粒子物理行 （十七）尺度 (上)

物理學的一個令人讚嘆的發現，是一方面不同尺度下的物理現象呈然截然不同的面貌，而另一方面所有現象都原則上能以簡潔的粒子物理學解釋。不同尺度下的物理之間的聯繫，是理論物理學的一個重要課題。有趣的是，在大部份情況下，要粗略了解這課題的基本原理，並不須要複雜的計算，而只須簡單而敏銳的推敲。在本章和下章，我嘗試用顯淺的方法從粒子物理學的角度闡明不同尺度下物理現象的屬性。

尺度

首先，讓我們熟習一下自然單位系統。在物理學裏，有兩個最基本的常數，一是光速c，另一個是約化普朗克常數。光速是粒子速度的上限，是狹義相對論中時空結構的唯一參數；普朗克常數告訴了物理量怎樣被量子化，是量子力學的唯一參數。c的量綱是距離/時間，而的量綱是能量×時間。我們可以定義一單位系統，在這系統裏c和的值皆為1，並且無量綱。我們稱這單位系統為自然單位系統。在自然單位系統裏，基本量綱只有一個，可取為距離、時間或能量的其中之一。在粒子物理裏，由於實驗量度到的是粒子的能量和動量，物理學家常以能量作為基本量綱，並以電子伏特（eV）作為單位。那麽，在自然單位系統裏，一切物理量的量綱都是能量的冪次。給定物理量X，如果我們把其以能量冪次計算的量綱記為[X]，那麼能量的量綱便是[能量]=1。由於的量綱是能量×時間，並且無量綱，即[h]=0，我們得到時間的量綱是[時間]=-1。由於c的量綱是距離/時間，而c無量綱，所以距離的量綱是[距離]=-1。

類似地，我們可推斷[速度]=0，[質量]=1，[動量]=1。所以，時間和能量的量綱相反，而距離和動量的量綱相反。這是當然的，因為在量子力學裏，粒子是波，其波長λ與動量p有關係，而波的週期T與能量E有關係。給定一個微觀物理過程，我可考察該過程所涉及到的特徵長度尺度L和特徵時間尺度T，那麽在自然單位系统下隨之對應的便是一動量尺度p~1/L和一能量尺度E~I/T。這是量子物理的核心概念，即長度尺度越小，動量越大；時間尺度越小，能量越大，這都是測不準原理的體現。我們將反覆使用這概念來推導出一些有趣的結果。

原子尺度

我們可從粒子物理學的角度粗略推斷原子的大小。考慮氫原子，它由一顆質子(p)和一顆電子(e^-)組成。質子和電子帶有相反電荷，透過交換虚光子來發生交互作用，從而它們之間存在静電吸引力，因而電子環繞着質子運動，這就形成了氫原子（圖一）。由於質子遠重於電子（質子質量比電子大約二千倍），在質心系考慮質子和電子的運動時，我們可假定質子近乎靜止。那麽，我們只須考慮電子在質子產生的靜電場下的運動。設質子的電荷為+e，電子的電荷為-e，質子與電子之間的距離為r，那麼它們之間的静電吸引力為F_ep=e²/4πr²=α/r²，其中α=e²/4π≈1/137為精細結構常数（fine structure constant）。假設電子以恆定速率v環繞質子作圓周運動，那麽電子的質量m_e乘以其向心加速度v²/r將等於質子與電子間的静電吸引力F_ep：

                                                                                                                 (1)

原子的特徵長度尺度就是其大小，即電子的軌道半徑r，與之對應的是電子的特徵動量尺度p~1/r。我們把m_ev=p~1/r代入方程(1)便得到r~1/m_eα，即玻爾半徑（Bohr radius）r_B=1/m_eα。我們須注意到，1=≈200 MeV fm=2×10^-7 eV m。從m_e≈0.5 MeV和α≈1/137，我們得到玻爾半徑r_B~1 keV^-1，即r_B~10^-10 m。波爾半徑不但是氫原子的特徵尺度，也是其他原子的特徵尺度，因為所有原子的組成都是基於質子和電子間的静電吸引力，因而以上對原子尺度的推導在數量級上對所有原子都成立。

高能尺度的退耦

以上對原子尺度的推導十分簡單，但意義很深刻。玻爾半徑r_B=1/m_eα 僅依賴於兩個關於基本粒子的參數：一顆基本粒子---電子---的質量m_e和量子電動力學中光子與電荷的耦合强度α。我們可以問，為什麽原子尺度不依賴於其他基本粒子的參數，如質子中夸克的質量或膠子與夸克的耦合强度？由於色荷禁閉，強交互作用是一短程交互作用，其特徵能量尺度為~200 MeV，對應的長度尺度為~1 fm=10^-15 m。這意味着，對於特徵長度尺度遠大於10^-15 m，或特徵能量和動量尺度遠小於200 MeV的物理過程，我們只見到一顆顆不帶淨色荷的强子，而看不到强子裏帶色荷的夸克和膠子，從而可以忽略强交互作用。這就是為什麼我們在考慮原子物理時可忽略強交互作用。對於弱交互作用，由於傳遞弱交互作用的粒子（W和Z粒子）的質量極大，數量級為100 GeV，即對應10^-18 m，因此不會影響特徵長度尺度為10^-10 m的原子物理。

這是一個普遍現象，即高能尺度的物理在低能過程中的退耦（decoupling）。我們可以用量子力學中粒子的波動性來了解這退耦現象。在量子力學裏，粒子在某時空點出現的概率正比於該粒子的波函數（即位置空間的輻）在該時空點的值的平方。我們可把波函數的時空分佈粗略地用正弦波來描述，如圖二，其中横軸代表空間或時間座標，縱軸代表輻的值。波的波長越短，所對應的動量或能量便越大。我們可考慮一個過程，它同時涉及高能和低能物理。那麽，根據費曼路徑積分，我們須要把高能過程的輻和低能過程的輻叠加起來然後取平方，方能得到概率。如圖三，我們把短波長的高能輻和長波長的低能輻加起來，然後取平方，結果得到三個項。第一項是高能輻的平方，處處為正值；第三項是低能輻的平方，也是處處為正值；第二項是高能輻和低能輻相乘而得的干涉項，可正可負。假設我們用一位置和時間解析度很低的低能探測器來觀測該粒子，那麽我們測量到的是概率的空間和時間平均值，如圖四, 其中波頂的長横線代表求平均值。在圖四中，干涉項的快速正負擺動在求平均後幾乎為零，只有第一和第三項在求平均後不為零。對於第一項，即高能輻的平方，在求平均後，它幾乎是一常數；對於第三項，即低能輻的平方，由於波長長，求平均後依然保持其正弦狀。從這些直觀圖像，我們明白到為何高能物理和低能物理互不干涉。

值得注意的是，在圖五a裏，高能輻的平方在求平均後雖然為常數，但不為零。這表示高能物理雖然不干涉低能過程的動力學，但對低能過程的靜態量有供獻。例如，在氫原子的例子中，質子的質量便是由强交互作用決定，其值的數量级為。質子的質量在原子物理中是一給定參數，而當我們要準確計算氫原子能階的極精細結構時，的確要先知道質子的質量。也就是說，雖我們在考慮原子物理時無須顧及夸克和膠子之間的强交互作用，強交互作用的存在卻章顯在低能物理的參數中。高能物理在低能過程中的退耦以及對低能物理參數的供獻，是現代理論物理學的一個核心概念，即一切理論皆為有效理論（effective theory）。所謂有效理論，即一個在特定低能領域有效的理論。例如，只考慮電子和質子間的瞬時静電吸引力的原子物理便是一有效理論，它只適用於描述動量數量級為m_eα 或以下的低能物理過程。又例如，粒子物理的標準模型，它也可被視為某個極高能理論（如大統一理論或弦論【註1】）在低能退耦後的結果。高能物理的退耦現象的最常見例子，其實就是我們日常遇到的力學現象，如建築物中力的平衡、交通工具的運作、海水的流動、各種氣象現象等。對於這些現象，我們只須運用牛頓力學來描述，即牛頓力學是描述這些現象的有效理論，而毋須用到相對論、量子電動力學、量子色動力學和粒子物理的標準模型等描述高能現象的理論。

原子能階

以上我們推導了原子的大小尺度---波爾半徑r_B=1/m_eα，它對應的動量尺度為p~m_eα。從動量與速率v的關係p=m_ev，我們得到v~α，即原子中電子的速率大小與精細結構常數相約。我們可從這得知電子的動能為，並且其勢能為。因此，原子的特徵能量尺度為m_eα²。由於，原子中電子的能量尺度遠小於其動量尺度。這意味着，對於電子態的時間演化而言，電子與質子間透過虚光子的動量交換是瞬時的，因此勢能只依賴於電子和質子之間的瞬時距離r，而不依賴於它們的過去歷史。所以，對於如靜電吸引力的瞬時超距作用，我們之所以能忽略光子傳遞交互作用所需的時間，其實是基於低速運動中動量尺度在低能量尺度下的退耦現象。

從α≈1/137和原子動量尺度p~m_eα~1/r_B~1 keV, 我们可知，原子能量尺度為m_eα²~10 eV。物質的顏色取決於組成它的原子所能吸收的光子能量，即取決於原子的能階間隔ΔE，而其數量級為ΔE~10 eV，對應的光子波頻為1/T ~ΔE~10 eV。從此我們可推斷，可見光的波頻為 ~10^-15 Hz，事實的確如此。

註解

1. 大統一理論預言標準模型中的三種基本交互作用在極高能級~10¹⁶ GeV中會統一成單一種基本交互作用。弦論預言一切基本粒子皆是弦，而弦的不同激發態對應不同的基本粒子。