自旋角動量：從愛因斯坦-德哈斯實驗講起

因為博士班時期的研究領域，剛到學校任教的第一個學期，便被指派開了「磁性材料」這門課。磁性材料通常是物理系高年級或材料所研究生的選修課，但會用到的基礎知識包含了：量子力學、電磁學、甚至是統計熱力學…等，代表著要透徹了解「磁學」 (magnetism) 這個在物理領域歷久不衰的主題，似乎得花上不少時間將基礎建立起來。有趣的是，雖然我的研究主題一直都是磁學，但在求學過程中完全沒有修過這門課，因此準備起來格外吃力。在蒐集課程素材的過程中，除了重新細讀幾本以往只拿來當工具書的文本外，也意外地發現了一些課本中常忽略掉的重要實驗。愛因斯坦-德哈斯 (Einstein-de Haas) 實驗便是一個很有趣的例子。

一講到愛因斯坦 (Albert Einstein)，普羅大眾腦裡浮現的不外乎是相對論(relativity) 和理論物理 (theoretical physics)；但在愛因斯坦早年的研究生涯中，比較不為人知的是，他也曾經熱衷於實驗物理 (experimental physics)。在二十世紀初期，大約是 1915至 1916年間，愛因斯坦和荷蘭物理學家德哈斯 (Wander Johannes de Haas) 進行了一連串實驗，企圖驗證磁性材料 (例如我們常見到的鐵) 中的磁性，源自材料中帶電粒子的軌道運動。這個實驗背後的理論根據，其實來自古典電磁學的先驅，法國物理學家安培 (André-Marie Ampère)。安培早在十九世紀 (1821年) 便提出了「分子電流」(molecular current) 這樣的概念，用來解釋材料中為什麼存在磁性。簡單來說，古典電磁學告訴了我們電和磁之間的交互作用，因此磁可以生電 (法拉第定律)，反之電也可以生磁(安培電流定律)，安培根據這樣的理論及實驗觀察作基礎，認為材料的磁性，來自於材料的內部分子具有不斷作圓形軌道運動的電流，進而產生的微小磁偶極 (magnetic dipole) 或磁矩 (magnetic moment) 組合而成。這和傳統上認為這些微觀的磁偶極是由一對正負磁荷 (magnetic charge) 組成的吉爾伯特 (Gilbert) 模型大異其趣，也看似和我們現在所能接受的原子模型非常相近 (帶負電的電子在原子核外作行星式的軌道運動)。

 

圖一、吉爾伯特和安培的磁偶極/磁矩模型

 

這樣簡單的圖像當然不是沒有問題，最明顯的一點就是：如果組成材料的原子或分子真的帶有不斷作圓形軌道運動的電流，那麼這些電流在材料中是否完全沒有能量的耗散？除了進入超導態的材料會有電阻為零的現象以外，一般的磁性材料例如鐵，在室溫下是具有電阻的，不可能在不外加電壓的情況下存在永久電流，明顯和此模型互相牴觸。再者，量子力學先驅波爾 (Niels Bohr) 和荷蘭物理學家馮呂文 (Hendrika Johanna van Leeuwen) 也分別驗證了在統計熱力學的框架中，即便我們考慮安培的分子電流存在，在宏觀的尺度下磁性不可能形成，稱作波爾-馮呂文定理 (Bohr-van Leeuwen theorem)。因此，雖然安培分子電流圖像直到今日都還常被用來解釋磁偶極的生成，嚴格來講並不正確。也就是說，要解釋磁性的微觀來源 (microscopic origin)，一定得從量子力學的角度出發。

不過，愛因斯坦和德哈斯當時還是選擇從古典的角度來探討這個問題：假設原子尺度下的磁矩，來源就是電子繞著原子核做圓形軌道運動，那麼這樣的軌道運動必定帶有一個角動量 (angular momentum)，如圖二所示。根據愛因斯坦和德哈斯的推導，磁矩 () 便和該軌道角動量 () 呈正比，可表示成下式：

其中  代表電子電荷量， 代表電子的質量。在當時，電子的荷質比是已知的物理量(1897年由湯木生藉由陰極射線實驗量測得知)，因此如果能夠量測到材料磁化量 (磁矩的總和) 和角動量之間的關係，便可驗證此式是否正確，進而驗證安培的分子電流理論。愛因斯坦和德哈斯根據電子的荷質比推算他們所要量測的這個比值 。這個比值通常稱做旋磁比 (gyromagnetic ratio)，符號寫成，表示磁矩和角動量之間的比例關係。理論的部分看起來非常直截了當，那實驗呢？

圖二、磁矩和角動量的關係以及愛因斯坦-德哈斯實驗示意圖

 

如圖二所示，愛因斯坦-德哈斯實驗的出發點就是角動量守恆 (conservation of angular momentum)。假設有一根圓柱形的鐵棒，藉由絲線懸吊起來。鐵棒原本的磁矩方向朝上 (也就是角動量這個向量朝下，因為根據上述式子，電子電量為負)，若我們外加一個向下的磁場()，使鐵棒中的磁矩方向變為往下()，那麼電子做軌道運動的角動量也會跟著翻轉，指向往上的方向()。根據角動量守恆定律，整個系統便會產生一個相反方向的角動量，所以鐵棒會沿著順時針方向轉動。藉由量測該轉動量，就可以計算出角動量的大小，進而算出鐵棒的旋磁比。換句話說，愛因斯坦-德哈斯實驗背後的精神，其實跟常見的大學普通物理學實驗一樣：坐在旋轉椅上的人若是把手中快速轉動的輪子軸心反轉，自己則會因為系統角動量守恆而加速旋轉 (如圖三所示)。非常粗略地類比到愛因斯坦-德哈斯實驗，人就是懸吊起來的鐵棒，輪子是鐵棒中的磁矩，將輪軸翻轉的來源就是外加磁場。

 

圖三、常見的角動量守恆實驗。在反轉快速轉動的輪子後，由於角動量守恆，人體獲得了一個更大的角動量。在愛因斯坦-德哈斯實驗中，我們可以把圖中的同學想像成鐵棒本體，而他手中所握的輪子則是磁矩。

愛因斯坦和德哈斯於二十世紀初期進行的實驗程序，其實比上述過程複雜許多。比方說，他們使用的量測方法其實是使用一個交流磁場，而不是直流磁場。用來外加磁場的線圈設計和磁化量的量測都會影響到最後計算的結果。更不用說，還得考慮如何消除地磁對實驗的影響。無論如何，撇開實驗的細節不談，愛因斯坦和德哈斯最後測量出來的結果和他們的理論計算幾乎完全吻合；也就是說，他們證實了磁矩的來源的確伴隨了一個真實可以量測出來的角動量，而且得到的旋磁比 ！但是，這個數字其實只有「實際上應該量測到」的旋磁比的一半，因為鐵棒裡的磁矩來源應該主要來自當時尚未被驗證的概念，電子自旋(spin)，而非電子的軌道運動。而若考慮電子自旋，則鐵的旋磁比應該是 ！那麼為什麼愛因斯坦和德哈斯卻得出了一個和(錯誤的) 理論如此接近的實驗結果？在愛因斯坦和德哈斯的實驗過程中，是否有系統性的誤差導致他們很「幸運地」(或不幸地) 得到「看似正確」的結果？抑或是在數據的保留與捨棄上有偏頗，導致原本接近真實的數據被忽略了？對這段歷史有興趣的讀者，可以參考 V. Ya. Frenkel’所著的On the history of the Einstein-de Haas effect或是Peter Galison 的 How Experiments End。

在1925年，烏倫貝克(George Uhlenbeck) 和高斯密特(Samuel Goudsmit) 提出了一個沒有古典類比的概念－電子自旋(spin) ，進而可用來解釋1922 年著名的斯特恩-革拉赫實驗(Stern-Gerlach experiment) 之結果。雖然我們依舊可以把這個自旋的概念想像成電子「旋轉」而擁有的角動量，但這樣的古典圖像並不正確。比較好的說法是，電子自旋是一個電子內在的 (intrinsic) 基本特性，如同其質量、電荷，但它對應到的物理量是角動量。呼應上一段提到的愛因斯坦-德哈斯實驗，若考慮鐵棒量測到之角動量完全來自電子自旋，則會得到和後來多數人量測到的旋磁比結果吻合。由此可見，電子自旋的概念不僅可用來解釋材料中的磁性，更重要的是它代表了一個真實存在、可量測到的角動量。因此，在二十世紀末期電子學 (electronics) 開始蓬勃發展後，研究學者們便開始思考是否能改用電子自旋，而不是利用電子的電荷來操作奈米電子元件，開啟了「自旋電子學」(spintronics) 的大門。而在自旋電子學的研究中，大約於1999-2000年左右發現的自旋矩 (spin-transfer torque) 現象不僅開啟了次世代磁性記憶體 (magnetoresistive random access memory, MRAM) 產業的新頁，更使得電子自旋的角動量特質，正式走入應用科學的領域。

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