邁向解析力學之路第一集：吵架王達朗拜(上)從棄嬰到院士

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阿文曾教過大學部二年級的「力學」必修課，教了整整三年，由於要求太過嚴格，不少同學修了三次，從大二修到大四才過，被戲稱為「幽靈船」，因為有些學生一修再修，始終無法通過，簡直像華格納的歌劇「漂泊的荷蘭人」一劇的幽靈船一樣，永遠無法上岸！ 因此阿文被戲稱為「幽靈船船長」。其實阿文對「力學」的確情有獨鍾，因為「力學」從原本一門研究滑輪，槓桿等實際工程器材的學問，在笛卡兒、牛頓等偉大學者的努力下，逐漸華麗轉身，成為描述宇宙的宏偉數學架構，現代物理學於焉而生，當然令人肅然起敬！

但是故事並沒有在牛頓之後就戛然而止。 從牛頓的「原理」問世之後，力學仍然持續向著嚴謹化，體系化的方向大步邁進。我們通常將這個最後成型的高度數學化的學問稱之為「解析力學」，不過在比較古老的文獻上，也被稱為「理論力學」(法文mécanique rationelle，英文：Rational Mechanics)，實則更貼切。它成為物理其他分支的典範！統計力學、電動力學。相對論力學，乃至於量子力學都是從它身上得到養分而開花結果。所以說「解析力學」是眾物理理論架構之母，絲毫不為過。在它發展的過程中，有許多重要的人物參與其中，阿文打算將這些人物與解析力學的發展交織而成的故事，撰寫成一系列的文章。原本應該從牛頓的死對頭，萊布尼茲講起，無奈他的故事太長，必須獨立成一個系列，所以阿文就將第一篇的主角，改成了科學史上少見的吵架王。就是以「達朗拜原則」、「達朗拜算子」、「達朗拜級數收斂準則」而聞名的尚·達朗拜(Jean-Baptiste le Rond d'Alembert，1717–1783) 。

說起吵架王，大家印象最深刻的，莫過於周星馳的「九品芝麻官」中有一段，主人翁潛藏在窯子裡，結果被老鴇斥責一番；從此之後，他痛下決心，苦練口技，最後成了一張口就罵死魚蝦無數的「吵架王」。科學家裡，喜歡跟人吵架的，所在多有，特別是有競爭對手的，更是屢見不鮮；但是這一集的主角，可是喜歡吵架喜歡到逢人就吵，吵到朋友都翻臉成仇。他若是吵架王亞軍，保證沒有人敢自稱冠軍。但是他不但是個數學天才，也是著名法國啟蒙運動中的一個要角。著名的「百科全書」其中數學相關的內容，許多都是出於他的手筆。這樣才華洋溢的人，不好好過日子，出了名的難相處，究竟是什麼原因呢?

阿文大膽不負責地猜測，達朗拜乖僻的個性，也許跟他孤獨的童年有關吧？說起達朗拜的身世在科學史上也算非常罕見。他的父親是一名砲兵軍官，名叫 Louis-Camus Destouches，官拜准將。但是他的母親不是他父親的太太，而是巴黎上流社會著名的交際花，德·滕欽夫人，閨名是克勞汀·亞歷桑德琳·蓋因(Claudine Alexandrine Guérin de Tencin)。她曾是一名貴族出身的修女，她的父親還是地方議會的議長。但在 1714 年獲得了教皇特許還俗，其實在此之前她就與愛爾蘭來的戰爭英雄Arthur Dillon 譜出可歌可泣的戀曲。還俗以後，她就展開了她多采多姿的社交名媛生涯。她的入幕之賓不乏達官貴人，也參予了眾多宮廷內的派系鬥爭。她靠著跟約翰·勞(John Law，法國人通常讀作Jean Lass，1671年4月21日－1729年3月21日）的交情海撈了一筆（約翰·勞是蘇格蘭出身的金融「冒險家」。他於 1716 年在巴黎創立了一家銀行，有權發行紙幣。 起初它非常成功，但在 1720 年倒閉了。史稱「密西西比泡沫」）。而達朗拜是德·滕欽夫人在“多重關係”中懷上的小孩。他的父親在達朗拜出生時，派駐在外，他的母親則是將剛出生的孩子留在了巴黎聖母院北邊的一間小教堂，Saint-Jean-le-Rond de Paris 的台階上。小嬰兒很快被發現，並且被帶到了一個收容無家可歸兒童的收容機構。在那裡達朗拜受洗禮，就以他被發現的教堂為他命名。

當他的父親回到巴黎時，他與年幼的兒子取得了聯繫，並安排由一位玻璃工的妻子盧梭夫人來照顧他。 在達朗拜的眼中，盧梭夫人才是他真正的母親，他的親生母親從來沒有承認過他，而他也一直住在盧梭夫人的房子裡，直到他中年為止。
達朗拜的教育原本是由他的父親一手包辦。但是他的父親於 1726 年去世，當時達朗拜 只有9 歲，幸虧他父親留給他的錢足夠的錢。他父親所屬的 Destouches 家族繼續照顧他的教育，並安排他進入揚森派(Jansenist) 辦的明星學校馬薩林學院(Collège des Quatre Nations)。 他註冊時用了讓-巴蒂斯特·達倫貝格(Jean-Baptiste Daremberg )的名字，但沒多久就改成後世熟知的尚·達朗拜。

馬薩林學院是達朗拜學習數學的絕佳場所。Carron 教授開設的數學課程以法國數學家伐里農(Pierre Varignon 1654年—1722年)的講座為基礎，伐里農是牛頓、萊布尼茲以及白努利家族的朋友，他把微積分引進法國，甚至試著用萊布尼茲的微積分符號來「重寫」牛頓的力學。他在1687年發表的Projet d'une nouvelle mécanique，引入了「力矩」的概念；可以說，他是當代法國「新科學」的泰斗。伏里農從1688年就是馬薩林學院的數學教授，同一年被選為法蘭西科學院院士。後來他還成為柏林學術院與英國皇家學會的院士。有這樣的傳統，達朗拜無疑得到了一流的訓練，而且達朗拜利用學院收藏頗豐的數學圖書館來自學，數學能力變得更強。除了數學訓練，他還在學院學習了笛卡兒的物理學說，但是當他後來形成自己的思想時，就拋棄了笛卡兒的觀點了。

其實馬薩林學院的主要目的原本是培養神學專家，並且是站在揚森派的立場反對耶穌會的神學。然而，達朗拜對學院裡的神學研究覺得非常乏味。1735 年畢業後，他決定從事法律，但他真正的熱情是數學。起初他為了生計，決定要當律師，然後在業餘時間從事數學的研究。著名的費馬正是這麼做，但是到了1738年，達朗拜取得了律師資格之後，他似乎發現他實在不適合在波旁王朝統治下當律師。第二年，達朗拜決定要改學醫學，但他發現這比神學更糟，完全不合他的口味，幾番思量後，達朗拜終於下定決心，要當個學者，因為在他所曾涉獵的所有學科中，他唯一熱衷的只有數學，下定決心後，他在這方面的進步非常顯著，而且他幾乎都是靠自學，可見他真的有很高的數學天賦。

他的學者生涯很快就開始了，1739 年 7 月達朗拜向巴黎科學院宣讀了他的第一篇論文，內容涉及他在雷諾的標準文本Analyze démontrée中發現的一些錯誤，這些錯誤其實影響不大，但卻是他數學生涯的開始。 1740 年，他提交了關於流體力學的第二篇著作，這部作品得到了數學家克萊羅(Alexis Claude Clairault，1713—1765）的稱讚。克萊羅也是力學發展的要角，以後我會為他特地寫一篇。達朗拜下定決心，連續提交了三份不成功的申請。1741 年 5 月，達朗拜憑藉關於積分的論文被巴黎科學院錄取，此時他年方24，不過克萊羅18歲時就被破格選為法國科學院院士，因為克萊羅16歲時就完成了《關於雙重曲率曲線的研究》（Recherches sur les courbes a double courbure）一書。人比人，氣死人，這也種下兩人後來交惡的遠因。

在討論達朗拜的科學貢獻之前，讓我先介紹一下他的個性吧！因為這對他的科學工作發展方式產生了重大影響。雖然達朗拜的生活平淡無奇，他不喜歡旅行，一生都在巴黎科學院和法國科學院工作。晚年前，他的社交活動也不活躍，可是在另一個層面上，他的生活算得上波濤洶湧，簡直可當成一場大戲，因為他幾乎與周圍的每個學者，（狄德羅可能是唯一的例外）最後都鬧到不歡而散。當時的人這麼描述：

達朗拜總是被爭議所包圍。 ...他是一根避雷針，從所有身為哲學家的敵人身上引來了火花。......不幸的是，他將這種......好鬥性帶入了他的科學研究，一旦他陷入爭議，他就會以積極和固執的態度為自己的事業辯護。他從不認為自己可能是錯的……

儘管有與周圍人爭吵的強烈傾向，但達朗拜對數學的貢獻確實非常出色。他在 1743 年出版的《動力學論文Traité de dynamique 》正是將力學推向嚴謹的理論力學更是有不可磨滅的重要著作，他在序言中明確地聲明，試圖改進牛頓的力學系統為力學奠定堅實的基礎。達朗拜是數學家，而不是物理學家，達朗拜不滿意牛頓原先「力」的概念，嘗試在《動力學論文》提議新的動力學系統。他認為力學與幾何或代數一樣是數學的一部分。理性力學是一門基於簡單必要原理的科學，所有特定現象都可以通過嚴格的數學方法推導出來。總而言之，達朗拜認為力學應該成為一個完全奠基在先驗公設，類似歐幾里得幾何的數學系統。

達朗拜透過對力下了一個數學上嚴謹的定義，幫助解決了數學物理學中關於動能守恆的爭議。這本書也包含了達朗拜的力學原理，也就是後世稱為「達朗拜原則」的重要原理。以他為名的達朗拜原則雖然被表達成頗為難解的形式，但是後來被拉格蘭日表達成類似「虛功原理」的形式，更具體地講，是外力的虛功與質點質量乘上加速度再乘上虛位移相等。所以要講這個重要原則，還是要從「虛功原理」談起。

亞理斯多德曾主張當秤處於平衡時，兩端的重量比與兩端到端點的比是互成倒數，這是槓桿原理的推廣。伽利略將這個主張推廣到斜面上的滑輪兩端放砝碼，要達成平衡的條件是兩個砝碼重的比與斜面和高的比成倒數。逐漸地，學者發現靜力平衡的條件是物體受到的力乘上”虛位移”的乘積必須為零。「虛(virtual)位移」這個詞是約翰·白努利(John Bernoulli)最早使用的，是力學機械在滿足幾何限制條件下同一時間作出的無限小位移。像是單擺的話，幾何限制條件就是擺到懸掛點的距離必須保持固定。而雙擺的話，則是第一擺到懸掛點的距離，第二個擺到第一擺的距離都要固定。第一個將這個原本只適用於靜力學的原理用到動力學的是約翰·白努利的長兄雅各·白努利(Jacob Bernoulli)，他在1703年用「虛功原理」研究雙擺的運動，要注意的是，系統每個質點的虛位移並不一定是獨立的，因為系統要滿足特定的束縛，等於是各個質點之間要滿足特定的幾何關係。這個原則乍看之下只是簡單的算術，為何在科學史上占有一席之地呢？這是因為機械系統之間有束縛力，如果用牛頓的方式，因為不知道束縛力的大小、方向，所以解不出系統中質點的運動方程式，而不知道下個時刻的質點位置與速度；反過來，不知道下個時刻的質點位置與速度，也無法得出下個時刻的束縛力，這就變成「雞生蛋？蛋生雞？」的窘境。但是束縛力通常與虛位移垂直，所以束縛力造成的虛功為零，這樣就能”閃過”束縛力造成的困境。

用現代的眼光來看，「達朗拜原理」其實就等於將運動中的力學系統做一個座標變換到質心速度為零的座標系中，然後運用虛功原理，因為此時的系統質心不受力，這等於是將動力學問題轉換成了靜力學了。可是要注意，讓質心維持靜止的座標系並非慣性系，所以必須將質點質量乘上加速度再乘上負號，當作所謂的「假想力」以後考慮進來。在這個座標下所有力（包含假想力）所做的虛位移必須等於零。將假想力移項，就得到外力的虛功與質點質量乘上加速度再乘上虛位移要相等的結論。達朗拜還特別研究牛頓第三運動定律（每一個作用都有一個大小相等、方向相反的反作用力），說明了這個定律對於自由運動的物體和剛性固定的物體（俗稱剛體）都適用。由此我們可以看出牛頓之後，學者們開始要處理像是剛體這類更複雜的系統，牛頓的質點力學遠遠不足，所以才會有達朗拜這樣的數學家跳進來，從事力學的研究。達朗拜清楚地表明了他的立場，他認為力學是基於形而上學原理而不是實驗證據。在閱讀牛頓的「原理」時，他似乎沒有意識到牛頓的運動定律有多麼強烈地建立在實驗證據之上。對於達朗拜來說，這些運動定律是合乎邏輯的先驗命題。這種學風不只是達朗拜一人獨有，而是當時歐陸普遍的現象。十八世紀被學者稱為「理性主義的世紀」不是叫假的。

達朗拜於 1742 年末開始向學院朗讀他尚未出版的《動力學論文》，但不久之後克萊羅也開始向學院朗讀他自己關於動力學的著作。很快地，兩人之間的煙硝味就瀰漫在法蘭西學院內，兩人之間的一場競爭日益白熱化，年輕氣盛的達朗拜居然就停止向學院朗讀這部作品，並帶著這篇論文匆忙出版。這兩位數學家在接下來的幾年裡，競爭變得更加嚴重，也愈來愈意氣用事，彼此批判的言詞也愈來愈辛辣。這些強調理性的學者們，言行舉止其實也不盡理性，似乎也是頗為諷刺的一件事。

當時力學的研究除了延伸到剛體，物體的彈性之外，另外一個重要的範疇則是流體。1744 年，達朗拜將他的結果應用於流體的平衡和運動，並出版了Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides。之前丹尼爾·白努利針對相同的問題發表的論文另一種處理的方法。達朗拜認為他的方法比較好，當然丹尼爾·白努利可不這麼想，兩人之間的關係也因此打壞。達朗拜在巴黎科學院愈來愈不開心，幾乎可以肯定是因為他與克萊羅的競爭以及與其他人的分歧所造成的。

大約在 1746 年左右，達朗拜的生活發生了相當突然的變化，之前他一直滿足於在養母的家裡過著沒有社交但精神活躍的生活。 1746 年，他被介紹到傑弗林夫人(Marie Thérèse Geoffri，1699-1777)所主持的沙龍，她是一位富有、且慷慨的夫人。傑弗林夫人的沙龍與之前的沙龍不同，她的沙龍吸引的不只是一般的貴族名流，許多帶著「危險思想」的學者，作家也受邀來到她的沙龍，她的沙龍聚集了當時法國的俊彥之士。法國學術院秘書貝爾納·勒·布耶·德·豐特奈爾、著名的哲人如孟德斯鳩、伏爾泰、克洛德·阿德里安·愛爾維修(Claude Adrien Helvétius)等都曾是她沙龍的座上賓，當時外國賓客到巴黎，都以能有幸訪她舉辦的沙龍為榮。這讓達朗拜很快進入了社交生活，令人驚訝的是，他開始享受巨大的成功和聲望。

1747 年對達朗拜來說是重要的一年，因為這一年，達朗拜提交普魯士學術院 Réflexions sur la Cause générale des vents（對風的一般成因的思考）的一篇文章得獎了！事實上，達朗拜的這部關於風的作品，存在他所有作品的典型缺陷，也就是它在數學上非常合理，但基於相當差的物理證據。例如：在這種情況下，達朗拜假設風是由潮汐對大氣的影響而產生的，而大氣的加熱只起了很小的作用。克萊羅攻擊了達朗拜的方法：

為了避免精密的實驗或冗長乏味的計算，為了替代更省事的分析方法，他們常常做出在自然界中沒有立足之地的假設；他們追求與他們的目標無關的理論，而在執行一個完全簡單的方法時稍加堅持，肯定會讓他們達到他們的目標。

達朗拜和克萊羅之間的激烈爭論甚至導致這兩位優秀的數學家在當時的科學期刊上互相辱罵。同一年，他發表了關於振動弦的論文。這篇文章首次出現了波動方程式，波動方程式中出現的算子就被稱為「達朗拜算子」。但這篇文章存在著同樣的缺陷，即他在數學上對某些邊界條件進行了簡化，這導致了與觀察結果不一致的結果。克萊羅對達朗拜的批評大概就是打中痛腳，才會讓達朗拜如此火大吧！

雖然與克萊羅交惡，但是達朗拜也結交了新朋友。尤拉在 1743 年左右通過丹尼爾·白努利的來信得知了達朗拜的作品。然而，由於我們上面提到的原因，丹尼爾·白努利在閱讀了他的 Traité de l'équilibre et du mouvement des fluides 後對達朗拜提出了高度的批評。當達朗拜憑藉關於風的論文獲得普魯士科學院獎時，尤拉正是該年度論文獎的評審。尤拉認為達朗拜的作法優於丹尼爾·白努利的作品。 當然，此時尤拉和達朗拜的關係非常好，尤拉對達朗拜的工作非常尊重，兩人在許多共同感興趣的話題上都有往來。尤拉看到了達朗拜引入方法的威力，並很快將這些方法發展得比達朗拜更進一步。結果達朗拜與尤拉到後來也鬧翻了。整件事的來龍去脈，要等到下一回再來細說了。

各位看官看到這裡，如果以為這是個棄嬰變成院士的勵志故事，那您恐怕要失望了。事實上，他的後半生充滿著各式各樣的風暴，有些風暴純粹是他咎由自取，但是有些風暴卻是來自時代的背景，達朗拜是後世稱為「啟蒙運動」的一個要角，他的學術成就並不是他留名青史的主要原因，這其中種種緣故，還請靜待阿文在下一回為您慢慢道來，請不要忘了下一回的吵架王達朗拜(下)集喔！

參考資料：
(一) 中文 英文 法文 德文維基相關條目