拓樸物質的理論研究發現

1879年，美國物理學家愛德華霍爾(Edward Hall)發現一種特殊的現象。垂直而導體面外加一個磁場，會產生一個橫向於磁場的導電率，而且此導電率和磁場成正比，我們稱之為古典霍爾效應[1](如圖一)。

霍爾效應的成因來自於勞倫茲力(Lorentz Force)單一電子經過電場E和外加磁場B所受到的力為 F = e(E+ v x B)。圖一電子受到往右的力，然後會聚集在導體左側，形成往左的電場，直到電場跟磁場所造成的力平衡之後，導電率為

其中霍爾係數 p是電子密度，t是導體厚度，因此古典霍爾導電率是跟磁場成正比。

 

1980，在法國Grenoble工作的克勞思馮克克林清Klaus von Klintzing[2]，把二維電子氣(electron gas)冷卻到2 K以下然後施予一個大概15特士拉(T) 的磁場，發現霍爾導電率不會正比於磁場，反而是像階梯的形式

其中n為不為零整數，h是普朗克常數。這就是這就是整數量子霍爾效應[1]，馮克林清因此獲頒1985年的諾貝爾獎。

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拓樸能帶理論和陳省身數

 

要了解整數霍爾效應，必須了解量子效應對二維電子的影響。如果不考慮電子之間的交互作用力，個別電子受到磁力的作用，會做圓周運動，也就是一種形式的二維簡諧運動(見圖二)。二維簡諧運動的量子現象會讓能量量子化，成等距的能量差異，也就是

其中電子頻率為

圖二

這現象由藍道(Landau)所發現。所以每一能量層我們稱之為藍道層(Landau levels)。藍道層的寬度由磁場決定。從零加磁場加到大，電子氣由原來簡併態，形成藍道層，而且隨著磁場增加藍道層彼此之間的間隔越大。電子如果慢慢填滿藍道層時，霍爾導電率會上升。可是如果填滿藍道層，那麼霍爾導電率就會停在一個平台，不會增加，如圖三所示。

圖三

Robert Laughlin (1998年諾貝爾物理獎得主，得獎原因是分數霍爾效應)利用規範場理論和物質的拓樸特性指出，如果非常緩慢的增加磁通量(magneticflux)，增加一個磁通量子(flux quantum)

給電子氣，會推一個量化電荷通過導體，所以測出量子化的導電率[3]。

這個理論雖然非常的理想，但只適用於連續化的量子系統。如果我們有晶格時，這樣的理論便不能完全解釋量子霍爾效應。因此，二零一六諾貝爾得獎主之一的Thouless 和其他三位共同作者(Komohto、Nightingale和Nijs)提出了對於量子霍爾效應的新解釋[4]。這個解釋後來不只能解釋量子霍爾效應，而且適用於其他的拓樸系統。後來更幫助新的拓樸物質研究的拓展。

 

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