giorgio Parisi) 研究各個尺度下的無序與漲落所拿下。

你不需要是科學家，也可以理解地球大氣是複雜系統，能夠建構適切的模型，並且準確預測全球暖化，真的是很了不起的成就。但是複雜系統的「無序」與「漲落」是什麼啊？每個字眼都讀得懂，但是完全抓不住其精髓所在。讓我們試著先用直觀來理解複雜系統：在桌面上鬆散放置一堆小圓盤，若是在邊界施力壓縮，小圓盤會彼此靠近，但每次壓縮都不見得會重現相同的排列樣態。然而仔細瞧過可以發現，小圓盤的排列也不是全然隨機，似乎還是有一些規律可循：有點亂又不是太亂，正是複雜系統的特性。

資料來源/諾貝爾官網

許多人誤以為，只要系統由許多微小的粒子組成，應該就算是複雜系統吧？其實不然，像日常生活中常吃的食鹽，也是由許多鈉離子與氯離子組成的，但由於這些離子規律排列形成晶體，科學上還算容易描述，不算是複雜系統。跳到天平的另一端來看，平常呼吸的空氣總是夠亂了吧？但由於氣體分子的運動狀態夠亂夠隨機，其機率分布穩定，因此也還在科學家的掌握之中。但若是介於十分規律與完全隨機之間，處於有點亂又不是太亂的尷尬樣態，這就是複雜系統了，而該如何定量精確描述確實是一大挑戰。

先來講講前半個諾貝爾獎的研究。在1960年代，如下圖所示，真鍋淑郎試圖建構合理的大氣模型。由於地球大氣變化非常複雜，要能找到適當的切入點，才能有所突破。真鍋將大氣在地球各處的變動取平均，先針對一個大氣柱的垂直變化進行研究。首先是輻射平衡，地面吸收太陽光後放出紅外線輻射，部分加熱地面與地表附近大氣，其餘熱輻射則逸散至外太空。再來則是大氣的垂直對流。由於地表附近熱輻射會產生溫度梯度，加上冷熱空氣的密度不同，熱空氣上升、冷空氣下降，驅動大氣在垂直方向上的對流運動。而水氣在對流過程中，因為溫度壓力不同，藉由液氣狀態間轉換而產生潛熱，加入這個能量轉換的複雜遊戲。

以現在的角度來看，真鍋模型忽略掉許多真實考量，實在是有點陽春。但這是我們第一次得以定量描述大氣溫度，真鍋利用電腦進行數值計算，發現只要二氧化碳濃度上升一點點，大氣均溫就會隨之上升，點出溫室氣體在氣候變遷的重要性。真鍋結合建模與數值分析的技巧，得以定量描述二氧化碳濃度對於大氣均溫的影響，這是重大的突破。

立基於真鍋模型的結果，哈塞曼接過棒子，在1970年代進一步優化大氣模型。他將地表附近的大氣切分成許多小塊，利用數值方法模擬每個區塊的物理特性，成功地建立天氣與氣候的連結。正是如此，哈塞曼可以系統性地區分天然與人為的因子，確認全球暖化是因為人為活動所造成。

舉例來說，若是以1900-1950的大氣均溫為基準，我們該如何解讀與詮釋觀測資料 (黑線) 呢？或許有人會懷疑，每年均溫起起伏伏的，沒辦法指出地球正在發燒吧！哈哈～哈塞曼可以跟你說這是錯誤的推論。若是僅加入如火山爆發等自然因素，大氣均溫雖有起伏，但只是在基準線附近徘徊。只有同時加入自然與人為因素後，模擬所得的均溫曲線 (橘線) 才會與觀測資料吻合。從真鍋到哈塞曼，許多人投入大氣科學研究，經過嚴謹客觀的科學分析，證實了地球暖化的現況，更確認了自工業革命以來，人為因素對此有重要的影響。

有些懷疑論者可能還是不相信：若是科學家無法精確預測每一天的天氣，那怎麼能夠對氣候說三道四呢？畢竟氣候是天氣一天一天累計出來的結果，不是嗎？這樣的迷思來自對於複雜系統的誤解。回覆這樣的質疑可以非常紓壓，上網搜尋椋鳥群飛的影片，可以找到成千上萬的椋鳥群在天空特技表演。若只觀察每一隻椋鳥的軌跡，並不遵循特定隊形，看似任意改變飛行方向，並不容易預測。但整個鳥群在空中飛翔時，整體保持群飛而不分散，幾乎沒有掉隊的椋鳥，就像是在天空飛翔的精靈，變幻莫測卻又有跡可循。椋鳥群飛的樣態，可藉由統計的方式掌握，就好像每日天氣難以預測，但是長期的氣候變遷，卻可以有穩定而可預測的樣態。

wildaboutimages (https://youtu.be/M1Q-EbX6dso)

接著來談談另一半的諾貝爾獎：複雜系統的無序 (disorder) 與漲落 (fluctuation)。研究複雜系統常需要用到統計場論，而今年拿獎的帕里西是這個領域的祖師爺之一。哇～這聽起來十分抽象，讓我們一步一步介紹帕里西到底做了什麼事。

我們先介紹自旋玻璃 (spin glass) 的概念。由於鐵原子的自旋產生磁矩，科學家研究銅鐵合金時發現，這些自旋就像是散布在銅原子晶格的小磁鐵。這些自旋的位置分布凌亂，並沒有特定的規律，而自旋間的交互作用也相當複雜，因此不會朝同一方向乖乖排好。如此有點亂又不是太亂的樣態，讓銅鐵合金具備許多有趣的物理特性，而由於跟玻璃中矽原子的排列有異曲同工之妙，故稱為自旋玻璃。

這麼有挑戰性的複雜系統，物理學家自然不會錯過。要完整解釋這背後的來龍去脈，那真的是三天三夜也說不完，但是我想指出這一切複雜性，主要都是阻挫交互作用 (frustrated interactions) 這個大魔頭搞的鬼。這一切可以從自旋的三角關係說起：若是三個自旋間的交互作用都是鐵磁性，所有的自旋都會朝同一方向排好。大家相親相愛、沒有矛盾，共同形成穩定而有序的基態。

但如果自旋的交互作用是反鐵磁性，兩個自旋偏愛反向排列，這下子就成了難解的三角問題。若是前兩個自旋一上一下，任性地彼此討厭，第三個自旋也不想跟這兩個討厭的傢伙同一陣營，那該怎麼辦呢？無論選擇朝上或是朝下，總是會跟其中一個自旋同向。怎麼上上下下調整這三個自旋，總是會有一對方向相同，無法盡興地討厭彼此，這就是阻挫交互作用的精髓。

你可以掐指算算，三個自旋在阻挫交互作用下，穩態的數量從2個增加到6個：穩態的數量增加，但是穩度變差了。自旋的三角問題當然算不上複雜系統，但當科學家將以上的計算推廣到自旋玻璃 (由許多許多自旋組成) 時，發現具有「許多不怎麼穩定的穩態」，是所有複雜系統的共同特色。因此無序與漲落就成了常態，而深究背後的原因，阻挫交互作用扮演了關鍵性的角色。

要定量描述無序系統不容易，需要深刻的統計工具。以擲硬幣為例，若是正反面出現的機率相同，那結果就完全隨機。但若是正反面出現機率有些微差距：正面機率0.55，反面機率0.45，故事就變得有趣了。雖然無法確切知道下一次出現正面或反面，但只要累積夠多的樣本，即可藉由統計方法逆推，得出正反面機率的差異。這資訊對於短期預測沒有太大效益，卻可以讓長期預測穩操勝算，而這就是「有點亂但不是太亂」的核心特性。

在研究自旋玻璃時，若要計算系統的物理特性，需要對許多不同的穩態進行統計平均，這讓理論計算難上天。就技術面來說，計算統計系統的自由能時，會牽涉到對數函數，其統計平均非常難算。有聰明的理論學者想出解決的方法：複本巧門 (replica trick)，如圖所示，多項式函數在特定極限下，恰好等於對數函數 (有興趣的讀者可以自己試著推導看看喔)。將對數函數寫成多項式函數後，計算次方函數時，只要引入個統計複本，即可計算複雜系統的物理特性。

如果你有點數學血脈的話，可能會擔心這樣的極限等式是否成立，但物理學家先算再說，利用複本巧門可以得到自旋玻璃的物理特性。這一切看起來都很棒，只有一點小小的問題⋯⋯自旋玻璃基態的熵是負值。這下子慘了，負值熵代表用複本巧門得到的基態是不穩定的，但銅鐵合金在實驗室裡穩定的很，顯然計算過程有誤。

當時許多物理學家都試著找出解方，而帕里西在1979年提出複本對稱破缺 (replica symmetry breaking) 的概念，一舉解決這個困難的謎團，成功建構描述自旋玻璃的理論架構。統計場論的計算細節當然很複雜，但概念上或許可以這樣理解：複本巧門引入個統計複本，當時所有人都「假設」這些複本都長得一模一樣，就像圖中灰撲撲的貓，每隻都長得一模一樣，這樣得到的解答具有複本對稱 (replica symmetry)。但帕里西跳脫框架，發現複本巧門並沒有要求複本對稱，那為何要畫蛇添足呢？也就是說，這些統計複本可以像是帶有不同顏色的貓，有些是藍色，有些是綠色。一旦打破複本對稱的迷思，接下來的工作就容易多了，譬如兩隻藍貓之間的關係，就不見得等於藍貓與綠貓的關係。自發性對稱破缺在許多科學領域都扮演重要的角色，帕里西在不疑處有疑，打破多數科學家想當然耳的迷思，是非常令人激賞的突破。

因研究自旋玻璃而衍生的概念與技巧，並非侷限在銅鐵合金，而可以運用到許多複雜系統。物理學家霍普菲爾德 (John Hopfield) 將自旋玻璃的理論架構，運用到神經網絡 (Hopfield neural network) 上，成功解釋大腦記憶的諸多特性。事實上大腦灰質是由許多神經元 (neuron) 細胞所組成，神經元之間的連結稱為突觸 (synapse)，由於神經元間的交互作用也帶有阻挫風味，因此神經網絡也是複雜系統。我們不需要對這些阻挫交互作用感到挫折，因為神經網絡具有許多有點穩卻又不是太穩的樣態，正是我們顯得聰明的要素呢！

阻挫交互作用的存在，讓複雜系統如此複雜。認真活過的人當然知道，人生可是比這些複雜系統更為糾纏難解。我們可沒有什麼複本巧門，來梳爬人與人之間的「阻挫交互作用」，只能拿出點法國風味來安慰自己：

C'est la vie. La vie est dure.

這就是人生。人生很難。

但，既然本質上是阻挫交互作用，反正也沒辦法讓所有人開心滿意，這可是科學家認證過的結論。我就專心做點自己有興趣的事，靜下心、喝口茶，觀賞變幻莫測的椋鳥在絢麗的天空群飛。