驗證電子繞射及波長：戴維森—革末實驗

「電子的干涉實驗圖樣從明顯隨機映現的個別斑點逐漸成形，令人難以忘懷，那就彷若薄暮時分，細小星辰在你眼前映現〔逐漸〕構成銀河。」

外村彰 (Akira Tonomura)

前言
能量和速度相同的電子，一個接一個通過尺度適當的雙狹縫，在螢幕上形成一道道明暗相間的條紋，是微觀世界最難以捉摸又令人嘆為觀止的奧妙之一。比經典楊氏可見光雙狹縫實驗跨出更驚心動魄的一步，「電子雙狹縫實驗」展示了電子的神秘「波粒二象性」。文前這一段引言，是日本物理學家外村彰（生於1942年、卒於2012年）在日立製作所中心研究實驗室（Hitachi Central Research Laboratory）演示電子雙狹縫干涉的絢麗影像時，不禁脫口而出的一句讚嘆話語。

首位利用實驗證實電子具有波動行為——具有物質波長，像水波一樣行進——的科學家，是美國人柯林頓・戴維森（Clinton J. Davisson，生於1881年、卒於1958年）。戴維森身體羸弱，大器晚成。他高中畢業時獲得一年獎學金赴芝加哥大學就讀，已20歲。一年後，因學費無著，密立根（Robert A. Millikan，生於1868年、卒於1953年，1923年諾貝爾物理獎得主）遂介紹他短暫到普渡大學，接著前往普林斯頓大學擔任助教，而於暑假期間返回芝加哥大學完成學業，他花了六年時間才獲得大學文憑。

之後，戴維森前往普林斯頓大學跟隨Owen W. Richardson（生於1879年、卒於1959年，1928年諾貝爾物理獎得主）攻讀博士學位，於1911年畢業，已30歲。畢業後在匹茲堡Carnegie Institute of Technology教書，每週上課18小時，沒有時間和資源做研究。第一次世界大戰期間，他因體格不符軍隊入伍要求，遂前往西方電器公司（貝爾實驗室前身）參與戰備研發工作。

戰後，戴維森期盼能有時間從事科學研究，因此選擇留在貝爾實驗室而不回學校。此時他雖已年近不惑之齡，卻還從未做過任何一項像樣的學術研究工作。但是當參與戰時工作的同僚在戰後都紛紛高昇擔任各種主管或接任各式行政職務時，他卻堅持只要求一個單純的研究員位置。非常幸運的是，戴維森的選擇（做為一個純粹研究員）獲得了貝爾實驗室首任研發部門主管Harold D. Arnold的贊賞與支持。Arnold並在之後幾年的幾次關鍵時刻，都能意識到戴維森實驗的開天闢地屬性，數度及時又無私地調動一流助手／合作者和優秀技術人員，協助戴維森突破好幾道嚴峻實驗關卡，為建立近代物理學基石以及貝爾實驗室的科研傳統與崇高聲譽，共同立下了汗馬功勞——戴維森是貝爾實驗室的首位諾貝爾獎得主。

接下幾年，戴維森持續利用電子束轟擊探討二次電子放射（secondary electron emission）現象，進展和成果有時亮麗，有時令人費解，乃至迷航或停頓。1926年秋冬，在因緣際會心中疑團茅塞頓開之後，戴維森重起爐灶，精心規劃一系列嶄新實驗。他精密設計及製作儀器和樣品，並與合作者耐心操作，精細測量。1927年初，他們把一束被低偏壓加速的低能量電子打向一塊鎳單晶，發現了（如X光般的）散射現象，即在特定角度出現了定量「彈性反射」電子，證實電子具有波長，內稟「波粒二像性」。這時戴維森已接近知天命之齡。

1937年，戴維森獲得了諾貝爾物理獎。他和雷斯特・革末（Lester H. Germer，生於1896年、卒於1971年）定量證實電子帶有一如德布羅意（Louis de Broglie，生於1892年、卒於1987年，1929年諾貝爾物理獎得主）預測的波長，進而為1926年薛丁格（Erwin Schrodinger，生於1887年、卒於1961年，1933年諾貝爾物理獎得主）提出的革命性波動力學理論奠立了無可置疑的事實基礎，即（微觀）物質都以波動型式行進／運動。後來，革末曾獲得26次提名，但不知為何始終與諾貝爾獎無緣？戴維森和革末把電子加速到數拾至數百伏特以下，屬於低能量「低速」電子。1937年的諾貝爾物理獎同時頒給了喬治・湯姆森（George P. Thomson，生於1892年、卒於1975年），他使用數萬伏特的被加速高能量「高速」電子對多晶金屬薄膜進行散射實驗，也證實了電子具有德布羅意波長。近代物理史上著名的一段佳話是：父親J. J. 湯姆森（生於1856年、卒於1940年，1906年諾貝爾物理獎得主）證實了電子的粒子特性，兒子G. P. 湯姆森則證實了電子的波動特性。

戴維森—革末電子散射實驗

如林志忠〈驗證量子能階量子化的里程碑：法蘭克—赫茲實驗〉（《物理》2024年？月）文中所述，十九、二十世紀之交，氣體放電、陰極射線、X光、和熱發射等現象，是當時實驗物理學的重點研究方向，目的在於釐清射線的本質（波或粒子），原（分）子的游離行為、帶電粒子的性質，和它們的應用前景等，這些實驗都在袖珍高真空玻璃（放電）管中進行。戰爭結束後，戴維森在貝爾實驗室的研究題目是探討金屬表面及包覆氧化層的鎳絲的熱發射，及其被正離子撞擊後產生的二次電子放射現象，那時物質波假說尚未誕生，遑論波粒二象性概念及量子波動力學理論。

圖1  戴維森實驗組的電子束對鎳靶散射儀器裝置示意圖（參考文獻[4]）

圖1是戴維森的實驗裝置示意圖，右上角電子槍產生電子束，電子被加速向左撞擊鎳靶。左下是一個電子收集器，電子進入後形成電流流過檢流計。電子收集器可沿弧形陰影區域移動，以收集被鎳靶散射到不同角度的電子。電子收集器是一個雙層金屬盒，兩層金屬盒之間可加上一個反向偏壓。在戴維森的設計裡，反向偏壓大小調整為接近於右上角的加速電壓，因此只有被鎳靶「彈性反射」的電子才會進入電子收集器。當時科學家認為，基於古典力學理論預測，入射的電子會以各種不同能量，即非彈碰撞，被均勻散射到各個角度。但戴維森在專注測量中發現（他沒有忽略掉細節！），約有千分之一數量的電子被鎳靶彈性、而非非彈性散射了。這一個小小的訊號，最終導致電子波（長）的發現。

圖2 戴維森和Kunsman於1921年11月發表在Science的電子束對多晶鎳靶散射的實驗數據，論文題目是The Scattering of Electrons by Nickel（參考文獻[1]）

圖2是1921年戴維森與助手C. H. Kunsman發表在Science的早期實驗結果，此時他們以為可以比照拉塞福的粒子散射實驗，利用這些彈性散射電子來測量鎳原子的電子結構（原子核外的電子分佈）。這是一個極座標圖，圖中入射電子束由右向左，作為極軸，入射電子與「多晶」鎳靶碰撞處設為原點，通過數據（小圓圈）的曲線表示在該角度測量到的「相對」電流強度。圖2顯示加速偏壓為150伏特（V）時的實驗數據，此時在75處相對電流強度出現一極大值，在65處出現一極小值。

這張圖在實驗上的不凡意義如上面所說，實驗測量的是相對電子數（或相對電流），即單位時間內被鎳靶彈性反射的電子數除以轟擊鎳靶的總電子數。圖上橫軸顯示，測量的電子數能解析到入射電子數的萬分之幾，因此這是一項極高解析度的實驗技術要求。除了對小立體角度（solid angle）和對小電流極為靈敏的電子收集器的設計及製作，玻璃管中也需達到極高真空度，否則彈性反射電子可能被殘留氣體原（分）子碰撞而無法進入偵測器的微小開口，造成嚴重觀測誤差。雖然定量分析不易，這張圖之於理論方面的重大意義，則在於三年後當德布羅意提出物質波假說後，玻恩（Max Born，生於1882年、卒於1970年，1954年諾貝爾物理獎得主）等人隨即意識到圖中的極大值可能就是入射電子波被鎳原子晶格繞射造成的。（單調曲線則是電子波被多晶鎳靶原子散射造成的。）

有趣的是，在接下來四、五年的持續鎳靶散射實驗中，戴維森和其合作者測得的散射強度曲線都比圖2中測得的平滑得多，隨著角度變化，並未出現明顯的電流極大值和極小值，因此實驗一度陷入了膠著、乃至停擺狀態。戴維森等人未能重複圖2的原因，應可歸咎於他們一直使用「多晶」鎳靶做實驗，而每一個靶是由數目龐大的奈米尺度晶粒組成，這些小晶粒的晶面方向錯亂不一，因此只是在很偶然的情況下，他們才幸運地意外獲得如圖2中的散射強度隨反射角度的起伏變化。而一直使用多晶鎳的原因，如上所述，是因為至此為止，戴維森心中一直以為可以利用彈性反射電子來測量鎳原子結構。接下來的兩年，既充滿了科學發展過程的戲劇性，也應驗了俗話說的「機會只會留給準備好了的人」。

1925年年初，在一次例行實驗中，玻璃管因故破裂，瞬間注入的空氣使得正處於高溫狀態下的鎳靶嚴重氧化。極端幸運的是，這一次戴維森和革末並沒有如往昔一樣直接更換新靶，而是決定在高真空和高溫下，採用長時間退火過程去清除舊靶表面的氧化層，而就是這一個高溫退火過程，無意間讓一些相鄰小顆晶粒原子重新排列形成較大顆晶粒。清理之後，再次測量，他們竟發現隨著角度變化，散射強度出現了許多個高低起伏的極大和極小值，雖然他們仍無法解釋這些複雜數據，但很快意識到了使用單晶靶測量的重要意義。此時，他們的鎳靶中含有數目少（約10個）、尺度大的晶粒，但戴維森還未想到利用鎳靶作為一個光柵（grating）以讓電子波產生繞射，因此實驗仍處於半迷航狀態，尚未進入最後揭開謎底的階段。

1926年暑假，戴維森夫婦前往英國度假，他順道參加在牛津舉行的一個大英國協科學促進會議。會中，戴維森意外聽到玻恩在演講時指出，包括圖2中的曲線變化可能是德布羅意物質波的散射結果，於是他們（戴維森、玻恩、法蘭克（James Franck，生於1882年、卒於1964年，1925年諾貝爾物理獎得主）、Douglas R. Hartree等）在會場進行了深入討論，並檢視戴維森隨身攜帶的新數據。同時在這個會議上，戴維森才首次得悉薛丁格在數月前發表了波動力學論文，因此在返回美國的輪船上，戴維森憑藉著一本向Richardson借來的德英字典，鑽研這些新鮮「新奇」論文（論文也是向Richardson借來的），試圖瞭解量子力學。回到貝爾實驗室時，戴維森心裡已經大致篤定，他明白加速電子束作為一個實驗工具，最值得並最迫切需要測量的，並不是鎳的「原子結構」，而是鎳晶格的「原子排列」。這時，Arnold也即刻明白這將是一件非同尋常，具有劃時代意義的關鍵實驗，於是除已參加工作的革末之外，他又再指派一位助手C. J. Calbick以及一位手藝精湛的技術員，全力協助戴維森製作儀器和展開新一輪實驗。——Arnold的高瞻遠矚與無私領導，不禁讓人想起「千里馬常有而伯樂不常有」，貝爾實驗室能夠建立和維持爾後在全球科學界的數十年崇高聲譽與對尖端人才的強大磁吸效應，豈是偶然？！Arnold是芝加哥大學物理博士，論文指導教授是密立根，後者對美國純粹與應用科學的興起，舉足輕重，功不可沒。

圖3是1927年戴維森和革末發表於Nature的兩頁長的散射結果，這篇短論文確立了戴維森與G. P. 湯姆森共享1937年諾貝爾物理獎。（極座標）圖中顯示，電子束由上往下垂直射向一塊被仔細固定和對準的鎳「單晶」的一個選定晶面，曲線畫出在各個角度測得的（被一組原子平面）彈性反射的相對電子數目（電流），上X軸和右Y軸旁的數字標示電流收集器與極軸構成的角度。在設計這一個關鍵實驗時，戴維森心中已有很明確的目標，想要利用鎳晶格的週期性原子排列及其適當大小的原子平面間距，使入射電子波散射，以產生由布拉格反射（Bragg reflection）造成的繞射現象。每條曲線旁的數字，標示電子束的加速偏壓大小，偏壓不同時，電子的動量／波長不同，因此曲線形狀（散射結果）各異。最值得注意的是，當偏壓為54 V時，在50處測得一極大相對電流／電子數，一旦偏離50，電流很快減小，有如特定角度處的X光繞射亮紋。從這一反射角度和已從X光測得的精確鎳原子平面間距，便可準確計算出入射電子波長，並證實其與德布羅意的波長預測高度吻合。接著，戴維森等人將在同一晶面下的鎳單晶沿著方位角／極軸旋轉360進行散射實驗，他們明顯看到鎳晶體的（面心立方）三重對稱性，進一步確定了電子的繞射行為和波長大小。（註：能量高的X光能穿透數百層以上原子平面，有如含數百條狹縫的光柵，因此形成銳利繞射亮紋。戴維森使用的低速電子只能穿透少數原子層，有如只含數條狹縫的光柵，因此亮紋強度隨角度變化得比較平緩。戴維森—格末實驗數據的定量解釋牽涉許多細節，請參考文獻[3]。）

圖3  戴維森和革末於1927年4月發表在Nature的電子束對單晶鎳靶散射的實驗數據，論文題目是The Scattering of Electrons by a Single Crystal of Nickel（參考文獻[2]）

戴維森—革末實驗的啟示
天時、地利、人和：在戴維森進行電子束散射實驗之前幾年，勞厄（Max von Laue，生於1879年、卒於1960年，1914年諾貝爾物理獎得主）、W. Friedrich和P. Knipping利用晶體散射證實了X光的（電磁）波動性質，布拉格父子（William Henry Bragg生於1862年、卒於1942年，William Lawrence Bragg生於1890年、卒於1971年，父子兩人共同獲得1915年諾貝爾物理獎）則幾乎同時把X光晶體學建立和發展成為一門新興龐大物質學科。他們這些研究並同時確立了「原子」是真確存在的物質實體（entity），而不僅是一種想像或理論中的虛構單元。因此，當1927年實驗進入緊鑼密鼓的關鍵環節，戴維森選定一系列不同晶面的鎳單晶做為電子束的散射靶時，科學家對鎳晶體結構的知識，包括對稱性和各方向的原子平面間距等，已極為完備，而且貝爾實驗室在技術上也能生長，並精準切割極高品質的鎳單晶樣品供戴維森實驗組使用。圖4中戴維森和革末手上拿的玻璃管，真空度可至少高達10-8 mm汞柱（約10-11大氣壓）。就是這個看似不起眼的一百年前的儀器裝置，測出了（低速）運動電子的波長，如果沒有他們這一系列非常精緻詳盡又耗時的實驗，薛丁格方程式或許要多等待些許年後，才會被科學界嚴肅看待。圖5顯示戴維森—革末實驗玻璃管中的原始鎳單晶靶座與散射儀的照片，這是戴維森深思熟慮的設計加上貝爾實驗室巧奪天工的技術人員，密切合作製作出來的精湛工藝結晶。1927年論文（圖3）發表後約半年，適逢後來被當代科學史家視為宣告量子力學誕生的第五屆索爾維會議在比利時召開，會中戴維森—革末實驗獲得波耳、德布羅意、玻恩、海森堡、Langmuir和薛丁格眾人的一致高度讚揚，認為該實驗不僅證實了波動力學的一般概念，也驗證了波動力學方程式的正確無誤。從1900年普朗克提出黑體輻射公式至此，可謂已瓜熟蒂落，量子力學正式成為了一門物理科（顯）學，而戴維森—革末實驗起了最後臨門一腳的關鍵作用。

圖4  戴維森（右）和革末拍攝於1927年，取自Wikipeia

圖5  戴維森—革末實驗的原始散射儀照片，TS用於旋轉鎳單晶靶的方位角，CS用於把電子收集器旋轉到不同散射度，CL是電子收集器（參考文獻[3]）

歐洲電子波散射實驗的功虧一簣：1924年德布羅意提出物質波長方程式$$ \lambda =h/p$$之後，其中$$ \lambda$$為波長，$$h$$為普朗克常數，$$p$$為（微觀）粒子動量，他也曾提議可以使用金屬晶體讓電子產生散射來驗證，但起初並未引起資深科學家的重視。反而，歐洲好幾位年輕科學家很快就有了利用惰性氣體或金屬薄膜來檢驗電子繞射的想法，並且付諸實驗。只可惜一方面由於他們的實驗設計及操作能力和測量技巧還不夠純熟，也未能獲得他們各自的指導教授，如Maurice de Broglie（德布羅意的哥哥，一位X光實驗學家）、拉塞福和法蘭克等的鼓舞以及在儀器設備上的全力支援，因此進展有限，不了了之，最終讓意志堅定的戴維森和裝備一流，又有前瞻性領導眼光的貝爾實驗室摘得了桂冠。（註：戴維森使用的低速電子的波長，可寫為$$\lambda =\sqrt{150/V}$$  ，電壓V的單位為伏特。一個有趣的假設性問題是，如果德布羅意的哥哥積極投入檢驗物質波長，他們會不會成為一對最早，而且迄今為止唯一獲得諾貝爾物理獎的兄弟檔？）

這幾位開創量子科學的法國、英國和德國宗師們未能及早嚴肅看待，並鼎力支持他們實驗室的年輕研究員去大膽測試德布羅意假說，似乎反映了在科學發展進程中人性面可能帶來的侷限與難題，但又不可簡單一概而論。這些歐洲著名實驗室失去先機，等到（或許在1926年秋牛津科學促進會議之後）想要積極追趕時，戴維森實驗組已經「走得很遠了」。這個大西洋兩岸競爭的故事，帶給我們一些看法和啟示，試說明如下。

（一）這幾位大師們各自隨時都有「重要」課題在手，因此不願意輕易調整或改變實驗方向及資源，以免減緩既定研究課題的進度。另外，拉塞福似乎還認為當時劍橋大學卡文迪西實驗室的真空技術，難以支撐進行電子束散射實驗所需的極高真空度要求，而這點正是貝爾／工業實驗室得天獨厚的優勢。所以，我們幾乎可以說，若沒有了真空技術的發明和持續改良，也就沒有近代物理的誕生。此外，戴維森—革末實驗也要求極高電流解析度。

（二）自然科學的本質常在於創新，老手雖然功力更深，更加精進，但新手則更有改變方向的勇氣與衝勁。不過，這點似乎不太適用於戴維森，因為如前文所說，圖3的結果發表時，他已經46歲了。另外，密立根也是年近40歲才決意展開前瞻科學課題的探討，他的油滴實驗開始於41歲時，光電實驗則開始於46歲時，都早過了所謂「青年才俊」之齡。

（三）湯川秀樹（Hideki Yukawa，生於1907年、卒於1981年，1949年諾貝爾物理獎得主）於1929年大學畢業後的幾年間，覺得量子力學已經發展成熟，他的起步太晚了，因此有了研究原子核和宇宙射線的想法，因為他覺得很少有別的人正在做這樣的研究。到了1938–39年，其他科學家也開始進行各種類似的研究，但他胸有成竹，認為「我〔湯川〕已經沿著我認為可能的路線走得很遠了」。戴維森參加牛津會議後，應已意識到了歐洲的數個實驗組將會積極投入驗證德布羅意波長，因此他說服Arnold首肯支持，又將實驗結果（圖3）刻意發表在Nature雜誌而非美國期刊，他的十年辛苦終於開花結果。這讓我們想起了（唐）楊巨源〈城東早春〉絕句：「詩家清景在新春，綠柳纔黃半未勻。若待上林花似錦，出門俱是看花人。」費曼說：「如果你的研究方向和其他人一樣，那麼就得要超越一大票人。」湯川秀樹則早已在自傳《旅人》中寫道，他要做一個「陌生土地的遍歷者，荒野開拓者。」

（四）德布羅意物質波長理論一經提出，即刻獲得愛因斯坦的肯定與支持。1925年初，戴維森和革末在因高溫退火意外獲得大晶粒的鎳靶後測得的新數據，曾引起玻恩和法蘭克的興趣，法蘭克因此提議可讓電子束射過多晶金屬薄膜並研究其散射圖形。可惜法蘭克指定了一位剛來到哥廷根大學的新生Walter Elsasser進行這一項實驗，雖然Elsasser興致高昂，對德布羅意的預測充滿信心，但他因經驗不足，沒做出明確結果。兩年後，G. P. 湯姆森即使用同樣方法，測得了如同X光繞射般的電子衍射圖形。然而，科學發展的軌跡畢竟是曲折蜿蜒的。當德布羅意物質波理論一經發表，最先（略早於或與玻恩約同時）想到圖2可能就是電子波繞射現象的，應是21歲的Elsasser。Elsasser很快向愛因斯坦解釋他對圖2及戴維森早期數據的理解，此時盛名已如日中天的愛因斯坦回答說：「年輕人，你正坐上了一座金礦。」

結尾

戴維森去世後，曾經擔任貝爾實驗室研究總監和董事會主席的Mervin J. Kelly寫了一篇30頁長的戴維森傳記（參考文獻[6]），文章內容親切且對戴維森充滿敬意，除了描述戴維森的生平與詳盡解說戴維森—革末實驗的來龍去脈，他更讚譽說戴維森可以被稱作「貝爾實驗室基礎研究之父」，這句話是對戴維森的極崇高禮讚。自戴維森首開記錄迄今，貝爾實驗室已經獲得過十個諾貝爾獎及五個圖靈獎。戴維森自己回憶說，他的成功是因為他從密立根和Richardson兩人學到了「物理學家的觀點——他的心態習慣——他看待事情的方式」。薪火相傳，革末則回憶說，他從戴維森身上學到太多了，包括如何做實驗、如何思考這些實驗、如何寫出這些實驗（結果），以及別人曾經做過哪些相關工作了，等等。

致謝：感謝中央大學楊仲準教授、天津大學李志青教授和輔仁大學吳至原副教授仔細閱讀文稿及提出修正意見。
本文綜合參考了下列文獻：(1) C. Davisson and C. H. Kunsman, Science 54, 522–524 (1921). (2) C. Davisson and L. H. Germer, Nature 119, 558–560 (1927). (3) C. J. Calbick, Physics Teacher 1, 63-91 (1963). (4) R. K. Gehrenbeck, Physics Today 31, 34–41 (1978). (5) A. Russo, Historical Studies in the Physical Sciences 12, 117–160 (1981). (6) M. J. Kelly, Clinton Joseph Davisson: A Biographical Memoir (National Academy of Sciences, 1962).

林志忠
台灣陽明交通大學電子物理系
(2024.05.29)