昆蟲群如何像（與不像）磁鐵

重整化群，一個使用量子場論工具的強大方法，在生物物理中找到一席之地︒

你不需要知道北大西洋中每一個分子的位置和動量來研究墨西哥灣流（Gulf Stream current），不過小尺度和大尺度的現象仍然是相互關聯的，特別是在相變附近。假如你想要了解水在接近它的臨界點，（這裡液體和氣體之間的區隔變弱）或磁鐵接近它的居禮溫度（此時永久磁化消失）時發生什麼事，你不能把研究範圍只限定在一個長度尺度，任何尺度都很
重要！

今日利用蠻力來處理這樣的問題也許很誘人：設置足夠複雜的電腦模擬來捕捉大範圍的尺度，就讓它運算。不過在半個世紀前這不是個實際的選項，當時的物理學家為了尋求一個分析上更容易處理的解決方案而驅使他們尋求一個解析上更容易處理的解決方案。答案就是重整化群（renormalization group，RG），這個數學上縮小的藝術—模糊掉系統最精細的細節並將其它一切壓縮至較小的尺度—以尋找標度律（scaling laws）以及自相似（self-similar）的現象。當應用到物理不同領域時，包括凝態與高能，RG 計算，發現表面上看起來不同的系統之間的深層關聯[1]。

RG 所及範圍現在包含了生物，這是由於羅馬國家研究委員會複雜系統研究所Andrea Cavagna 所領導的研究人員的新工作，他們將這方法應用在昆蟲群的動力學場論（dynamical field theory）[2]。他們的理論結果與數值模擬及實驗觀測相當吻合，這不是在活生生的動態系統上進行RG 計算的首度嘗試，但和實驗的成功比較則是新的。

群體計算
Cavagna 與同事長期以來對集體的生物行為很感興趣，他們最初的靈感來自成群椋鳥，在他們的家鄉羅馬特別令人印象深刻的表現（參閱Physics Today，2007 年10 月號第28 頁），數千隻鳥群可近乎一致的起伏與打轉，儘管沒有一個帶領者，這集體的同步性來自每隻鳥與牠身旁的夥伴有著飛同一個方向的傾向。

相較之下，群行（swarming）的昆蟲不會全部都朝同一個方向飛行：卡通中描繪一群生氣的黃蜂堅定地追逐逃跑的受害者是沒有根據的，反而是真實群體傾向如雲一般在原地盤旋，其組成昆蟲來回嗡嗡作響，如圖一a 中的照片所示，圖一b 是混成的軌跡影像。

圖一：群行（swarming）的昆蟲在各個方向嗡嗡作響，同時仍循著牠們鄰居的方向提示，其結果是一個空間相關性，適合用一些統計力學最複雜的工具來處理。（a）從伊利湖（Lake Erie）上一艘研究船所拍攝的蠓群；（b）在羅馬一座公園所記錄的約300 隻蠓的混成軌跡。（圖a 由NOAA 提供；圖b 改編自參考文獻[4]。）

儘管如此，群行的昆蟲確實會模仿牠們的鄰居，只是不夠強烈到產生任何群體範圍的有序。以物理的說法，昆蟲群和鳥群是同一個系統的無序及有序相，就像是高於或低於其居禮溫度的磁鐵。

無論溫度為何，磁鐵的自旋由能量偏好（與它們鄰居對齊）與熵偏好（隨機指向）之間的競爭所支配：在居禮溫度之下，能量贏，而自旋對齊；高於居禮溫度，熵贏，沒有淨磁化。但一些特殊的事情在磁鐵僅略高於其居禮溫度時發生：排列整齊的自旋團塊（clumps）出現，可能相當大（儘管比整個磁鐵小）。事實上，它們跨越所有長度尺度—不論磁鐵有多大，都很有機會包含佔它大小一大部分的團塊—而正是這種問題需要RG 的發明來解釋相變附近的系統。

從在野外對昆蟲群的最初觀察，Cavagna和同事發現一個與幾乎未去磁（demagnetized）磁鐵的明顯相似之處[3]。這個群體缺乏單一偏好的方向，但許多昆蟲團塊會暫時調整它們的運動方向，群體愈大，則團塊愈大，這是無尺度（scale-free）近臨界系統的標誌。

磁鐵的哈密頓量很容易了解，即使它的近臨界行為不是如此。是否昆蟲群（活的動物之集合，每一隻都能感知與響應牠環境的所有複雜性）可能被一套類似的簡單規則所支配呢？Cavagna 表示：「空間與時間的相關函數是恐怖的怪獸，但在物理裡，你可以做很大的簡化，並用一個指數來描述所有的事情。」動力學臨界指數z 定量空間相關性與時間相關性的比例關係，在2017 年，研究人員嘗試將動力學標度假設（dynamical scaling hypothesis）應用到他們的群體數據，結果可行[4] ！

生命的有序
不過昆蟲群的z 值非常低：1.37 ± 0.11，如圖二中橘色鐘形曲線所示；相反地，對於磁鐵，z 正好為2（以黑色方塊表示）。直觀上，z可被想成是擾動（fluctuations）在系統中傳播速度的度量，愈小的值代表愈快的擴散，而基本的速度極限在z = 1。昆蟲群傳播擾動不只是比磁鐵快，也快過任何可能解釋的現存理論。

圖二：動力學標度（dynamic scaling），系統的空間相關性與時間相關性之間的關係，由一個臨界指數z 來定量。對於觀測與模擬的昆蟲群，z 與重整化群（RG）應用到一個包含活動（activity）與慣性（inertia）的理論所預測的值非常吻合。RG 計算在其它理論得到的z 值明顯較大。（改編自參考文獻[2]）

研究人員發現兩個區分昆蟲群與磁鐵，並導致前者擾動傳播較快的關鍵要素。第一個是活動（activity）：磁鐵中的自旋永遠與同一組鄰居交互作用，而昆蟲則靠牠們自己的力量移動，因此牠們最近的鄰居不斷在改變；第二個是慣性（inertia）：昆蟲對牠們鄰居的行為不會立即地反應，所以群體內的小尺度異質性會持續一些時間。換句話說，假如昆蟲群可視為一種流體，那麼它是一種黏滯力不大的流體。

在之前，RG 計算中活動與慣性兩者是分開處理的，平衡（非主動）慣性模型是1970 年代其中一個經典的RG 成功[5]：它描述超流體的行為，z 為1.5，在圖二中以藍色菱形表示。直到後來對於主動物質（active matter，也就是活的物體）物理的興趣，人們開始關注成為一個研究領域，才出現了主動非慣性模型（active noninertial model）[6]。它給予z = 1.73，以綠色三角形顯示。

受到活動與慣性如何各自在對的方向推動z 的鼓舞，研究人員開始思考將RG 應用到結合兩者的模型上，當他們在2019 年夏天著手這個計畫時，只有Cavagna 與博士生Luca Di Carlo 兩個人的努力，但複雜度很快不可控地增加。

簡單來說，RG 計算需要兩個步驟（coarsegraining與rescaling）來重整化一個方程式，希望得到一個相同數學形式的新方程式。當發生時，計算完成：方程式描述系統在所有長度尺度的自相似行為。

然而，重整化一個方程式通常會給出更複雜的方程式，Cavagna 表示：「當這情況出現時，RG 正在告訴你：『嘿，傻瓜，你忘了在方程式加一個項目！』」重整化較複雜的方程式也許能完成這個過程，或產生更複雜的方程式等等。

主動慣性模型有多於通常的方法使其方程式變得更複雜，粗略來說，在黏滯的狀態下，社會力（social force，個體對鄰居的影響程度）和速度對時間的一次導數成正比；但在慣性狀態，它與時間的二次導數成正比。更多的導數會引進更多製造非線性項的方式，因此方程式會變得更複雜。

很快地，RG 計算產生的項超過可以用手算的範圍，Cavagna：「這是個夢魘。」一直到團隊其他的學生，Carlo 與Scandolo 開發一個專門的Mathematica 程式碼來幫忙計算後，他們才開始掌握重整化方法。「我幾乎都要放棄了」Cavagna 說，「但他們在最後一搏時做到了，我沒有他們是不可能辦到的。」

結果：z = 1.35，在圖二中以紅色的圓表示，與數據相當吻合。研究人員在那年夏天將研究工作彙整起來遞交論文發表，Cavagna 表示，當同儕審查的評論回來時，「他們說：『這看起來很棒，但可能只是個意外，你需要做些數值模擬讓我們相信這是真的。』」這個任務落到這計畫的另一個學生Giulia Pisegna 的身上，雖然她已經離開團隊去做博士後研究員。她設置大型、複雜的模擬讓它們運算，發現
z = 1.35 ± 0.04（圖中粉紅色條紋）。

即使理論、模擬與實驗趨於一致，z 仍然只是一量。Cavagna 表示，主動慣性模型成功地預測昆蟲群的其它特性，「但如果我們有更多的指數會更高興。」有更多的臨界指數存在的限制是在實驗數據裡，舉例來說，一些臨界指數只在系統對外界刺激（像是外加磁場下的磁鐵）的響應中表現出來，甚至在昆蟲群上的等效實驗是什麼都還不清楚。「在我們有數據之前，我不確定我們是否想要投入所有的時間來做這計算」Cavagna 說，「如同我們在團隊裡所講的，『沒有數據就沒有派對』。」

還沒死
在生物上的應用有潛力為RG 注入一股生機。RG 計算的故事中一個主要的主題是在截然不同的物理系統內找出相同的臨界指數與行為；儘管如此，z = 1.35 狀態是全新的（對於該物質，主動非慣性模型的z = 1.73 狀態也是），在主動系統中發現新的臨界現象也許是新物理潛藏在活體中的一個方式（參閱Paul Davies 的文章，Physics Today，2020 年八月號第34 頁）。

Cavagna：「不過愈來愈少人記得如何做這些計算。」RG 複雜的數學建立在量子場論的方法上，其愈來愈被認為只是物理課程的選修部分，特別是對未來可能的生物物理學家。「生物物理充滿了令人驚奇和迷人的問題」Cavagna說，「但有非常多學生找我們想要研究鳥類，而我們必須告訴他們，他們不行，因為他們不懂得場論。你必須在年輕的時候去學習它—等到你35 或40 歲再嘗試去學就太晚了。」

參考資料：
[1] K. G. Wilson, Sci. Am. 241（2）, 158（1979）. https://doi.org/10.1038/scientificamerican0879-158
[2] Cavagna et al, Nat. Phys（. 2023）, doi: https://doi.org/10.1038/s41567-023-02028-0.
[3] Attanasi et al, Phys. Rev. Lett. 113, 238102（2014）.https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.113.238102
[4] Cavagna et al, Nat. Phys. 13, 914（2017）. https://doi.org/10.1038/nphys4153
[5] P. C. Hohenberg, B. I. Halperin, Rev. Mod. Phys. 49, 435（1977）. https://doi.org/10.1103/
RevModPhys.49.435
[6] L. Chen, J. Toner, C. F. Lee, New J. Phys. 17, 042002（2015）.https://doi.org/10.1088/1367-2630/17/4/042002
[7] T. Feder, Physics Today 60（10）, 28（2007）. https://doi.org/10.1063/1.2800090
[8] P. Davies, Physics Today 73（8）, 34（2020）. https://doi.org/10.1063/PT.3.4546

Physics Today（American Institute of Physics）同意物理雙月刊進行中文翻譯並授權刊登。原文刊登並收錄於
Physics Today, Jul. 2023 雜誌內（Physics Today 76, 7, 14-16（2023）;https://doi.org/10.1063/PT.3.5265）。原文作者：Johanna Miller。中文編譯：張鳳吟，國立陽明交通大學物理學系博士。
Physics Bimonthly（The Physics Society of Taiwan）appreciates Physics Today（American Institute of Physics）authorizing Physics Bimonthly to translate and reprint in Mandarin. The article is contributed by Johanna Miller and was published in（Physics Today 76, 7, 14-16（2023）; https://doi.org/10.1063/PT.3.5265）. The article in Mandarin istranslated and edited by F. Y, Chang, National Yang Ming Chiao Tung University.