磁阱中超冷玻色氣體的 BEC 相變與 Kibble - Zurek 動力學（上）

本文介紹如何利用古典場方法模擬在磁位能阱中之超冷玻色氣體歷經BEC 相變及趨向平衡的演化過程。以Trento 團隊的實驗為模擬對象，我們揭示了雪茄型BEC成長的動態圖像，也分析了相變過程中拓樸缺陷（此處為渦旋）的演化模式並與Kibble-Zurek 機制比較。

壹. 相變、對稱破壞與拓撲缺陷

日常經驗中我們常會發現，看似安定的物質（構成物質的基本單元彼此有交互作用），在外界環境改變後會突然間變得不穩定並急劇轉變成另一種型態，這種過程稱為相變，最典型例子就是水在不同溫度範圍的固態、液態、氣態等三相的轉變。相變現象是物理領域中最被廣泛研究的課題，其迷人之處在於擁有相同化學成分但分屬於不同相態的物質，會表現出完全迥異的宏觀物理性質。例如，水與冰的分子結構都是 \( \ce{H2O}\)，但是前者柔軟而後者堅硬；又例如在磁性材料中的順磁－鐵磁相變中，順磁體無磁性，而鐵磁體卻有。

根據熱力學基本定律，物質間的交互作用會使系統趨向於“ 有序”（ordered），而熵則會使系統趨向於“ 無序”（disordered）。這種有序與無序的競爭導致了系統的相變。一個宏觀物理系統有序的程度可藉由定義序參數（order parameter）來作為度量。以三維的海森堡等向性鐵磁體（Heisenberg isotropic ferromagnet）為例， 在沒有外加磁場的情況下，其磁性源自於內部電子自旋的排列方式；我們可以選擇系統的相對磁化強度，\( \vec{\mathbf{M}}=2 \langle \vec{S}\rangle /N \)，（實際磁化強度除以最大可能磁化強度）做為序參數，其中N 是單位體積內的電子數，而 \( \langle \vec{S} \rangle \) 是單位體積內自旋的平均值。在鐵磁材料中，自旋交換交互作用迫使晶格中相鄰的自旋平行排列。低於居里溫度，不只相鄰的自旋，其他宏觀距離外的自旋也能自發地平行排列。這種宏觀尺度上的相干性，即所謂的長程序（long-range order，LRO）， 系統顯現鐵磁性（\( \vec{\mathbf{M}}\neq0 \)）。反之，當溫度高於居里溫度，熵會壓抑長程序，取而代之的是出現局域的短程序（short-range order，SRO），此時系統呈現順磁性（\( \vec{\mathbf{M}}=0 \)）。磁性材料的自發磁化屬於連續相變，這類相變的特徵就是在通過臨界溫度 T_c 的同時，序參數會由零連續地變化到非零值，反之亦然。

在順磁態時，宏觀距離外的兩個自旋其相對指向是隨機的，因此不論從任何方位看過去，不同的自旋組態我們總是得到\( \vec{\mathbf{M}}=0 \)的結果，這意味著在順磁態下，系統具有空間旋轉不變性。但是在鐵磁態中，全體自旋會自發的指向空間中某個特定方向，即所謂的自發磁化，而系統現在僅在繞磁化方向轉動下是具有不變性的。換言之，自發磁化代表了空間旋轉對稱性被破壞。正是這種對稱性的破缺，導致了系統從僅具SRO 的高溫相「突然」轉變為具有LRO 的低溫相。

圖一，對稱破壞

我們可以用一個有趣的類比來理解上述的概念。先試著回想一下喪屍（zombie）系列電影中的經典場景：「成千上萬的喪屍無意識地徘徊遊蕩在街頭。他們無感於同類的存在，卻能敏銳的察覺闖入的活人。一旦發現目標物，喪屍便群體瘋狂的撲向獵物。隨之而來的街頭追殺過程中，更多喪屍被誘發加入了追逐的行列…」。如果把喪屍視線的平均方向定為序參數，則在獵物出現之前與之後，喪屍全體分別對應到“ 對稱” 及“ 對稱破壞” 的狀態。

自發磁化是一個動態的過程，其圖像大致如下：越靠近相變點，有利於低溫鐵磁序的關聯性越來越大，系統中開始局部地出現有鐵磁序特徵的小區塊，它們的範圍及位置不斷地在高溫順磁序的背景中變動起伏。在固定溫度下，最大區塊的特徵尺度決定了系統的相干長度。在非常接近 T_c 時，相干長度呈指數發散，佔有局部優勢的區塊會逐漸合併鄰近區塊，不斷擴大範圍。當溫度持續下降，最終最具優勢的鐵磁序區塊遂佔據了全部的範圍[1]。

圖二，拓撲缺陷的形成

上述過程中，每一個自旋無從知道自己要指向何方，唯一能做的就是盡可能地跟相鄰的自旋同向排列以降低位能。假設與自旋 A 相鄰的自旋因為熱漲落或其他原因，碰巧指向“ 錯誤” 的方向，那麼自旋 A 就不一定會指向原來認為“ 正確” 的方向。這些不確定性，最終可能導致自旋排列在某些地方“ 卡住”。為方便理解，我們以二維系統為例。在圖二中，除了左上部分紅點的近鄰之外，整體自旋排列的變化是相當平滑的。我們比較繞行兩個封閉路徑 \( C_1\)（ 紅）及 \( C_2\)（綠）的結果，可以看出沿兩路徑上的箭頭方向都呈連續變化，而繞完一圈後，兩者箭頭的方向均與原出發點的相同。差別是前者在平面上轉了一圈，後者則否。\( C_1\) 及 \( C_2\)所包圍的區域相異之處在於前者有缺陷（紅點）而後者則無。這個缺陷是一個穩定存在的結構，我們沒有辦法在平面上透過平滑地把箭頭變形而使之消失。這種由對稱保護的激發態稱之為拓樸缺陷（topological defect），其種類與性質由序參量之對稱、結構及系統的維度等基本特質決定。常見於微觀物質結構的拓樸缺陷有渦漩（vortex）、錯位（dislocation）、孤立子（soliton）、向錯（disclination）、斯哥密子（skyrmion）^[2] 等等。拓樸缺陷的密度是Kibble-Zurek 機制中的核心主題，我們在後面的章節會再仔細討論。

貳. 玻色－愛因斯坦凝聚體的產生

在介紹了連續相變的核心概念後，我們現在深入來探討連續相變的另一個例子—BEC 相變。1924 年愛因斯坦在分析理想氣體的玻色統計法則時發現，如果要求系統的總粒子數守恆，則在相變溫度以下，大量的粒子會處在系統的最低能量狀態，這種現象稱之為「玻色－愛因斯坦凝聚」（Bose-Einstein condensation，BEC）。BEC 相變是遵守玻色統計的全同粒子，即所謂的玻色子，在低溫時的集體行為。根據自旋 統計定理，玻色子具有整數自旋（具有半整數自旋的粒子，稱為費米子）。在自然界中出現的玻色子可區分為基本及複合等兩種型態。基本玻色子包含了光子、膠子、Z 及 W^± 等傳遞基本作用力的規範玻色子，或是希格斯粒子（與質量來源有關）。複合玻色子包含所有的介子、超精細自旋（原子核自旋 + 電子自旋）為整數的原子等。

微觀世界中，物質波的德布羅伊波長 \( \lambda_{dB}\) 與粒子的動量 \( p\) 滿足以下關係，\( \lambda_{dB}=h/p \)（\( h\) 為普朗克常數）。由上式可知，當溫度越低，粒子的運動速度越慢，\( \lambda_{dB} \) 值越大。當波長接近粒子間的平均距離時，粒子波包開始重疊，彼此的分際越來越不明顯。愛因斯坦指出，要發生 BEC 相變，系統的相空間密度（phasespace density）\( \varpi \) 必須滿足，\( \varpi=\rho\lambda_{dB}^3>\mathrm{2.612} \)（\( \rho \)為粒子數密度），換言之，在 \( \lambda_{dB}^3\) 的立方體積內平均至少要有 2.612 個粒子。我們注意到，相對於日常情況下氣體的相空間密度值（~10⁻¹⁵），BEC 的臨界相空間密度值大了約 15 個數量級左右，其獨特性由此可見一斑。

上述相空間密度的定義似乎暗示著可以藉由提高粒子數密度來提高相空間密度以促成凝聚體的實現。然而在這裡我們必須指出，\(\varpi>\mathrm{2.612}\)，是基於理想氣體的假設所得出的結果，在真實的世界中，組成氣體的原子（或分子）間總是存在交互作用，所以粒子數密度的所扮演的角色有待檢視。以鹼金屬氣體為例，在降溫的過程中，氣體不斷的透過兩個原子間的彈性碰撞來交換能量以達到平衡。所以在BEC 的形成過程中，原子間的二體碰撞是必要的機制。然而在高密度的情況下，原子間也有可能發生三體碰撞，不過這種非彈性過程會導致原子結合成分子，反而造成原子氣體密度下降。同時形成分子時所釋放的熱能也會阻撓氣體進一步的降溫，而已經成形的分子會直接凝結為液體或固體。一旦進入這個過程，BEC 就很難形成。因此為了降低三體碰撞的發生，我們必須維持氣體低密度的狀態。在這種考量下，我們可以做個簡單的估計：假設原子氣密度為海平面空氣密度的十萬分之一（相當於中度真空），則原子 BEC 的臨界溫度估計會低於一個 μK，而這樣的低溫會是傳統冷卻技術難以征服的天塹。

總的來說，實現 BEC 的困難處在於既要把氣體降到極低溫，同時也要防止氣體的液化或固化。這也是為什麼 BEC 被稱之為原子物理的「聖杯」，因為從愛因斯坦提出理論預測後幾十年間，許多挑戰 BEC 的實驗都無功而返。不過這個挑戰在上世紀的 90 年代初，當雷射冷卻及捕捉（laser cooling and trapping）的技術[3] 逐漸成熟後， 終於迎來了曙光。在初步的都卜勒冷卻階段，相空間密度可以一下提高至 \(\varpi \sim {\mathrm{10}}^{-\mathrm{6}}\)，而後續發展出來的偏振梯度冷卻法（polarization gradient cooling）及蒸發式冷卻法（evaporative cooling）可以將相空間密度逐漸推高到 BEC的臨界值以上。總而言之，雷射冷卻是原分子物理及量子光學領域的一個重大科學成就。從能量的觀點來看，它利用光及磁場巧妙的耦合了原子的內在與外在自由度，最終透過自發輻射的光子將原子的熵帶走，因此能非常迅速而有效的降低原子的溫度。因為篇幅限制，有關雷射冷卻及捕捉的相關物理無法在此詳述，有興趣的讀者請詳閱參考文獻[3]。

1995 年7 月，美國實驗天文物理學聯合研究院（Joint Institute for Laboratory Astrophysics，JILA）的科學家在稀薄的鹼金屬銣（⁸⁷Rb）蒸氣中，首度觀察到BEC 的訊號。該實驗中凝聚體的密度為每立方公分 2.5 × 10¹² 個原子，溫度降到了 0.17 μK，而時間持續了約 15 秒[4]。數個月後，麻省理工學院（Massachusetts Institute of Technology，MIT）的實驗小組也發表了在稀薄的鈉（²³Na）蒸氣中實現了 BEC 的論文，密度更提高到每立方公分 10¹⁴ 個原子以上[5]。同年12 月底，Science 雜誌推選 BEC 為 1995 年的「年度分子」。六年後，JILA 的 E. Cornell、C. Wieman 及 MIT 的 W. Ketterle 三人，由於在 BEC 研究上的重大貢獻，獲頒了2001 年的諾貝爾物理獎。他們非凡的成就開啟了超冷原子物理的新領域。值得一提的是，超冷鹼金屬原子氣是一種極其乾淨且具高調控性的玻色系統，可以利用光場與磁場來調控原子間的交互作用與原子的運動。BEC 及相關量子簡併氣體的實現提供了物理學家們一個絕佳的平台，可用於理解其它物理領域中發現的更複雜的問題[6]。

在理論的敘述方面，在極低溫時玻色氣體中絕大多數的原子都在基態且都擁有相同的相位，因此BEC 可以用一個巨觀的波函數 \(\Psi\left(\mathbf{r},t\right)\) 來表示，而 \(\Psi\) 的局域相位則可定義為序參數。在平均場近似（mean-field approximation）下，BEC 的演化由以下的非線性薛丁格方程或是 Gross-Pitaevskii （GP）方程所決定[7]，

\(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\Psi}{\partial t}=\left(-\frac{\hbar\nabla^2}{2M}+V_{\mathrm{trap}}\left(\mathbf{r}\right)+g\left|\Psi\right|^2\right)\Psi，      (1)\)

其中 \(M\) 為玻色原子質量，\(V_{trap}\)  是外加位能勢，\(g=4\pi\hbar^2a_s/M \)（\(a_s\) 為原子間的s- 波散射長度）在低能近似下粒子交互作用的強度。

另外，在二維/ 三維BEC 中所出現的拓樸缺陷是渦漩/ 渦漩線。環繞渦漩 \(n\) 圈，波函數的相位會改變\(2n\pi \)。因為波函數只能是單值，不難推導渦漩的環流量，\(\kappa=n\times 2\pi\hbar / M\)，必需是量子化的，而這同時也表明了 BEC 的超流性。在（準）一維 BEC 中的拓樸缺是暗孤立子（dark soliton），它是一種相位的“ 扭結”，特徵是位於暗孤立子兩側的 BEC 有 \(2 \pi\) 的相位差，而其中心處的 BEC 密度為零。

參. Kibble-Zurek（KZ）機制

霹靂爆炸後，宇宙在降溫過程中經歷了一系列的自發對稱破壞相變。根據Higgs場在Ginzburg 溫度的平衡態相干長度，T. Kibble 首先估計了在相變之後形成的拓撲缺陷的初始密度[8]，然而Kibble 的計算並不符合觀測的結果。數年後W. Zurek 認為弛豫時間（relaxation time）\( \tau\) 與相干長度（correlation length）\( \xi \) 在決定初始拓撲缺陷密度的過程中扮演重要的角色。所謂的弛豫時間，是指在 \( \xi \) 的尺度上建立相干性所需的時間。Zurek將Kibble 的理論推廣到凝態系統並引入演化“ 凍結”（freeze-out）的概念。在接近相變點時弛豫時間與相干長度會呈現臨界行為。發散的弛豫時間會導致在特定時間範圍內，即所謂的“ 凍結窗口”（frozen window），發生“ 臨界減速”（critical slowing down）， 在此期間系統無法對任何外在的變化進行反應，宛如凍結一般。因此，當無序的相位被封印在系統中，只有在通過相變點並離開了凍結窗口後才得以演化。這些局域相位的尺寸由相干長度決定，這意味著若是凍結窗口發生在離相變點愈近處，因為相干長度愈大，所能生成的缺陷數會愈少，反之則愈多。

在Zurek 的推導中假設系統與相變點之距離 \( \epsilon\)  隨時間線性變化，\( \epsilon=t/\tau_Q\) ，其中 \( \tau_Q\) 為驟冷持續時間（quench duration），其倒數表示降溫速率[9,10]。弛豫時間的臨界行為是

\( \tau\left(t\right)=\frac{\tau_0}{\left|\epsilon\left(t\right)\right|^{z\nu}}，(2)\) 

其中 \(z\) 與 \( \nu \) 為系統的臨界指數。比較 \(\tau\) 與\( \left|\epsilon/\dot{\epsilon}\right|\) ，即系統所需弛豫時間與剩餘至相變點之時間，可以推得凍結窗口為 |\(\left|t\right|\le\ \hat{t}\) ， 其中

\(\hat{t}=\tau_0^{1/(1+z\nu)\ }\tau_Q^{z\nu/(1+z\nu)}，(3)\) 

而在此刻所對應之相干長度為

\(\hat{\xi}=\xi\left(\hat{t}\right)=\frac{\xi_0}{\left|\epsilon\left(\hat{t}\right)\right|^\nu}，(4)\) 

上式可用於估計被封印的局域相位尺寸。若系統與缺陷之維度分別為s 與d，我們推估缺陷的密度為

\(n_{\mathrm{def}}\approx\frac{{\hat{\xi}}^d}{{\hat{\xi}}^s}\propto\tau_Q^{\frac{\nu\left(s-d\right)}{1+z\nu}} \hspace{1cm} (5)\) 

一般而言，\(s > d\)，故缺陷數將會隨著\( \tau_Q \) 增加而減少，此即為Kibble-Zurek（KZ）機制。

然而最近的研究指出，系統在通過相變點後並非完全凍結，而是系統中的相干長度會以聲速擴展，但依然遵守上述的標度律。該擴展的波前稱之為“ 聲波地平線”（sonic horizon）[11]。由於 \( \hat{t}\) 與 \( \hat{\xi}\) 為系統在近臨界點唯一相關的尺度，可以預期系統中的兩點相關函數會遵守以下的自相似標度行為

\({\hat{\xi}}^{d-2+\eta}C\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime,t\right)=G\left(\frac{\xi_0t}{{t_0\hat{\xi }^z}},\frac{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^\prime\right|}{\hat{\xi}}\right)\ \ \ \ \ \ \mathrm{(6)}\) 

其中 \(\eta \) 為一普適臨界指數而 G 為一非普適的標度函數（scaling function）。

KZ 機制提供了一個簡單直觀的物理圖像來解釋拓樸缺陷的自發生成，而且定量上給出了缺陷密度與通過相變點速率的關係。然而在真實的實驗中，我們很難監測在臨界區域所發生的物理過程，唯一的線索是相變後殘存的拓樸缺陷。以下我們介紹如何利用古典場理論來模擬Trento 大學實驗團隊有關超冷玻色氣體歷經BEC 相變的動態過程[12,13]，並在KZ 機制的基礎上分析相關的臨界行為。（上篇完）

參考文獻：

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