No time to be brief (中) 量子革命的黃金十年

上次阿文開始介紹包立的傳記「No time to be brief」，前四章從他的家世講到他的哥本哈根之行。

       從哥本哈根回漢堡之後，包立全力思考鹼金族光譜中的反常季曼效應，這個過程曲折離奇，阿文在先前寫的「自旋物語(上) 自旋打哪兒來? 」交代得還算清楚，這裡就不再贅述。倒是一般很少人提到的是，包立也研究過愛因斯坦的A與B係數。在愛因斯坦原來的推導中，他考慮的是光子與原子之間交互作用，由於原子中的電子可以吸收輻射，跳上更高的能階，也能從高能階跳到低能階放出光子，考慮自發放射與受激放射，愛因斯坦可以推導出普朗克分布。但是包立問了一個看似單純的問題，如果把原子換成自由電子呢? 包立將自由電子的康普頓效應考慮進來，發現愛因斯坦的結論依然可以成立，秘訣在於要將光子與電子散射過程看成是電子吸收光子與放射光子兩個過程的合成。這個小插曲就成了第四章的結尾。

       全書篇幅最長的是第五章與第六章，各有五十六頁。第五章的主題是包立在漢堡的科學工作，第六章則是包立成為瑞士聯邦理工學院的教授以後的科學研究。這段時間正好是量子力學的草創期，所以自然特別精采。首先提到的是包立研究「反常季曼效應」後提出了一個新的概念，這個概念影響既深且廣，那就是電子擁有一個新的自由度，由於它只有兩個可能的值，用先前索末非理論來講，就是一個大小為1/2 ħ 的角動量。因為依照索末非理論，磁量子數m的值從-L到+L，共有2L+1個可能的值。但是包立特別強調這是一個古典物理找不到相應的自由度。這是第一次包立打破他的恩師，索末非設立的架構!把它視為邁向量子力學的第一步，也不為過。更進一步，他還提出了包立不相容原理。這個原理指出任何兩個電子無法同時存在於同一個量子狀態。這個原理解釋了週期表中的原子結構之謎，也是一切化學的基礎。當時科學家只知道有電子，質子這兩個有靜止質量的粒子，前一年才剛透過康普頓散射，確立沒有靜止質量的光子的存在。顯然光子並不滿足不相容原理，否則得不到普朗克分布，但是質子呢? 這要等到1927年物理學家研究氫分子的比熱時才確定氫原子核，也就是質子的自旋也是1/2 ħ。但是質子是否滿足不相容原理呢? 這個有趣的問題後頭還會再提到，這裡先賣個關子。

       雖然包立一直篤信這個新的自由度是”非古典”的，但是他的助理 拉爾夫·克羅尼格(Ralph Kronig）很快就提議將這新自由度對應到粒子的自轉，但是包立說服克羅尼格，這是個荒謬的想法， 因為這將導致電子磁偶極g因子只有實驗值的一半。所謂g因子是指粒子偶極矩與角動量之間的比值。強磁場下的光譜分裂，被稱為帕申-貝克效應(Paschen-Back Effect)，明白地顯示新的自由度對應的g因子是軌道角動量的兩倍。但是如果把新的自由度認真地當作自轉的角動量，那麼從精細結構中的LS耦合項(電子”自轉”角動量產生的磁耦矩與原子核繞著電子產生的磁場交互作用)顯示它的g因子與軌道角動量的g因子相同!這個明顯的矛盾讓克羅尼格不得已，只能將手稿束諸高閣。不料一年之後，兩位荷蘭研究生喬治·尤金·烏倫貝克和塞繆爾·高德斯密特公開提議電子自轉就是包立所提出的新的自由度。他們一樣遭到包立毫不留情的抨擊，海森堡與克羅尼格也加入反對的行列，沒想到，沒過多久，來自英國劍橋的物理學家湯馬斯(Llewellyn Thomas)利用嚴謹的相對論性計算成功解釋了精細結構中的LS耦合項與(g-1)而不是g 成正比!這個效應是來自連續兩個不同速度方向的羅倫茲變換並不等於將兩度速度相加而成的新速度所對應的羅倫茲變換，而是要加上一個轉動，這個效應被稱為「湯瑪斯旋進」。今天這個自由度被稱為”自旋”，這個結果似乎打臉包立，其實包立其實還是對的! 這要等到完整的量子力學出現以後才能知曉了。

       1924年還有兩樁大事，一件是當時法國一位博士生，路易·德布羅伊將愛因斯坦的波粒雙象性推廣到一般有質量的物質，神奇的是，他從駐波的圖像導出電子軌道的量子化條件，這引起了學界的熱議。另一件則是名不見經傳的英屬印度年輕學者，波色(Satyendra Nath Bose 1894-1974) 提出一個簡單優美的普朗克分布的推導，他把光子的相空間隔成邊場為h3 的小方格，並且假設粒子除了動量能量外，不可分辨，用簡單的排列組合就得到普朗克分布。愛因斯坦進一步將這個方法推廣到有靜止質量的物質上，這個統計被稱為「愛因斯坦-波色」統計。不可分辨的特性恰與包立不相容原理有所扞格，如何調和呢? 這還有待幾年後的諸多後起之秀的努力。

       歷史的進程正以驚人的速度不斷前進，其中最先在未知之岸插旗的，不是包立，而是包立的師弟，彈得一手好鋼琴的海森堡。海森堡在包立離開哥本哈根五個月後，也來到哥本哈根。在那裡，他與克拉默斯合作，克拉默斯-海森堡關係式將羅倫茲的色散理論與波爾的量子理論結合在一起，幾乎就要「上岸」了，但是隨著德國科學家博特證實了康普頓散射中，電子反彈的動量與散射的光子滿足動量守恆之後，克拉默斯卻好像五雷轟頂，因為他與波爾，斯拉特共同創立的BKS理論堅決反對光子，這讓克拉默斯與桂冠擦身而過。反倒是海森堡，學會了克拉默斯如何運用波爾提倡的「對應原理」的巧門，就在他返回哥廷根的時候，開始沈思如何將這個方法應用到計算光譜線強度的難題上。

       1925年六月，海森堡因為花粉熱，跑到北海Helgoland 島上度假，在那裡他靈光一閃，寫出了矩陣力學的第一篇論文。期間海森堡與包立魚雁往返，包立成了吐槽海森堡不遺餘力的大師兄，但是當海森堡感到遲疑甚至卻步的時候，給他鼓舞的也是包立。在海森堡完成他那篇連自己都不太懂得的神奇論文並且送出後，包立寫了一封興高采烈的信給克拉默斯，信中流露歡欣鼓舞的心情看得出他對海森堡的理論抱持著很大的信心。

       薑還是老的辣，真正讓海森堡模糊的想法變成明確的架構的還是包立與海森堡的老闆，波恩。波恩與他另一個助理，喬丹一起把海森堡的”狂想”變成一個嚴格的數學系統。後來波恩，喬丹與海森堡一起寫了一篇被稱為「Drei-Mann-Arbeit」奠定了第一個版本的量子力學。但是包立對這個發展可不怎麼開心，他甚至在寫給波恩的信中這麼抱怨: 「我知道你喜歡繁雜困難的計算，你只會把用你徒勞的數學把海森堡的物理概念給搞砸了」，當然，這絕不是事實。但是很快的，包立就要感謝波恩給他一個好機會，大展身手。當時雖然矩陣力學能給出簡諧振子的能階，但是連最簡單的波爾氫原子模型的能階，也還沒辦法從頭到尾只用量子力學算出來。這是因為三維空間的反平方力場，可不是那麼簡單的問題。而包立運用冷次用過的龍格-冷次向量，神奇地將它給推導了出來，那等於是正式宣告矩陣力學的勝利。這結果對於驗證海森堡理論的可信度非常重要。自此之後無人敢質疑海森堡的矩陣力學。這是包立在提出自旋與不相容原理之後，另一個了不起的成就。這是1926年的年初。

       但是就在包立的論文發表十天後，蘇黎世大學的愛文·薛丁格推出了他著名的薛丁格方程式。他的思路可以追溯到漢密爾頓與雅可比的理論，作用量除以普朗克常數等同於相位，相位相同的點集合起來就是波前，把相位當作位置的函數，對相取梯度就是動量。就這樣，薛丁格寫出了德布羅依波的波方程。更厲害的是只要要求方程式的解在無窮遠的行為在數學上要夠好，他就得到波爾的量子化條件! 這讓原本一枝獨秀的哥廷根派矩陣力學頓時失色不少。

       很快的，包立與薛丁格都發現薛丁格的波動力學與矩陣力學，數學上是等價的。另一件重要的發展是相對於愛因斯坦與波色的工作，狄拉克與年輕的義大利科學家費米提出了費米-狄拉克統計，電子與所有滿足不相容原理的粒子都滿足這個新的統計。原來關鍵在於當這些全同粒子的波函數寫在一起時，如果交換任何兩顆粒子的座標，波函數不是不變，而是多一個負號，理由很簡單，因為重覆兩次這樣的操作，要回到相同的函數。所以只有兩種可能。一種是對稱的波函數，一種是反對稱的波函數。前者必定滿足愛因斯坦-波色統計，後者則滿足費米-狄拉克統計。但是一個粒子要滿足哪一種統計，當時並沒有什麼線索，這最後成了包立一生最大的成就:自旋統計定理。這要留到下回再提了。

       波瀾萬丈的1926年就這樣過去了，新的1927年一樣地精采!狄拉克在二月發表了電磁場的量子化，可以算是量子場論的濫觴。另一方面，海森堡在三月發表了測不準原理，徹底澄清了兩個版本量子力學都不可能回到古典物理的關鍵。這一年包立也忙著到處用新的量子力學來解決無法妥善處理的問題。舉例而言，包立就引入了2× 2包立矩陣作為自旋操作符號的基礎，由此建構了非相對論自旋1/2的電子理論，薛丁格方程式被擴展成包立方程式，當狄拉克隔年發表完整的相對性自旋1/2 粒子的理論後，赫然發現第一階近似即是包立方程式，而且電子的g 因子自動就是2，精細結構的LS耦合的形式也自動出現正確的形式，而不需要湯瑪斯旋進。他也回頭利用新建的量子力學來計算磁性，得到了比過去用索末非理論好的結果。這一年物理界有兩場盛會，分別是九月11日到20日在義大利科莫湖的紀念伏打逝世一百年大會與十月底在比利時首都布魯塞爾召開的第五次索爾維會議。包立兩場都有參加。波爾在科莫湖會議發表的演講等於是宣告量子力學完成的宣言，波爾在撰寫講稿時不斷與包立參詳，可見包立在他心目中的份量。愛因斯坦沒參加科莫湖會議，所以當他在布魯塞爾參加索爾維會議時，他與波爾針鋒相對的場面，包立自然也是親眼目睹了。

       有了這麼多貢獻，包立也成為歐洲各大學延攬的對象。1928年，包立被聘為瑞士蘇黎世聯邦理工學院(ETH)理論物理教授，接替前去繼承普朗克在柏林教席的德拜。離開漢堡之前他與波恩的前助理喬丹一起寫了一篇論文，狄拉克先前量子化電磁波，但是形式並沒有完全滿足相對論協變的要求，包立與喬丹則是將整個電磁場的量子理論寫成滿足相對論協變的形式，並且定義了所謂「包立-喬丹」函數，這是後來場論中的「傳播子」(propagator)的原型。到了蘇黎世之後，包立研究了量子系統的統計行為。波茲曼曾經證明了古典系統滿足所謂的H定理。也就是H函數對時間微分一定非正值，系統的熵可'以定義成S=-k H (k 是波茲曼常數)。而且只有當系統滿足常態分佈，H函數才能變成是常數。包立證明了一個系統，如果組成分子的波函數滿足愛因斯坦波色統計或費米 狄拉克統計，H定理都一樣會成立。這是量子統計力學的重要結果。

       而就在包立來到蘇黎世的兩個月前，狄拉克寫下了滿足相對論協變性的自旋為1/2 粒子運動方程式，後世就直接稱為「狄拉克方程式」。之前不乏有人想將薛丁格方程式改寫成滿足相對論協變性的形式，一般都得到所謂的克萊茵戈德方程式(Klein-Gordon Equation)，那是時間與空間都是微分兩次的微分方程。這個方程式不帶自旋，而且機率密度無法保持正定。狄拉克認定問題的根源來自於二次微分方程式的特性，他嘗試寫出一次微分方程式，這一次，機率密度保持正定，但是波函數變成是四個分量的奇特形式。但是這自動對應到正負能量各自兩個自旋分量。這個成就掃除了發展量子電動力學的障礙，所以海森堡與包立開始著手發展最早的量子場論。他們將電磁波與狄拉克方程式的解都用傅利葉分解，將傅利葉係數當作算子，設立它們滿足對易關係，每個傅利葉分量對應到一個單頻波，也就相當於簡諧振子，它的激發態的能量就是第一激發態的整數倍，而第一激發態的能量正是普朗克常數乘上頻率。光與物質的界線終於被消除，唯一的差異是狄拉克波，也就是電子，必須用「反對易關係」，而電磁波，也就是光子，必須使用「對易關係」。離散的能量，動量與連續的場方程完美結合在一起，解答了波粒雙象性的難題。但是使用不同的對易關係，就會滿足不同的統計，但是為什麼電子必須使用反對易關係，因而滿足包立不相容原理呢，在當時還沒有一個令人滿意的解釋。另外一個問題則是高階的量子場論計算出現不可控制的發散項，這個問題要等上二十年才能解決。

       除了量子場論之外，另一項吸引包立注意力的主題是原子核的貝它衰變。當時中子尚未被證實，科學家普遍相信原子核間的質子是藉著裡頭的電子而束縛在一起。當電子與質子束縛在一起時，可以看成中性的粒子。而原子核的貝它衰變就是這種中性束縛態解離的過程。嗯，聽起來很合理，可是當時大家想破頭都無法解釋為何貝它衰變產生的電子能量為何是連續的分布。有人主張電子在脫逃出原子核後放出輻射，但是計算結果不吻合。波爾甚至主張在原子核尺度內，能量並不嚴格地守恆。當然包立並不信服這種主張。在1930年12月4日在一封信中他向女物理學家莎莉·邁特納(Lisa Meitner)提出了解決β衰變之謎的方法: 就是假設存在一種不帶電又無質量 自旋為1/2的新粒子來解釋β衰變的連續光譜。1934年恩里科·費米(Erico Fermi)將這個粒子加入他的弱作用力理論，並稱之為微中子(Neutrino)。原子核的中性粒子變成質子，並放出電子與微中子，兩者的夾角就決定了電子的能量。這算得上是斬斷哥丁結。但是主張存在中性，質量又極小的新粒子，聽起來宛如主張在黑夜的暗屋中藏了一隻黑貓一般，自然又引發了爭議，但是費米最早的弱作用理論，就是脫胎於此。

       雖然包立的科學研究始終亮眼，但是他的私人生活在1930年卻陷入危機。1929年5月，包立退出羅馬天主教會。同年12月，他結婚了，但他的婚姻並不美滿，包立的第一次婚姻只持續了一年不到，1930年11月他就離婚了。他的前妻沒多久就改嫁給一位化學教授。之後，也就是1930年年底，包立出現嚴重的神經衰弱症。他拜訪了同他一樣住在蘇黎世附近的心理醫生卡爾·榮格(Carl Gustav Jung)。榮格開始深層分析包立的原型夢， 包立成為榮格的最優秀學生。可是很快地，他忍不住開始使用科學方法批評榮格理論中的認識論問題，他的批評導致了榮格將自己理論弄的更清晰，尤其是榮格的共時性的想法。榮格與包立之間的許多討論都紀錄在兩人的通信中，這些信後來被出版為著作《原子與原型》。榮格對於包立的400多個夢的精心分析則全都記錄在他的著作《心理學和煉金術》裏。

       包立的物理研究並沒有因此而中斷。1931年包立第一次訪問美國，在密西根的Ann Arbor 的時候還從樓梯摔下來，留下一張尷尬的照片，手綁著蹦帶，臉上帶著苦笑。十月他從美國直接到那不勒斯，順便在義大利待了一陣子，隔年又是忙碌的一年，英國的查德威克發現了中子，幾個月美國的安德生發現了電子的反粒子，正子。在這段時間，包立受到愛因斯坦新的統一場論的啟發，與朗之萬的女婿傑克·所羅門合寫了一篇論文，後來自己又寫了一篇。當然，他並沒有成功，但是這是他後來首先注意到非交換規範場論的契機。

       1933年包立應物理年鑑"Handbuch der Physik"之邀寫了一篇有關於量子力學的總結回顧文章 後來以”波動力學的一般原理”為名出版。當這本書於1958年再版時竟然絲毫未改，可謂”一字千金”的最佳現代寫照。包立寫作之嚴謹由此可見一般。這一年十月召開的第七次索爾維會議，以原子核的結構為主題，海森堡在會中介紹他的同位旋理論，而狄拉克則是介紹他的電子海理論。狄拉克主張，狄拉克方程式負能量解所對應的無限多個狀態都已經填滿，而包立不相容原理讓正能量解不會掉到負能量能階。用能量將負能量能階的電子給激發到正能量能階時，看起來就像是正反電子創生。但是包立對電子海的理論非常不以為然，他認為被大自然選擇電子帶負電，違反正負電荷應該對稱這回事，完全無法苟同。而且被填滿的無限多粒子的質量產生的重力效應，也讓他直呼荒謬。但是當時電子海的理論可是飽受好評呢。

       1934年，包立再婚，這次婚姻相當幸福，一直持續到他逝世。而他的新助理魏斯考夫則是與包立一起對狄拉克的電子海理論發起攻擊。他們將原本被棄之如敝屣的克萊因-戈德方程式賦予新的意義。他們把克萊因-戈德方程式視為自旋為零的場方程，將它做傅利葉分解後，將傅利葉係數當作算子，就如同電磁波一樣。他們發現原先的機率密度應該視為電荷密度，複數的克萊因-戈德方程式的正負能量解對應的是正反粒子。由於克萊因-戈德方程式對應的場必須用對易關係，也就是要使用愛因斯坦-波色統計，所以克萊因-戈德對應的場量子化以後是不會滿足不相容原理，類似電子海的理論自然無法成立。包立很開心這個結果，自豪地稱為「反狄拉克」論文!

       從1924年到1934年，物理界經歷了一番天翻地覆的變化，而包立可以說，始終處在風暴的颱風眼中。但是隨著納粹的崛起，世界局勢也即將面對一番天翻地覆的變化，包立的人生會遭受如何的鉅變，他還有哪些重要的科學成就? 這一些就留到下一回再說了。

圖片來源 https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1945/pauli/facts/