潘羅斯的奇異點定理
- 物理專文
- 撰文者：溫文鈺
- 發文日期：2021-02-13
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相對論中無可避免的奇異點，既出現在黑洞中心，也曾在大霹靂起點，到底它是怎麼形成的？
2020年諾貝爾物理獎的一半頒予英國牛津大學的羅傑．潘羅斯 (Roger Penrose) 教授，表彰他在廣義相對論的框架下，對黑洞的形成給出嚴謹的數理推導。瑞典皇家學院在提及他眾多的研究當中，特別點名了他在1965年發表的奇異點定理 (Singularity Theorem)，以及與史蒂芬．霍金 (Steven Hawking) 共同發表關於大霹靂奇點的論文。這篇文章就跟讀者介紹奇異點定理及它在物理界帶來的一些影響吧。
測地線：非歐式空間中的最短路徑
歐幾里得〈幾何原本〉中五大公設提到：過任意兩點可連成一直線。進一步在直線上劃上刻度後，便可用來定義距離。利用三角形兩邊和大於第三邊的性質，可以很容易的證明該直線也是兩點間的最短距離。但是上面的論述是在平直的歐氏空間中才成立，如果是在不平直（曲率不為零）的非歐氏空間中，我們必須放棄「直線」的想法，但可以用「最短距離」取而代之，數學上稱為測地線。想像在地球儀上，試著模擬飛機從台北松山機場直飛東京羽田的最短航線，如果將這段航線繼續延伸，你會發現它會經過美國洛杉磯，然後剛好繞地球儀一圈回到台北，數學上稱這個路徑為大圓，因為它的半徑剛好是地球儀的半徑。事實上地球儀上所有的經度線都是大圓，因為他們都通過南北極這兩點。而球面上任意兩點間的最短距離，也都是大圓的一部分（圖一）。
圖一 將台北飛往東京的最短航線延伸可以繞地球一整圈（地球儀圖片出處：微軟Word圖庫）
可是我們所處的時空，除了三維空間外，還有一維時間。平直的時空又被稱作閔可夫斯基空間，而時空中的一點在相對論中被稱作事件。兩事件間的直線距離除了可以是正的（類空，像歐幾里得空間般的），也可以是負的（類時，彼此間可以有因果關係，或是有不變的時序）或是零（類光，可位在同一束光的路徑上）（圖二a）。曲率不為零的彎曲時空中，在連接兩類時事件的類時曲線上劃上刻度[註:類時曲線上通過任一點的切線向量其長度必須小於零（類時的）。]，便可用來定義時間。當此曲線恰好為測地線時，曲線長度會是「最長原時」，與類空測地線恰好相反（圖二b））。然而給你一段在彎曲時空中的類時曲線，要如何知道是否它就是測地線呢？事實上，若是你的運動只有受到重力的影響，你在時空中留下的軌跡自然就是測地線了！
圖二a 時空中的四個事件A、B、C、D。由A（向未來）發射的光，其軌跡會落在紅色虛線的圓錐面上（相對論中稱為光錐）。D在光錐上，因此向量AD是類光的。事件B在光錐內，所以向量AB是類時的，事件A一定發生在事件B之前。事件C在光錐外，所以向量AC是類空，他們之間沒有必然的因果關係。這裡我們忽略Z的方向，只畫出二維的空間與一維的時間。
圖二b平直的時空中兩事件A、B的距離仍可以使用畢達哥拉斯定理
∆s2=-(tA-tB)2+(xA-xB)2+(yA-yB)2+(zA-zB)2，但留意時間項與空間項前相反的正負號。若是向量AB、AB’、BB’都是類時，向量AC、AC’、CC’都是類空。類空的三角形關係AC+CC’>AC’顯示直線是最短距離，但是類時的三角形關係AB+BB’
∆s2=-(tA-tB)2+(xA-xB)2+(yA-yB)2+(zA-zB)2，但留意時間項與空間項前相反的正負號。若是向量AB、AB’、BB’都是類時，向量AC、AC’、CC’都是類空。類空的三角形關係AC+CC’>AC’顯示直線是最短距離，但是類時的三角形關係AB+BB’
仔細想想，這不就是牛頓第一運動定律【物體在不受外力下，作等速直線運動】的相對論版本嗎？重力與彎曲的時空是一體的兩面，因此第一定律中的外力就必須排除重力這個選項（別忘了除了重力外，大自然中還存在著電磁力、弱作用力及強作用力），而在非歐氏的彎曲時空中則要用測地線來取代直線的觀念。所以下次當你去六福村遊樂園乘坐大怒神，自高空中自由落下的瞬間，就可以體驗一下沿著測地線運動的滋味。在你周遭的其他物體都沿著各自的類時曲線前進，對於時間增加的方向（未來）大都有共識，可是對於位在遙遠處的物體，它們所在測地線上的時刻是否朝同一個方向增加就不一定了。在數學上是可以刻意構造出一個莫比烏斯帶 (Möbius strip) 的封閉時空。在環遊世界一周後，過去與未來被翻轉而無法確切的去定義時間方向）（圖三a）。
圖三a 如果二維的時空具有莫比烏斯帶的拓樸結構，沿著x方向繞一圈回到原點，未來（紅色t增加的方向）變成了過去（黑色t減少的方向）。因此這個時空沒有明確的時間方向。（莫比烏斯帶圖片出處：Wolfram MathWorld）
圖三b歌德宇宙（Gödel universe）是一個持續轉動的相對論解，離轉軸愈遠的光錐傾斜越大。當傾斜角度達到90度時，最終形成封閉的類時迴圈（圖中的紅圈）。從原點出發循著特定的類時測地線，有機會作時空旅行回到過去。為了表示光錐的方向，圖中省略了z軸，而以t軸取代。
愛因斯坦場方程式：曲率與質能的等價
狹義相對論中，靜止質量與能量藉由E=mc2劃上等號。而在廣義相對論中，愛因斯坦進一步將時空曲率與能量密度聯繫起來：所謂的物體的質能分布告訴所在的時空如何彎曲，同時彎曲的時空告訴物體如何運動。你可以藉由騎自行車的經驗來了解一維的曲率。當你轉彎時，輪子滾動的路線是一段偏離直線的弧長。轉彎的幅度越大，偏離的程度越嚴重，表示曲線的曲率也跟著越大。現在假想你與朋友正各自沿著相鄰的類時測地線前進，同時測量周遭的彎曲空間如何偏離歐幾里得空間。你可以效仿數學家高斯，在你們身邊選取三條類地測地線構成一個「三角形」，測量內角和與π的差距（圖四a）。或者採取黎曼幾何學的方法，任取一向量，繞著你們轉一圈，但在移動的過程中，要保持向量與迴圈上的切線之間的夾角不變，若是迴圈內的面積不平直，向量回到原處後會偏離原來的方向。這個偏轉的角度反映了該處的瑞奇曲率 (Ricci curvature)。愛因斯坦方程式則進一步告訴你，這個曲率與該處的能量密度成正比（圖四b）。
圖四a 在球面、雙曲面、及平面上以測地線作為三角形的三邊，內角和α+β+γ分別大於，小於，及等於。（曲面以Mathematica數學軟體繪製）
瑞察杜里方程式：測地線的聚散
就在愛因斯坦於1955年過世後的隔月，印度物理學家阿瑪．庫瑪．瑞察杜里 (Amal Kumar Raychaudhuri) 發表的一篇論文，為相對論帶進了新的里程碑，也為潘羅斯的奇異點定理鋪路。瑞察杜里的方程式描述了空間的曲率如何影響理想流體的運動，包括流體截面積的擴張 (expansion)、變形 (shear)、與轉動 (rotation) （圖五）。特別是當擴張為負值時，會使得相鄰的類時曲線互相靠近，好比凸透鏡可以將光線聚集起來。根據愛因斯坦方程式，這個由負的瑞奇曲率引起的聚焦效應 (focusing effect) 也是因為正能量的關係，所以又被稱為強能量條件 (strong energy condition)。在滿足強能量條件的情況下，考慮完全球對稱分布的理想流體隨時間的變化，若是原本的擴張量小於零，它就會變得越來越負，最終使得流體的能量密度發散 (-∞)。這個形成奇異點的必要條件，分別由瑞察杜里及亞瑟．寇馬 (Arthur Komar) 兩人各自獨立提出來。然而實際上在恆星受到自身重力而塌縮的過程中，由於內部壓力抵抗或是轉動等其他因素，未必會形成擁有奇異點的黑洞。要證明奇異點是相對論中不可避免的產物，還有待十年後潘羅斯給出一個嚴謹且更細緻的證明。
圖五 理想流體裡的粒子運動軌跡可以用一束相鄰的類時測地線表示，其截面積在兩個先後的時刻分別為A與A'。瑞察杜里方程式中描述了A的面積變化（擴張）、形狀的變化（變形）、以及繞軸旋轉（轉動）。
圖六 牛頓大砲的假想實驗: 從高山上V處往水平方向發射砲彈，而砲彈受到地球引力的，往向著地心的方向加速落下。速度小的砲彈落在近處如D或E，而速度大的則落在遠處如F跟G。當速度到達所謂的軌道速度時，砲彈落下的幅度與地表的彎曲相當，使得砲彈在B及A處仍維持與地面一樣的飛行高度，最終繞地球一圈回到V處。比軌道速度稍大的砲彈其運動會是橢圓形的軌跡。速度到達軌道速度的2倍的砲彈，軌跡將會是拋物線而不再繞行地球，這時的速度被稱作逃逸速度。[插圖出自牛頓的<自然哲學的數學原理>]
圖七 潘羅斯在1965年發表的論文中繪出物質塌縮成黑洞的時空圖。當代表恆星物質的類時測地線滿足強能量條件而相互靠近，一旦落入捕獲光面的範圍後，在有限的時間內便會終止於奇異點。對於遠方的觀察著，事件視界外附近的光線將在久遠的未來才能被觀測到，視界內的光線將無法離開，因此奇異點也被隱匿起來。（圖中的S2表示捕獲光面為封閉的二維球面，其內部的體積為三維球B3，而底半徑r=2m的圓柱表面是事件視界在時空中的軌跡。） [插圖出自潘羅斯1965年發表在Physice Review Letters的論文]
圖四b在球面、雙曲面、及平面上將平躺的（切）向量從左上角出發，沿著測地線平行移動，逆時針方向繞三角形一圈後該向量會偏轉。在球面上向量是逆時針轉動，雙曲面上是順時針轉動，而平面上則不會轉動。轉動的角度恰好為α+β+γ-π。
瑞察杜里方程式：測地線的聚散
就在愛因斯坦於1955年過世後的隔月，印度物理學家阿瑪．庫瑪．瑞察杜里 (Amal Kumar Raychaudhuri) 發表的一篇論文，為相對論帶進了新的里程碑，也為潘羅斯的奇異點定理鋪路。瑞察杜里的方程式描述了空間的曲率如何影響理想流體的運動，包括流體截面積的擴張 (expansion)、變形 (shear)、與轉動 (rotation) （圖五）。特別是當擴張為負值時，會使得相鄰的類時曲線互相靠近，好比凸透鏡可以將光線聚集起來。根據愛因斯坦方程式，這個由負的瑞奇曲率引起的聚焦效應 (focusing effect) 也是因為正能量的關係，所以又被稱為強能量條件 (strong energy condition)。在滿足強能量條件的情況下，考慮完全球對稱分布的理想流體隨時間的變化，若是原本的擴張量小於零，它就會變得越來越負，最終使得流體的能量密度發散 (-∞)。這個形成奇異點的必要條件，分別由瑞察杜里及亞瑟．寇馬 (Arthur Komar) 兩人各自獨立提出來。然而實際上在恆星受到自身重力而塌縮的過程中，由於內部壓力抵抗或是轉動等其他因素，未必會形成擁有奇異點的黑洞。要證明奇異點是相對論中不可避免的產物，還有待十年後潘羅斯給出一個嚴謹且更細緻的證明。
圖五 理想流體裡的粒子運動軌跡可以用一束相鄰的類時測地線表示，其截面積在兩個先後的時刻分別為A與A'。瑞察杜里方程式中描述了A的面積變化（擴張）、形狀的變化（變形）、以及繞軸旋轉（轉動）。
只進不出的捕獲光面
西元1957年蘇聯發射了人類史上第一顆人造衛星史普尼克一號，正式開啟了與美國間的太空競賽。要將人造衛星放入軌道需要利用火箭將其載至特定高度並給予一定的速度。軌道速度的計算最早濫觴於艾薩克．牛頓 (Issac Newton) 的一個關於大砲的假想實驗（圖六）。想像位在高山上的超級大砲將砲彈水平射出，忽略空氣阻力，砲彈會以拋物線的軌跡掉落地面。若是速度恰為軌道速度，則砲彈會持續地繞地球飛行。而速度再快便有機會脫離地球的重力，直到無窮遠處才停下來，這個速度被稱為逃逸速度。現在你將砲彈換成一束光射向前方，雖然光子不具質量，但其軌跡（類光測地線）仍會受到重力影響而彎曲。如果質量不變的地球被收縮到某個特定的大小（想像被科幻電影中的縮小光束照到），這會使得逃逸速度與光速相當，而剛才射出的那束光將被地表強大的重力場彎曲而落地。從遠處來的光在靠近地球時，也可能被地球的重力捕獲而無法遠離。宛若在這個縮小地球周圍有個無形的範圍，光線一但跨入就無法離開，在潘羅斯的定理中稱此為捕獲光面 (trapped null surface)。換句話說，若你在獲補光面之外點亮一盞燈，向四面八方輻射的每一束光線沿著各自的測地線前進，彼此互相遠離（瑞察杜里方程式裡的擴張大於零）；當你將這盞燈移到捕獲光面內，這些沿著測地線前進的光線便會彼此靠近（擴張小於零）。
西元1957年蘇聯發射了人類史上第一顆人造衛星史普尼克一號，正式開啟了與美國間的太空競賽。要將人造衛星放入軌道需要利用火箭將其載至特定高度並給予一定的速度。軌道速度的計算最早濫觴於艾薩克．牛頓 (Issac Newton) 的一個關於大砲的假想實驗（圖六）。想像位在高山上的超級大砲將砲彈水平射出，忽略空氣阻力，砲彈會以拋物線的軌跡掉落地面。若是速度恰為軌道速度，則砲彈會持續地繞地球飛行。而速度再快便有機會脫離地球的重力，直到無窮遠處才停下來，這個速度被稱為逃逸速度。現在你將砲彈換成一束光射向前方，雖然光子不具質量，但其軌跡（類光測地線）仍會受到重力影響而彎曲。如果質量不變的地球被收縮到某個特定的大小（想像被科幻電影中的縮小光束照到），這會使得逃逸速度與光速相當，而剛才射出的那束光將被地表強大的重力場彎曲而落地。從遠處來的光在靠近地球時，也可能被地球的重力捕獲而無法遠離。宛若在這個縮小地球周圍有個無形的範圍，光線一但跨入就無法離開，在潘羅斯的定理中稱此為捕獲光面 (trapped null surface)。換句話說，若你在獲補光面之外點亮一盞燈，向四面八方輻射的每一束光線沿著各自的測地線前進，彼此互相遠離（瑞察杜里方程式裡的擴張大於零）；當你將這盞燈移到捕獲光面內，這些沿著測地線前進的光線便會彼此靠近（擴張小於零）。
圖六 牛頓大砲的假想實驗: 從高山上V處往水平方向發射砲彈，而砲彈受到地球引力的，往向著地心的方向加速落下。速度小的砲彈落在近處如D或E，而速度大的則落在遠處如F跟G。當速度到達所謂的軌道速度時，砲彈落下的幅度與地表的彎曲相當，使得砲彈在B及A處仍維持與地面一樣的飛行高度，最終繞地球一圈回到V處。比軌道速度稍大的砲彈其運動會是橢圓形的軌跡。速度到達軌道速度的2倍的砲彈，軌跡將會是拋物線而不再繞行地球，這時的速度被稱作逃逸速度。[插圖出自牛頓的<自然哲學的數學原理>]
測地線的終結者
光線一旦進入捕獲光面就無法逃離，說明了這是個封閉的曲面，否則光就有機會從縫隙的開口處溜走。想想日常生活經驗中的可見光，除非被介質吸收或在介面被反射或折射，光會一直沿著直線前進。這些進入捕獲面的類光測地線只能彼此無限制地靠近，滿足了瑞察杜里及寇馬提出的奇異點形成之必要條件，最後測地線將終止於奇異點上，奇異點定理中稱它們為未來不完整的類光測地線 (future incomplete null geodesics)。
黑洞的宇宙審查
潘羅斯的奇異點定理指出: 即便在廣義相對論中看似連續平滑的時空，在滿足強能量與光捕獲面存在的條件下，必定會有未來不完整的類光測地線，終止於奇異點。許多物理量在奇異點的位置將不再適用，像是曲率、密度等等會發散。這意味代表著古典重力的相對論並不適合描述奇異點附近的物理，需要像是量子重力這類的理論。天文學家估計質量超過約太陽質量二或三倍以上的恆星，最終都將演化成黑洞。而黑洞的中心便是奇異點所在。分布在宇宙各處的銀河系，其中心可能都窩藏著超級大黑洞。自2015年開始運轉的美國雷射干涉引力波天文台 (LIGO) 與義大利的Virgo也聯手觀測到半百個黑洞雙星碰撞的重力波信號。 然而對於宇宙中到處都可能撞見的奇異點，大自然卻也啟動了宇宙審查機制 (cosmic censorship)，用事件視界 (event horizons) 來馬賽克這些相對論中的危險分子。我們從黑洞外面望去是無法窺見事件視界後的一切，這包括了奇異點。這是因為從事件視界附近發射出的訊號，受到黑洞強大重力場的牽制，產生了幾乎無限的時間延遲。若是我們觀察朝著黑洞自由落下的物體，它將永久的停格在事件視界的位置，無視於它早已飛越事件面而抵達測地線的終點--黑洞中心的奇異點--這個事實（圖七）。
光線一旦進入捕獲光面就無法逃離，說明了這是個封閉的曲面，否則光就有機會從縫隙的開口處溜走。想想日常生活經驗中的可見光，除非被介質吸收或在介面被反射或折射，光會一直沿著直線前進。這些進入捕獲面的類光測地線只能彼此無限制地靠近，滿足了瑞察杜里及寇馬提出的奇異點形成之必要條件，最後測地線將終止於奇異點上，奇異點定理中稱它們為未來不完整的類光測地線 (future incomplete null geodesics)。
黑洞的宇宙審查
潘羅斯的奇異點定理指出: 即便在廣義相對論中看似連續平滑的時空，在滿足強能量與光捕獲面存在的條件下，必定會有未來不完整的類光測地線，終止於奇異點。許多物理量在奇異點的位置將不再適用，像是曲率、密度等等會發散。這意味代表著古典重力的相對論並不適合描述奇異點附近的物理，需要像是量子重力這類的理論。天文學家估計質量超過約太陽質量二或三倍以上的恆星，最終都將演化成黑洞。而黑洞的中心便是奇異點所在。分布在宇宙各處的銀河系，其中心可能都窩藏著超級大黑洞。自2015年開始運轉的美國雷射干涉引力波天文台 (LIGO) 與義大利的Virgo也聯手觀測到半百個黑洞雙星碰撞的重力波信號。 然而對於宇宙中到處都可能撞見的奇異點，大自然卻也啟動了宇宙審查機制 (cosmic censorship)，用事件視界 (event horizons) 來馬賽克這些相對論中的危險分子。我們從黑洞外面望去是無法窺見事件視界後的一切，這包括了奇異點。這是因為從事件視界附近發射出的訊號，受到黑洞強大重力場的牽制，產生了幾乎無限的時間延遲。若是我們觀察朝著黑洞自由落下的物體，它將永久的停格在事件視界的位置，無視於它早已飛越事件面而抵達測地線的終點--黑洞中心的奇異點--這個事實（圖七）。
圖七 潘羅斯在1965年發表的論文中繪出物質塌縮成黑洞的時空圖。當代表恆星物質的類時測地線滿足強能量條件而相互靠近，一旦落入捕獲光面的範圍後，在有限的時間內便會終止於奇異點。對於遠方的觀察著，事件視界外附近的光線將在久遠的未來才能被觀測到，視界內的光線將無法離開，因此奇異點也被隱匿起來。（圖中的S2表示捕獲光面為封閉的二維球面，其內部的體積為三維球B3，而底半徑r=2m的圓柱表面是事件視界在時空中的軌跡。） [插圖出自潘羅斯1965年發表在Physice Review Letters的論文]
宇宙大霹靂與時間奇（起）點
潘羅斯發表了奇異點定理的數月後，霍金便將奇異點定理推廣到宇宙的演化。目前天文宇宙學的研究指出，我們的宇宙正在加速膨脹。如果能將時光倒流，以前的宇宙空間較小，密集的物質分布對於過去的類光測地線必會產生聚焦效應，而在過去的某個時刻，這些回溯的光便會進入捕獲光面，而終止於大霹靂奇點 (Big Bang singularity)。由於宇宙誕生於這個奇異點，也可以將它視作時間的起點。霍金與詹姆士．哈特 (James Hartle) 於1983年提出了無邊界假說 (No-boundary proposal) 來取代這個奇點。這個宇宙誕生的模型認為宇宙太初是一個靜態的四維空間，量子效應使得一個空間維度轉成了時間維度，我們的宇宙於是誕生。然而這些對宇宙起源的種種臆測，恐怕須等待未來具有說服力的觀測證據，才能有所論斷。
潘羅斯發表了奇異點定理的數月後，霍金便將奇異點定理推廣到宇宙的演化。目前天文宇宙學的研究指出，我們的宇宙正在加速膨脹。如果能將時光倒流，以前的宇宙空間較小，密集的物質分布對於過去的類光測地線必會產生聚焦效應，而在過去的某個時刻，這些回溯的光便會進入捕獲光面，而終止於大霹靂奇點 (Big Bang singularity)。由於宇宙誕生於這個奇異點，也可以將它視作時間的起點。霍金與詹姆士．哈特 (James Hartle) 於1983年提出了無邊界假說 (No-boundary proposal) 來取代這個奇點。這個宇宙誕生的模型認為宇宙太初是一個靜態的四維空間，量子效應使得一個空間維度轉成了時間維度，我們的宇宙於是誕生。然而這些對宇宙起源的種種臆測，恐怕須等待未來具有說服力的觀測證據，才能有所論斷。
原始論文：
Roger Penrose, “Gravitational collapse and space-time singularities”, Physics Review Letters, Vol. 14, No. 3 (1965) 57-59
Stephen Hawking, “Occurrence of singularity in open universe”, Physics Review Letters, Vol. 15 No. 17 (1965) 689-690
延伸閱讀:
Jose M M Senovilla, David Garfinkle, “The 1965 Penrose singularity theorem”, Classical and Quantum Gravity, Vol. 32, No. 12 (2015)
作者：溫文鈺
中原大學物理系暨研究所
Roger Penrose, “Gravitational collapse and space-time singularities”, Physics Review Letters, Vol. 14, No. 3 (1965) 57-59
Stephen Hawking, “Occurrence of singularity in open universe”, Physics Review Letters, Vol. 15 No. 17 (1965) 689-690
延伸閱讀:
Jose M M Senovilla, David Garfinkle, “The 1965 Penrose singularity theorem”, Classical and Quantum Gravity, Vol. 32, No. 12 (2015)
作者：溫文鈺
中原大學物理系暨研究所