時空的漣漪 --- 重力波

自從愛因斯坦 (Albert Einstein, 1879-1955) 於1916年首先研究重力波開始，關於重力波的存在和性質、與電磁波相似的程度、以及關於四極矩 (quadrupole) 公式和重力波是否攜帶能量的探討，長久以來持續在各種不同的觀點、想法和爭議中發展開來。雙脈衝星 (pulsar) 的觀測結果間接地支持重力波的確如四極矩公式所預測的那樣傳遞能量。韋伯 (Joseph Weber, 1919-2000) 早在五十多年前即已開始進行直接觀測重力波的實驗，他的工作激發了之後的許多嘗試和努力，從室溫共振質量進化到低溫檢測器和雷射干涉儀。現在已有長達數公里的干涉探測器。借助於由數值相對論 (numerical relativity) 所產生的樣本 (template)，LIGO首次直接觀測到重力波訊號，在百年之後，實現了愛因斯坦的夢想。

   2017年諾貝爾物理獎的桂冠授予了魏斯 (Rainer Weiss, 1932- )、索恩 (Kip Thorne, 1940- ) 和巴里什 (Barry Barish, 1936- )，以表彰他們“對於LIGO探測器與重力波觀測的決定性貢獻” (for decisive contributions to the LIGO detector and the observation of gravitational waves)。LIGO是雷射干涉重力波天文台 (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) 的縮寫，由美國國家科學基金會 (National Science Foundation, NSF) 所資助、加州理工學院 (California Institute of Technology, Caltech) 的物理學家索恩、德瑞福 (Ronald Drever, 1931-2017) 與麻省理工學院 (Massachusetts Institute of Technology, MIT) 的魏斯所領導創建的一個科學研究項目，於2002年啟動，以雷射干涉探測器偵測來自宇宙的重力波訊號。

 

重力波是重力作用傳遞的過程，在說明重力波的具體特性之前，讓我們先從比較簡單和熟悉的電磁波談起，以做為重力波的對照。在電磁學中，兩個帶電的物體之間會有靜電力作用，透過實驗測量，此作用力的特性可以被歸納為「庫倫定律」(Coulomb’s Law)，簡言之，作用力的大小與兩物體所帶的電荷成正比、與其距離平方成反比。然而，庫倫定律所闡明的是兩個電荷之間 (不論兩者間的距離有多大) 靜電作用力的大小和方向，如果自然界的靜電力是一種超距作用 (action-at-distance)，也就是不管兩物體間的距離有多遠，兩者之間的靜電作用力都可以在瞬時發生，庫倫定律的描述是適當而沒有問題的。然而，狹義相對論指出自然界中任何作用力的傳遞速度是有其極限，換言之，作用力的影響從空間的一點擴及到另一點去是需要時間的，因此，直接討論作用力本身的敘述有很大的缺失，它缺少了作用力傳遞過程的描述。為了彌補這個缺點，物理學家引進了場論 (field theory)，一個帶電的電荷並不是直接產生作用力到另一個電荷上，而是先在其周遭形成電場 (electric field)，然後電場會向外傳遞出去，當電場到達第二個電荷時，才完成了靜電力作用。當然，電場的傳遞必須包含完整的電磁作用，除了電場之外，還有磁場 (magnetic field)。與電場類似，運動中的電荷 (或電流) 會產生磁場，而磁場也會作用在運動中的電荷 (或電流) 上。除此之外，電場與磁場之間也會發生交互變換，也就是電場的改變會產生磁場，而磁場的改變也會產生電場。所有這些電磁效應產生並傳遞電磁交互作用的關鍵因素，都被完整的包含在四個向量 (vector) 的微分方程中，稱為「馬克士威方程式」(Maxwell's equations)，從此方程式中我們可以推導出電磁作用傳遞的「波動方程式」(wave equation)，簡言之，電磁作用是依賴於電場和磁場的交互變換，以波的形式傳遞。電磁波是橫波 (transverse wave)，也就是說電磁波中電場和磁場的方向垂直於波傳遞的方向。此外，因為電磁場是一種規範場 (gauge field)，必須符合在特定的變換下保持不變，其真實的自由度只有兩個，所以電磁波可以有兩種不同的偏振 (polarization)。經過了百餘年的發展之後，電磁波的應用已經深入到每個人的日常生活之中。

 

回到重力作用，牛頓 (Isaac Newton, 1642-1727) 的重力理論是類似於我們前面所討論的超距靜電力作用，牛頓的萬有引力定律幾乎等同於庫倫定律，除了產生重力作用的來源為質量 (mass)，而且因為不存在負質量，所以重力只能是吸引力。類比於電磁學，我們很自然地預期重力場應該也會有以波的形式傳遞的機制，也就是重力波。當然，要精確地理解重力波，則必須有完備的重力理論方程。而且，實際的重力作用也遠比牛頓的理論來得複雜，與電磁學比較，也有顯著的差異。首先，狹義相對論得出一個自然界的本質，那就是質量其實為能量 (energy) 的一種形式，而且能量和動量 (momentum) 對於不同的觀測者而言會互相轉換，必須放在一起同時考量，這說明了產生重力場的來源–不單單只是質量，動量也會產生重力場！精確地說，產生重力場的所有來源是能量-動量張量 (energy-momentum tensor)，它是一個對稱的二階張量，可以理解成一個四乘四的對稱矩陣，有十個分量，除了能量和動量，還包括它們的通量 (flux) 等可以影響重力場的因素。除此之外，不同於電磁學所描述的是「附加」於四維時空 (space-time) 中兩個向量場 (電場和磁場) 在空間上的分布和時間上的演化，重力場對應的是時空本身的變化，這個性質使得重力理論比起電磁理論複雜很多，而且是一個非線性的系統。從等效原理 (equivalence principle) 出發，愛因斯坦透過彎曲時空幾何的想法來表達重力作用的機制，重力場被看做是描述時空結構的度規 (metric)，度規是也是一個對稱的二階張量 (tensor)，它決定時空中向量的長度和角度，也決定時空彎曲的程度，越彎曲的地方，加速度越大，等同於重力場越強。在經過許多年的努力後，愛因斯坦在1915年的十一月二十五日成功地推導出「物質告訴時空如何彎曲」(matter tells spacetime how to curve) 的愛因斯坦方程式 [1, 2]，完備了重力作用的理論基礎–廣義相對論 (general relativity)。

在愛因斯坦廣義相對論的架構下，時空幾何不是固定不變的，能量和動量的存在會使時空彎曲，時空的幾何結構體現了重力場的大小可能隨時間改變，類似於湖面的水波一樣。在這樣的架構下，一個很自然的問題是，時空幾何的變動，是否會產生重力波，傳遞重力的訊息與能量？更進一步來說，重力波的形式為何？由於重力理論的複雜性，甚至對於重力波存不存在這樣極其關鍵的問題，也晦澀難明，愛因斯坦曾經幾次改變他的想法和結論，掙扎於重力波存在與不存在兩者之間。1916年二月，在給史瓦西 (Karl Schwarzschild, 1873-1916) 的信件中，愛因斯坦提到並不存在相似於電磁波的重力波，並將此結論歸因於重力理論裡並不存在類似電磁理論中正負電荷對的偶極矩 (dipole)。幾個月後，就在同年六月份，愛因斯坦發表了一篇預測重力波存在的論文，並從廣義相對論中，計算質量改變所產生的重力波四極矩公式，因此1916年可以被認為是重力波的濫觴，只不過此公式中的係數是不正確的。愛因斯坦在1918年曾經修正過此係數，但還是錯誤的，此時，他認為重力波存在三種模式 (重力場是張量場)：橫向-橫向、橫向-縱向 (longitudinal)、縱向-縱向。直到1922年愛丁頓 (Arthur Eddington, 1882-1944) 才推導出四極矩公式中正確的係數，他也理解到橫向-縱向和縱向-縱向這兩種模式為「坐標波」(coordinate wave)，能以任意的速度傳遞，也不帶能量，所以是非物理的。因此，重力波也是橫波，而且，重力理論在坐標變換下維持不變 [3]，因此它的自由度只有兩個 (說明坐標波不是重力的自由度)，所以重力波也只有兩種不同的偏振 (圖一)。根據愛因斯坦的四極矩公式估計，重力波的強度為10^-21，然而當時的技術能測量的強度為10^-5，理論和技術之間存在著16個數量級的巨大差距，愛因斯坦曾經悲觀地懷疑重力波測量的可能性。物理學家足足花了百年的時間，才實現了愛因斯坦的夢想。

 

圖一：當沿著x方向傳遞的重力波經過時，兩種偏振模式造成測試粒子環(在yz平面上)之間的距離的變化。

    關於重力波的研究，愛因斯坦在1936年與羅森 (Nathan Rosen, 1909-1995) 向美國的「物理評論」(Physical Review) 期刊投稿了一篇題目為「重力波存在嗎？」的論文，內容宣稱一個令人吃驚的結論：平面引力波並不存在。物理評論的編輯在收到一份詳細的審稿報告後，把審稿意見寄給愛因斯坦，並請他對批評意見提出回應。愛因斯坦的回信內容是：

"我們(羅森先生和我)寄給你我們的手稿去發表，並沒有授權你在付印前將它交給任何專家看。我認為沒有理由去應付你的匿名專家---在任何情況下錯誤---的評論。因為這樣的緣故，我寧願在其他地方發表這篇論文。"

"We (Mr Rosen and I) had sent you our manuscript for publication and had not authorized you to show it to specialists before it is printed. I see no reason to address the---in any case erroneous---comments of your anonymous expert. On the basis of this incident I prefer to publish the paper elsewhere."

期刊的編輯回答說，他很遺憾愛因斯坦決定撤回論文，但他表示不會拋棄期刊的審查程序。愛因斯坦對這件事相當憤怒，他從此以後就沒有在物理評論期刊上發表過任何論文了。持平地講，對愛因斯坦來說，這樣的審查程序在他過去於德國的期刊發表論文時所沒有的。

後來，羅森去了俄羅斯，愛因斯坦也有了新的助手英費爾德 (Leopold Infeld, 1898-1968)。有一次，英費爾德受邀訪問羅伯遜 (Howard Robertson, 1903-1961)，羅伯遜試圖說服英費爾德關於愛因斯坦和羅森那篇論文中存在的問題。當英費爾德告訴愛因斯坦這件事時，愛因斯坦說他自己也剛剛發現了論文中的一些問題，他不得不修改準備在第二天給的報告內容。最後，愛因斯坦在校稿的過程修正了與羅森的論文，認為他們證明了圓柱對稱的重力波是存在的，和原始宣稱的結論是相反的。後來公開的文件揭示，羅伯遜就是當年愛因斯坦和羅森論文的評審。愛因斯坦最後將論文以「論重力波」(“On Gravitational Waves”)作為題目，發表在Journal of the Franklin Institute期刊中，論文最後還感謝了羅伯遜幫忙澄清了他們原始的錯誤。

最後關於重力波是否攜帶、傳遞能量的問題，打從一開始就導致了極大的爭議，根本的原因是重力能量本身就是一個極其艱難的問題 [4]，愛因斯坦透過他提出的膺張量 (pseudotensor) 來討論重力波中能量的傳遞，然而，膺張量所推斷出的結果依賴於參考坐標的選取，因此很多人並不認同，甚至嚴厲批判其結果。關於這個議題曾經於1957年在教堂山 (Chapel Hill) 所舉辦的會議中被廣泛討論，一些與會學者表示，他們最鮮明的回憶是邦迪 (Hermann Bondi, 1919-2005) 揮舞著兩個啞鈴極其活躍地展示了如何改變四極矩來產生重力波。除此之外，費曼 (Richard Feynman, 1918-1988) 也匿名為史密斯先生 (Mr. Smith) 提出「黏珠論點」(sticky bead argument)：想像一個剛性桿上自由滑動 (但有摩擦力) 的兩個珠子，當一個重力波經過時產生測地線的偏差，導致珠子於摩擦力的作用下在桿上滑動，進而加熱桿子。而使桿子溫度升高的能量必須來自於重力波。邦迪之後普及這個想法，許多人都認為這是重力波可以傳遞能量的一個令人信服的論據。當然反對陣營也有他們相反的觀點，其中也包括邦迪的論點，可看出此議題的爭議性。

在1974年，雙脈衝星PSR 1913+16的發現間接驗證了重力波的存在，這兩個脈衝星靠得很近，彼此環繞的速度很快，會產生很強的重力輻射，重力波帶走了能量使它們間的距離更靠近、環繞速度更快。通過精確測量雙脈衝星的週期變化，估算損失能量的速率，與重力波計算的結果相符。不過這只能說是間接的證據，對於重力波的直接觀測，科學家投入了大量的人力和金錢，執行多個地面或是衛星的觀測計畫，終於，在重力波「誕生」百年過後，LIGO在2016年2月11日正式發表論文宣稱他們的儀器設備在2015年9月14日檢測到重力波信號，這訊號來源於距離地球大約13億光年處的兩個質量分別為36與29個太陽質量的黑洞併合。這是一個科學史上重要的里程碑，在這一年多以來，我們陸續觀測到數個重力波訊號，不單單只來自雙黑洞合併，也包括雙中子星的合併。樂觀地說，重力波的觀測開啟了我們探討自然界的一扇窗，在未來，它將會是一個重要且蓬勃發展的研究領域。

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參考資料

[1] 中華民國重力學會 主編 (2015)「相對論百年故事」，大塊文化。
[2] 聶斯特、陳江梅 (2015) 「愛因斯坦與廣義相對論的誕生」，物理雙月刊三十七卷五期 91-100頁。
[3] 聶斯特、陳江梅 (2016) 「重力：一個規範理論的觀點」，物理雙月刊三十八卷一期 1-6頁。
[4] 陳江梅、聶斯特 (2005) 「萬有引力與能量」， 物理雙月刊二十七卷六期 776-779頁。

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