「一個不受力的物體會保持等速運動的狀態」是大家耳熟能詳的觀念，基本上大家在國中或高中物理中就學過了。

網路上的物理社團常常會有年輕人問：「為何要學習古典力學？」。這裡所謂的古典力學 (Classical Mechanics)，是指那些量子力學誕生前的力學，包括以下三種型式：牛頓力學 (Newtonian Mechanics)、拉格朗日力學 (Lagrangian Mechanics)，以及哈密頓力學 (Hamiltonian Mechanics)。相對論性力學 (Relativistic Mechanics，符合相對論的力學) 也可以表達為以上三種型式，因此也歸類為古典力學。

封面圖片來源：https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Simple harmonic motion animation.gif簡諧運動 (Simple harmonic motion，簡稱 SHM) 或者稱簡諧振子 (simple harmonic oscillator，簡稱 SHO) ，大概是應用最廣的物理概念了。在力學振動系統、電磁波與聲波系統、LC（電感與電容）電路、分子振動、固體比熱、量子光學 (quantum optics)，甚至是量子場論 (quantum field theory) 與凝態物理 (condensed matter physics)，都可以看到諧振子物理的應用。在高中階段，許多學生還沒有學過微分方程式，所以通常會用其它方法解簡諧振動的問題，通常用的是參考圓 (reference circle)。在量子力學裡解諧振子問題時，則至少有兩種方法。第一種是直接解諧振子問題的薛丁格方程式 (Schrodinger equation)，用的是解微分方程式邊界值問題 (boundary value problem) 的方法。第二種是將位置算符 (position operator) 與動量算符 (momentum operator) 先組合成上升算符 (raising operator) 與下降算符 (lowering operator)，然後藉著此兩算符的對易關係 (commutation relation) 以及「能量必須有最低值」，亦即能量有下邊界 (lower bound) 的條件，用代數方法得出量子化能階 (quantized energy levels)，以及如何藉著上升算符的重複作用，由基態 (ground state) 生成各激發態 (excited states)。一般量子力學教科書在使用上述升降算符解諧振子問題時，並不會特別解釋這兩個算符是怎麼想到的，而是直接寫出它們並推導所需的代數。事實上，量子諧振子的升降算符與古典諧振子的參考圓有非常密切的關聯。此篇文章就來跟讀者分享我對此問題的心得。

封面圖片來源：Schwarzschild-Droste-Lightcone-Diagram.png愛因斯坦在1905 年發表了狹義相對論以及質能等價關係的論文後，並沒有立即著手研究重力的相對論化問題，而是將注意力轉移到量子問題上。作為廣義相對論基礎的等效原理（equivalence principle）是他在1907 年為《放射學和電子學年鑑》寫相對論綜述文章〈關於相對性原理和由此得出的結論〉時提出的探索性概念，之後他對重力問題保持著沉默。1911 年3 月，當他到布拉格查理大學（Charles University）任教之後，重力問題才重新抓住了他的注意力。在布拉格的16個月裡，愛因斯坦發表了11 篇論文，其中有6篇與相對論及重力問題有關。1912 年7 月，他回蘇黎世理工大學擔任教授，並向老同學格羅斯曼（Marcell Grossmann）學習張量（tensor）與黎曼幾何（Riemann geometry）。他們的合作成果是1913 發表的《廣義相對論綱要和引力論》，至此他已採用彎曲時空的理論架構，但是還沒有找到正確的重力場方程式。他在1914 年回德國擔任柏林大學教授，展開了與德國物理學家的高強度合作與競爭，並在1915 年底完成了那個曠世名作—廣義相對論，解開了重力之謎。

最近（2023 年8 月份）大導演諾蘭（Christopher Edward Nolan）的電影《奧本海默》（Oppenheimer）正在熱映中。許多平常較少關注科學議題的朋友們在這陣子也開始對原子彈相關知識變得有點好奇了。在那些關於連鎖反應以及原子彈設計的技術性知識之外，有一個最核心的物理公式與原子彈釋放的能量有關，那就是世人耳熟能詳，而物理學家霍金（Stephen Hawking）在他的科普名著《時間簡史》（A Brief History of Time: From the Big Bang to Black Holes）一書中無論如何都避不掉的物理公式：質能等價關係式（mass-energy equivalence relation）\( E=mc^{2}\)。根據此公式，僅僅1 公克的質量變化，就可以轉換為 \(9\times 10^{13}\)（90 兆焦耳）的能量，大約是22000 噸TNT 炸藥爆炸所釋放的能量，而這就是原子彈的威力如此驚人的主因。不過，原子彈的設計與製造是很複雜的工程問題，其中還牽涉到工程以外的其它問題，所以不是僅僅依據質能等價關係式就可以成功。這也就是為何一般而言，學術界並不會把愛因斯坦視為原子彈的發明者或製造者的原因。

  據說虛數 (imaginary number) 與複數 (complex number) 是數學家為了解三次方程式而發明出來的工具。其實對數學家而言，任何觀念上的發明，只要在邏輯上是自洽的 (self-consistent)，都可以成為數學研究的對象，無所謂存在或不存在。至於在物理學裡，研究的對象都必須有被實驗檢驗的可能性，因此與虛數或複數相關的物理量是否可被觀測，就是不得不考慮的問題。在以前的專欄文《你是物理人還是電機人？談談複數物理量的表達習慣》裡，我們探討的是物理公式中複數表達式的使用習慣與意義，而對複數與虛數究竟在那些具體問題中被使用著墨較少。在此文中，我將進一步聊聊虛數與複數在波動物理與量子力學中具體應用的實例。此篇的複數表達式，將採用「物理人」的慣用法；讀者可以自行參考《你…》文找出對應的「電機人」慣用法。

「能量」（energy）這個詞雖然起源於物理學，但是它就像「時空」，已經悄悄地融入了生活用語之中，成為一個流行用詞了。從前所稱的「朝氣」或「精神」，在現在的廣告詞裡常被稱為「能量」。此外，「能量」也被用來形容情緒或思想。消極或帶有惡意的思想，經常被稱為「負能量」，而一個積極樂觀或是樂於助人的人，則會被形容為很有「正能量」。這些用法雖不至於跟物理上「能量」原來的意義完全無關，但至少有些扭曲與過度簡化，因此常會造成一些誤解。在這一篇文章裡，我將跟大家一起探討物理上所謂的「能量」究竟是什麼。

上次的專欄文章討論了數學對物理的工具性價值，包括：表示物理量的數量、表達不同物理量之間的關係、提供分析工具以解決物理問題… 等等。此外，也說明了同一個物理系統的不同數學描述可能會具有不同的效果：選擇較有效的數學表達方式，可以幫助理解那個物理系統，並做出重要的預測。此外我也提到了數學與物理有不同的目標，因此物理並不能被理解為只是應用數學或數學的應用。在這裡，我將進一步介紹物理學家使用數學的一些具體做法、技巧，與規範。利用這些作法，物理學家就可以借助數學的強大威力，研究各種物理問題，並得到物理上最可能正確的合理答案。

從中學時期開始，相信許多人都會有類似的體驗：物理是數學以外使用數學最多的科目。翻開任何一本物理教科書，很難看到連續兩頁都沒有出現數學公式的情況。大學裡，理工科系的必修科目中，通常都有一定數量的高等數學課程；它們的名字或許叫應用數學、工程數學、物理數學、高等微積分，或是數學分析等等。各系也可能將上述課程各部分內容分別獨立出來，開出像是線性代數、向量分析、複變函數、偏微分方程、群論、微分幾何等課程。理想上，這些數學課程存在的目的是為了幫助學生們在學習物理相關課程前打好必要的數學基礎。不過，經常發生的狀況是：學生們在毫無心理準備的情況下先在物理課裡遭遇到這些令他們有些困惑或害怕的數學，然後才在數學課裡再度學習到它們；許多人因此而有適應不良的痛苦經驗。

在日常生活裡，人們普遍傾向於為事件的發生原因與過程尋找一個唯一合理的劇情，並將此劇情視為真相。「柯南」系列卡通裡的那句「真相只有一個」，反應的或許就是一般人的這種信念。與此對比，物理學雖是一門實證的科學，其內容能被實驗檢驗，或是具有可被實驗檢驗的可能性，但當我們需要解釋物理現象，或是預測物理系統在特定條件下的行為時，那些出現在理論中的物理量，卻往往可以有好幾種不同的選擇。這些不同的選擇其實沒有哪個才正確的問題，但針對特定問題，某種選擇有可能比其它選擇更簡單易懂或更有效率。

在解說狹義相對論的科普影片中，常常會聽到有關「光速不變」的敘述。這是說無論在哪一個慣性系裡測量光在真空中的傳播速率，都會是一樣的，即使轉換到有相對速度的其它慣性系裡也不會改變。這個很反常的結果與一般人的日常生活經驗是如此牴觸，以至於乍聽之下很難讓人接受，而這也間接地影響到許多人對相對論的理解。根據我的印象，科普傳播者在面對「光速為何不會變？」這個問題時，大致上有兩種比較簡單直接的「解釋」方式。第一種方式會說：「這就是實驗的結果，事實就是這麼難以置信但必須接受。」第二種方式是直接搬出「愛因斯坦是天才」，其傳達的意思大概是：「這是愛因斯坦頓悟出來的，他是天才，所以我們沒什麼資格質疑。」對於這個問題，我想在此分享一點自己的見解。願此文能幫助不太熟悉相對論的讀者稍微深入一點了解「光速不變」概念的來源。

物理定律的方程式，通常描述的是各種物理系統在時間與空間中如何演變。在這些方程式中出現的物理量或函數，若不是可以直接測量的，就是它們的效應可以被間接觀測所驗證。在使用這些方程式時，人們有時候會不小心忘記它們的成立是有條件的，而將它們的正確性視為理所當然。然而，實際觀測時，卻往往必須排除各種干擾，在良好的條件下進行實驗。一個光學實驗不太可能在馬車或公車上做，因為那有太多來自振動或是任意加速運動的干擾，使得想被觀測的現象糊成一團。類似地，人們不會期望在一個咖啡杯隨時都可能翻倒的參考系裡能很有把握地預測一顆彈珠的行進軌跡，也不會選擇在一個高速自轉的房間裡總結一個單擺或是諧振子 (Harmonic oscillator) 的一般運動規律。如果可以將上述各種干擾都一一排除，那麼似乎就可以得到一種特別理想的參考系 (frame of reference)，在其中的物理定律可表達成比較簡單清楚的形式。這樣一種理想的參考系或坐標系就是一個慣性參考系 (inertial frame of reference) 或慣性坐標系 (inertial coordinate sysetm)，簡稱慣性系 (inertial frame)。