邁向解析力學之路第三集: 提出最小作用量原理的莫佩爾蒂

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論起堪稱物理學基石的定理﹐許多物理學家都會選擇「最小作用量原理」，舉例來說，開創量子理論的普朗克在1909年的一篇文章曾經這麼寫道:

在上個世紀物理科學所發展出那些或多或少的普遍規律中，最小作用量原理，就其形式和全面性而言，可以說是目前為止，最接近理論探究的理想目標。 如果正確地理解的話，(可以發現)它的重要性，不僅適用所有的力學過程，甚至擴展到與熱和電動力學的問題。在它所適用的科學分支中，它不僅解釋了目前遇到的現象的特徵，而且還提供了可以完全描述它們如何隨時間和空間的變化的規則。只要輸入一些必要的常數，選擇適當的外在條件，它就可以提供與它們相關所有問題的答案!

照理說，提出這麼重要的原理，他的大名應該是無人不知，無人不曉才對，但是事實上，莫佩爾蒂(Pierre-Louis Moreau de Maupertuis, 1698-1759)卻不是太出名，這背後藏著相當複雜的一段歐洲學界鉤心鬥角的驚悚故事，就讓阿文說給您聽吧。

故事的主人翁，莫佩爾蒂，出生於法國聖馬洛的一個富裕的商船海盜家庭。大家可能會好奇。海盜家居然會出學者?其實嚴格地說法文的「corsaire」是名義上受雇於法國國王，可以在海上攻擊，甚至掠奪敵國船隻的非正式海上武裝人員，他們能夠出售掠奪所得而得利，但是只限於敵國的商船。如果搶了本國，還是中立國的船，還是會被吊死的喔。所以算是高風險的「合法」海盜。他的父親參與了許多與皇室關係密切的企業，因此他不僅社會地位被提升，也得到相當的政治影響力。他不但是商業委員會成員，同時也是布列塔尼州的代表。皮埃爾·路易大概也是科學史上少見的媽寶，他的母親對他的寵愛，到了匪夷所思的地步。這讓莫佩爾蒂的弟弟莫羅·德·聖埃利爾非常嫉妒他的哥哥，因此他變得非常討厭皮埃爾·路易。這也讓我們的主人翁的人際關係日後出了大問題，也不是什麼奇怪的事了。

1714年，莫佩爾蒂被送往巴黎的拉馬爾什學院 (Collège de la Marche)就讀。 著名的笛卡兒派哲學家，馬勒伯朗士，六十年前就曾在這所著名的大學學習。在巴黎待了兩年後,莫佩爾蒂的母親卻堅持叫他回到聖馬洛的家。 他於 1717 年開始學習音樂，但很快就對數學產生了濃厚的興趣。接下來他要選擇職業時，原本

莫佩爾蒂有意參加海軍，這似乎是一個很有吸引力的職業，但他的母親認為這太危險了，百般阻攔，不讓他從事這個選擇。所以他的父親只好為他弄到了火槍手中尉(Musketeers)的職位，他還於 1718 年加入了駐紮在里爾(Lille)的拉羅什·蓋永 (La Roche Guyon) 軍團。 儘管這是當時大多數年輕人夢想的職位，莫佩爾蒂並不怎麼喜歡。 1722 年，他放棄了騎兵軍官的職業生涯，住在巴黎，享受著咖啡館的知識分子生活。 他與劇作家、小說家和記者馬里沃 (Marivaux)、劇作家拉莫特(La Motte)以及數學家約瑟夫·索林(Joseph Saurin)、尼科爾 Nicole和泰拉松(Terrasson)成為了朋友。 他原本對數學就有興趣，在這些人的指導下，他進步神速。1723 年就被批准加入法國科學院，隔年他發表了第一篇論文《音樂樂器的形狀》，研究了樂器形狀對其所發出的音符特徵的影響。 隨後又在1726 年發表關於最大值和最小值的論文，1727 年發表關於擺線的論文，以及1727 年、1728 年和1729 年相繼發表關於曲線的論文。在此期間，莫佩爾蒂也開始對生物學感興趣。 他擔任博物學家比格農的秘書，並寫了一篇關於蠑螈的重要論文，顯示了他作為優秀的自然觀察者的才能。 1728 年，莫佩爾蒂訪問了倫敦，在這次短暫的訪問中，他被選為英國皇家學會會員。

為了擴大他的數學和科學知識的範圍，莫佩爾蒂前往巴塞爾跟隨著名的數學家，約翰·白努利(Johann Bernoulli，1667—1748)學習。 1729 年 9 月 30 日，他在巴塞爾入學，並在約翰·白努利的家中度過了整個學期。 在巴塞爾大學，他接受了優秀的教育和培訓。 他從他的老師約翰·白努利那裡學到了笛卡兒提出的太陽系渦旋理論模型和萊布尼茲的力學觀點，約翰·白努利是當時這些理論最強有力的支持者。 然而，與此同時，莫佩爾蒂也從約翰·白努利那裡學到了牛頓的理論，白努利雖然接受了萬有引力的結果，但卻希望萊布尼茲的形上學能夠為牛頓的理論提供一個解釋，而牛頓卻完全無法解釋。 當兩個物體被真空分開時，它們如何相互作用。在他眼中，牛頓的力學是「知其然不知其所以然」，不能讓他完全滿意。這個態度當然也影響了莫佩爾蒂。

1730 年 7 月，莫佩爾蒂從巴塞爾回到巴黎，開始運用他在曲線方面已經累積的專業知識來撰寫力學論文。 到 1731 年，他寫出了第一篇關於天文學的論文和另一篇關於微分方程的論文，並迅速贏得了數學家和科學家的聲譽。 1732 年，他在《倫敦皇家學會哲學彙刊》上發表了一篇關於旋轉體的論文，特別討論了土星環的性質，他認為土星環是彗星被土星捕獲的尾巴。 這是一篇有趣的論文，但其中包含一些錯誤，也顯示莫佩爾蒂尚未完全掌握牛頓理論。但是他儼然已經是法國鼓吹牛頓體系的急先鋒了。

1732 年 11 月，他在法國發表了重要論文《星球的形狀Figures des astres》，在這篇論文，莫佩爾蒂對當今最大問題即地球的形狀，表明了自己支持牛頓的立場。在1730 年代，地球的形狀是學界爭執的焦點。 莫佩爾蒂追隨牛頓，預測地球應該是扁圓的形狀，而他的競爭對手，巴黎天文台的雅各·卡西尼，則是從在天文學上測量，認定地球是扁長的。天文觀測如何決定地球的形狀呢? 很簡單，只要沿著子午線向北走，每晚測量周日運動的極點仰角，就能決定當地的緯度，所以只要縝密地測量沿子午線行走的距離就能估算在子午線上一度對應的長度是變長還是變短了。為了解決這個爭端，1735 年 5 月，巴黎科學院派出一支探險隊前往秘魯測量地球。 該組織由拉康達明(Charles Marie de La Condamine 1701– 1774 )率隊，成員包括布格(Pierre Bouguer 1698– 1758)和戈丁 (Louis Godin 1704 – 1760)。 由莫佩爾蒂率領的第二次探險隊被派往北極圈的拉普蘭，也是為了測量子午線的長度。 1736 年 5 月 2 日，科學家克萊羅和加繆Camus在莫佩爾蒂的帶領下離開敦克爾克。 他們在芬蘭北部的托爾尼奧建立了基地，儘管面臨夏季昆蟲襲擊和冬季嚴寒的問題，但仍成功完成了測量。 他們在回程途中在波羅的海遭遇海難，但他們的觀測記錄完好無損。 詭異的是，莫佩爾蒂從拉普蘭帶回了兩個當地原住民女孩。 回到巴黎後，他參加了 1737 年 8 月 20 日的科學院會議，報告說他的結果證實了地球是扁圓的。 他於11月13日向學院做了完整的報告。他的研究結果發表在一本詳細介紹其探險過程的書中，基本上解決了對他有利的爭議。 這本書包括了這次探險的冒險敘述，以及他們在探險途中記錄的瑞典凱馬耶爾維銘文(Käymäjärvi inscriptions)的記述。 (這些銘文首次報導於 1689 年，被認為是人造的。 然而，根據考古學家、地質學家和歷史學家 2018 年的報告，發現這些銘文不是人造的，而是自然過程的結果!)回國後，歐洲幾乎所有科學協會都找他加入，成為他們的成員。

莫佩爾蒂因為這次探險而聲名大噪，但是他對雅各·卡西尼發表一些惡毒的攻擊

連他的朋友都不敢苟同。使得他與克萊羅和約翰·白努利原本就有的嫌隙更加惡化。 1739 年，他結識了伏爾泰與他的情人，夏特萊夫人，並在他們位於錫雷的家中住了一段時間。他後來試圖修復與約翰·白努利的關係。到 1739 年底，他還因從事航海問題的研究而獲得了豐厚的薪水。此時莫佩爾蒂名滿全歐，自然也成為各方挖角的對象。1740 年，普魯士國王腓特烈二世邀請他前往普魯士。腓特烈告訴莫佩爾蒂，他將仿效巴黎科學院，建立柏林學術院，並打算邀請他擔任院長。此時奧地利公國繼承戰爭(1740-1748)爆發，腓特烈二世忙於軍務，無暇他顧。1741年，莫佩爾蒂騎著驢子，前去前線要與腓特烈二世會合，不料腓特烈因擔心戰局不利而提早離開戰場，而莫佩爾蒂卻被奧地利人俘虜。 不過由於他盛名在外，所以他受到奧方的友善對待，被帶到維也納，但很快就被釋放並返回柏林。這讓他非常狼狽。所以1741年 六月，他回去巴黎一趟。隔年他當選為法蘭西科學院的主任，並於1743 年 6 月 27 日，他成為被稱為"les immortels"(不朽者)法蘭西學院的院士。 他的席次是第八號。成為學術院的院士之後，他在1744 年於巴黎科學院發表了《Accord de plusieurs lois naturelles qui avaient paru jusqu'ici incompromise迄今為止似乎不相容的幾個自然定律的協議》，表明光在折射過程中的行為–當它彎曲進入一種新的媒介時－它所遵循的總路徑，從第一種媒介中的一個點到第二種媒介中的一個點，最小化了他所稱為的作用量。其實這個原理費馬早就在1662年提出，他指出光會走時間最短的路徑，但是莫佩爾蒂指出沿著光的路徑把折射率加成起來的作用量正好就是光所走的時間。當然，對於一般物體，如果有類似的作用量存在，形式絕對不同，這個思想與牛頓以力為中心的系統，大異其趣，所以這篇論文可以算是他一系列關於最小作用量的濫觴。

1744 年秋天，莫佩爾蒂前往巴塞爾，並從那裡前往弗萊堡圍攻戰中的法國營地。 然後，他帶著法國勝利的消息返回普魯士，並轉告腓特烈。當時法國與普魯士共同對抗奧地利。此時柏林學術院已初具規模，腓特烈再次敦促莫佩爾蒂成為第一任院長。 他決定接受這一職位，並於 1745 年春天返回巴黎，在就任新職務之前整理好自己的事務。 在柏林期間，他安排了與埃莉奧諾·博克的婚姻，在短暫在巴黎停留後，他於 1745 年 8 月 25 日在柏林與她結婚。

莫佩爾蒂去了柏林，巴黎學術院在死對頭雅克·卡西尼領導下於 1745 年 9 月取消了他的院士資格。 1746 年 5 月 12 日，莫佩爾蒂被正式任命為柏林學院院長，六月他的父親去世，他回巴黎奔喪，一直待到九月才又回到柏林。儘管他非常努力地想將柏林學術院辦好，但是事情卻不順利。 一方面，他不會說德語，儘管學院的官方事務是用法語或拉丁語進行的，但負責日常管理的職員還是使用德語，這讓他感到處處掣軸。 另一個問題是腓特烈雖然希望他的學院成為世界一流的學術聖地，但他不打算提供必要的資金來吸引頂尖人才。 莫佩爾蒂試圖透過任命不在科學院工作的外國科學家作為準成員來克服這個問題。 當然，學院裡確實有一位才華洋溢的人，那就是尤拉。而尤拉也的確成為他在柏林最重要的幫手。1746 年，在成為柏林學院院長後不久，他首次闡明了“最小作用原理”，他向柏林科學院提交了《Loix du mouvement et du repos》（運動與靜止定律），

該論文表明點在所有自然現像中，稱為「作用」的量往往會被最小化。這個量可以在數學上表達為所涉及的物體質量、行進距離和行進速度的乘積。他的推理中的缺陷主要在於，沒有說明為什麼質量、速度和距離的乘積應該被特別視為與作用相對應，更沒有理由說明為什麼其最小化應該像努力最小化一樣成為“經濟”原則。 事實上，質量、速度和距離的乘積在數學上相當於動能和時間的乘積； 因此，質量和速度的乘積對距離的積分等於動能對時間的積分。有趣的是，這個量的因次正是普朗克常數的因次。對莫佩爾蒂而言，運作這個原則應該得到與牛頓力學相同的答案，但是他認為他的這個原理正是「知其然不知其所以然」的牛頓力學中那個「所以然」。

四年後，莫佩爾蒂發表了《宇宙學論文》， 莫佩爾蒂希望這原理能統一宇宙法則，並將其與上帝存在的嘗試證明結合起來。「最小作用量」聽起來像是經濟原則，大致相當於日常生活中節省精力的理念。 節省努力的普遍原則似乎在宇宙的建構中展示了智慧的運作。 在莫佩爾蒂看來，這似乎是一個比任何其他可以提出的都更有力的論據，證明無限智慧的造物主的存在。他寫道：-[從最小作用原理]由此推導出來的運動定律，被發現與自然界中觀察到的生物運動的定律完全相同，我們可以欣賞它應用於所有現象，在動物的運動中，在植物的植被中，在天體的運轉中：宇宙的奇觀變得更加宏偉，更加美麗，更加配得上它的創造者這些如此美麗、如此簡單的法則，也許是事物的創造者和組織者在物質中建立的唯一法則，以影響可見世界的所有現象。因此，最小作用原理不僅是莫佩爾蒂在物理學多個領域的工作的頂峰，他也將其視為他在哲學上最重要的成就，為上帝提供了無可爭議的證明。

既然最小作用量這麼重要，為什麼莫佩爾蒂的名聲卻不怎麼樣呢?除了因為莫佩爾蒂的個性不好，經常與人發生爭吵之外，他晚年與塞繆爾·柯尼希和伏爾泰的爭論，讓他是不是第一個提出這個神奇原理的資格受到懷疑，也是原因之一。

塞繆爾·柯尼希是一位數學家，莫佩爾蒂認識他很久了。 兩人都是約翰·努利的學生，都曾教過夏特萊，都研究過地球的形狀，莫佩爾蒂還提議塞繆爾·柯尼希競選柏林科學院院士。 兩人之間的恩怨始於 1751 年，當時柯尼希訪問柏林，並向莫佩爾蒂遞交了一份論文，供其考慮出版。 顯然莫佩爾蒂從未讀過它，只是在第二天將手稿還給他並建議出版。等到1751年3月出版，莫佩爾蒂才第一次讀到它，發現它一方面認為最小作用原理是錯誤的，另一方面又認為萊布尼茲是第一個提出該原則的人! 柯尼希宣稱這一說法的證據是 1707 年萊布尼茲寫給雅各布·赫爾曼的一封信。然而柯尼希拿不出萊布尼茲那封信的原稿，所以莫佩爾蒂的好友尤拉反過來指控對手偽造文書。這件事鬧得滿城風雨。此時莫佩爾蒂已經出現了嚴重的健康問題。 而且他向來對批評他的人從來就很不客氣，

隨著健康狀況的惡化，他變得越來越敏感，多年前在關於地球形狀的爭論中，他就曾經對對手進行的惡毒人身攻擊。 最重要的是，他認為「最小作用量原理」是他一生最偉大的成就，也是他將載入史冊的成就。 所以自然對柯尼希的「背叛」怒火中燒!尤拉對他的強烈辯護仍然無法平息他的怒火，他利用自己作為學術院院長的地位，讓學院公開宣稱柯尼希偽造了這封信。 這讓柯尼格別無選擇，只能從學院辭職。 伏爾泰曾經是莫佩爾蒂的密友，但兩人在幾年前就已經鬧翻了。 伏爾泰現在用起他「偉大」的文學技巧，來詆毀莫佩爾蒂的思想、他的拉普蘭之旅，特別是諷刺莫佩爾蒂在「北方的多情冒險」，這可真是相當狠毒了。腓特烈試圖支持他的學術院院長，但莫佩爾蒂的健康狀況在壓力下崩潰了，他於1753 年離開柏林前往巴黎。腓特烈聲稱學院不能沒有院長，所以他又不得不回到柏林待了一年多。他的聲譽在巴黎和柏林都受到了損害。1754年法國與普魯士發生了七年戰爭，他的處境變得更為尷尬。到了1756 年他的死對頭雅各·卡西尼去世，還多久莫佩爾蒂的學術院院士資格就回復了，他甚至拿到了巴黎科學院的退休年金。 所以在1756 年 7 月，他回到巴黎，9 月時他回到了家鄉聖馬洛。 由於健康狀況每況愈下，他的醫生建議他前往義大利他於 1757 年 6 月出發。但是他居然是留下妻子和孩子自己帶著一名年輕女孩跑到法國南部休養，，他在波爾多待了七個月，最終於 1758 年 10 月前往巴塞爾，並在約翰·白努利 (Johann Bernoulli) 家作客。 到了第二年夏天，他意識到自己的生命即將結束，他要求他的妻子出發前往巴塞爾與他在一起。 在她到達巴塞爾之前，他就去世了。用今天的標準，這真是渣到不行了。

雖說是個大渣男，莫佩爾蒂還是科學史上一個重要的角色，除了最小作用量之外，他還發表了許多主題的著作，包括數學、地理學、道德哲學、生物學、天文學和宇宙學。他有一本重要著作是 1745 年的《維納斯體格》，其中他討論了胚胎形成的生物學理論。 這項工作以及莫佩爾蒂關於遺傳的其他工作提出了一系列猜想，有些人將其視為進化論的早期版本。如果他進一步發展他的思路，並將其發展成為一個更完整的理論，那麼他可能會提出進化論的基礎。 儘管他提出了一種物種發展成另一種物種的機制，但他沒有尋找物種變化的驅動機制，也就是天擇。莫佩爾蒂認為有機物擁有一種能自行組織的“智能”，類似於當代化學的親和力概念。後來，他在一部更正式的筆名著作中進一步發展了他對生物的看法，該著作探討了遺傳。我們可以大膽假設，在莫佩爾蒂心目中，沒有生命的物理系統與有意識的生物，都「盲目」遵循著最小作用量而努力地趨向造物者為它們設定的最佳狀態。雖然他並沒有像尤拉或是後來的拉格蘭日那樣，發展出讓最小作用量成為解析力學基礎的數學技巧，持平來講，他依然是解析力學發展過程中重要的一員。透過他，我們發現，在十八世紀，物理學仍然被視為是一個更為龐大，包含生物與非生物的宏偉體系的一部份。這一點，對二十一世紀，目睹生命科學逐漸趕上物理科學的我們，應該也是頗有啟發吧。

參考資料:

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O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Pierre Louis Maupertuis", MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews