不自量力? 從許文格的一本書談起

阿文在剛進大學教書的時候，曾經負責研究所的量子力學的課程，當時初生之犢不畏虎，滿腔的教育熱忱。所以廣蒐群書，本來打算用祖師爺許文格的量子力學，幾經考量，忍痛放棄這個頗為有趣的選擇。最近又重新拾起這本書，覺得隨著時空環境的變化，也許採用這本好書的時機已經成熟了。借著雙月刊的這個園地來發聲，看看會不會有人能響應我這個乍聽之下有點荒謬的主張!

嚴格來說，許文格的這本量子力學教科書並非是許文格親自定稿，而是他的”門徒”將同學上課時抄的筆記以及許文格發給學生的學習資料，搜集而後編輯而成。編輯的人是Berthold-Georg Englert，本身從事量子資訊。現在是國立新加坡大學教務長兼講座教授，也是量子技術中心的首席研究員。其實，早在許文格在哈佛大學講授量子力學的時候，他就打算要寫一本獨特的量子力學的教科書。但是要等到他到了加州大學洛杉磯分校(UCLA)時候，他考量到普遍使用的符號與他在哈佛使用的符號的差異，有意識地將它們改成一般使用的符號。由於許文格一直對前沿研究投入大量心力，再加上他源自絕不妥協的完美主義而來對細節的堅持，使得他在1994年過世前都無法完成這本書。幸虧編輯借著於許文格遺孀的幫助，從許文格留下大量未完成的遺稿，在盡量不更動原稿的條件下，完成了這本寶貴的書。他還特別找到許多精彩的習題，列在每個章節後面，這是一個學習量子力學的寶庫，價值非凡！

By Nobel foundation - http://nobelprize.org/nobel_prizes/ph ... s/1965/schwinger-bio.html, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=6138572

由於UCLA採用的是學季制（Quarter system），所以整本書也就分成秋季，冬季與春季三個部分。每個部分包含四章。但是在正文之前，編輯特地放上一篇長達25頁的前言。這篇前言其實是許文格在六零年代一次公開演講的逐字稿。這篇沒有數學公式的講稿揭櫫了這本書的主旨，就是建立一個由實驗結果支持的量子理論，而不必訴諸古典圖像的類比。他一針見血地指出量子物理與古典物理最大的歧異點就是”狀態”，而量子態的性質只能從相關的微觀系統實驗來得知。任何從研究巨觀系統而得的物理圖像都不該被當作基礎！所以在第一章的一開頭，許文格開宗明義地宣稱：我要用徹底擁有普遍性的基礎取代學生心中先前學過的de Broglie 波與薛丁格方程式！這一章的標題是測量代數，與大部分量子力學的開場白完全不同，光是這一點就讓人很期待了。許文格採用的實驗是Stern-Gerlach 實驗，因為這個實驗量測的粒子的自旋，這是個離散的物理量，處理來比起早期那些測量粒子的位置，動量的實驗更能表達量子態的特性。眼尖的讀者就覺得似曾相識，因為現在普遍使用，由櫻井純（Jun John Sakurai，，1933－1982）撰寫的Modern Quantum Mechanics 正是這樣編寫的，但是無疑許文格早在1955年Les Houches 夏季學校講授的課程就採用這樣的作法，而且在1969年編成Quantum Kinematics and dynamics 一書。透過接連做不同方向的自旋測量，許文格建立起測量順序與算子的對易子（commutator）的關係。比較有趣的是在第43頁處許文格提到為什麼測量的規則必須用到複數，而第六節則是許文格具體地將測量過程帶來對未來測量”無法控制”的干擾用簡單的式子表達出來，真是高明！

第一章的前十三節都是以Stern-Gelarch 實驗為主。從十四節到十六節則是由離散的自由度（自旋）推廣到連續的自由度(如位置)。許文格採用一個有趣的例子來示範如何達成。他將一個圓周上刻上N個刻度，定義從一個刻度轉換到下個刻度定義算子U，而U的複數共軛定義成V，把N取作無窮大，就得到結果了。妙的是U與V這兩個算子可以寫成指數的形狀，它們對應的算子居然滿足對易關係!而第一章的最後，我們得到U=對V微分的算子，而V=對U微分的算子這個關鍵的結論，也結束了第一章。許文格在這一章絕口不提位置與動量，更沒有提到粒子與波動！That is the spirit!

第二章就是從滿足對易關係的算子出發。兩個算子本徵狀態的轉換正是大家熟悉傅利葉變換。由此可以導出著名的測不準原理，更近一步許文格也得到將本徵值以高斯函數加權的狀態會給出最小的不準度。神奇的是許文格在這裡引入創生算子（creation operator）與毀滅算子（annihilation operator）。在這裡，不但沒有提到簡諧振子，甚至連漢密爾頓函數都沒有提到呢!更有趣的是許文格不但弄出本徵值為整數的數目算子（Number operator），連光學的同調態（Coherent state）都”生"出來了。綜合而言，前面這兩章可以算是純代數式的演練，不但完全沒有de Broglie 波的影子，連位置與動量都沒有，但是書已經寫到147頁了！

到了第三章，位置、動量終於該上場了吧？  因為這一章講的是角動量。那你就太小看許文格了。只要滿足SU(2)的生成子的對易關係，我們就可以得到完整的角動量理論!雖然三維空間的轉動對應的算子滿足這個SU(2)的生成子的對易關係，但是反過來，滿足這個對易關係卻未必就是三維空間的轉動。很自然的，許文格將整數與半整數的自旋的角動量的理論一齊端出來，並且用上第二章出現的創生子與毀滅子。只有在最後一節許文格才處理三維空間的轉動與角動量的關係。而第四章只有十頁，處理的是伽利略不變性。一直到這裡，漢密爾頓函數才終於出現。這四章構成了整本書的第一部分，已經用了192頁了。其實這部分的標題是量子運動學（Quantum Kinematics），所以從頭到尾都沒有用到漢密爾頓函數，自然也沒有提到運動方程式，氫原子能階這些一般放到量子力學開頭的材料。這些都在這本書的第二部分：量子動力學（Quantum Dynamics)。

第二部分也包含了四章。首先是量子作用量原理。這一章前幾節就是標準的內容，但是第五節卻頗值得一提。許文格在這裡闡述了如何從作用量得到量子態的躍遷振幅<q₂ t₂|q₁,t₁>。雖然看起來平平無奇，但是這其實是許文格相當得意的工作。許文格將他研究量子電動力學的心得加以推廣，從傳統的拉格蘭日函數出發，提出了新的作用量原理來統攝量子系統的行為，重點在於這個作法不需仰賴任何的"對應原理"，換句話說，不必訴諸量子理論與古典物理的類比，這正是許文格撰寫這本書時，最重視的一點。許文格由他的量子作用量原則導出機率振幅該滿足的微分方程。許文格自己非常自豪他的這個作法是漢密爾頓思想的一脈相傳呢！事實上他將這個量子作用量原理延伸到量子場論上，成了他的場論的基礎。有興趣的讀者可以參考阿文之前寫的孤高的物理學家：許文格(三) 獨向斜陽嘆白頭一文。

接下來三章雖然是常見的量子力學的材料，但是許文格總是讓讀者驚喜連連！第六章：基本應用。許文格利用第五章的量子作用量原理，直接算出(1)自由粒子，(2)受到定力與(3)受到線性回復力三種情況下的量子態的躍遷振幅<q₂ t₂|q₁,t₁>。精采的是許文格還從躍遷振幅求出能量本徵值與本徵態。當然，定力的情況還是要用上艾利(Airy)函數。接下來關於WKB近似的這一節則是意外地詳盡。甚至下一節還特定詳述了 艾利函數的零點與極值。最後一節則是Rayleigh--Ritz 變分法的運用。這一章可以感受到許文格對艾利函數的偏愛，比較晚近的量子力學教科書很少會花那麼多篇幅在它身上了。讀者在後面的章節可以更深刻地感受到許文格有多愛特殊函數了。

第七章是簡諧振子。一般的一維簡諧振子在上一章已經處理過了，所以這一章處理的受外力驅策的一維簡諧振子。這個主題幾乎從來不曾出現在別的量子力學的書上，可以說是僅此一家，別無分號。為此許文格還加上了好幾頁介紹拉蓋爾（Laguerre）函數。除此之外，這一章還處理了二維簡諧振子。當兩個方向相互垂直，彈性係數相同的一維簡諧振子組合而成一個二維簡諧振子，這時候若是改用極座標來求本徵態時，就會遇上先前介紹的拉蓋爾函數。這一章最後一節，許文格將兩維推廣到三維。

接下來第八章則是最為經典的氫原子本徵能量的問題。一開始許文格就將庫倫力場的運動方程式轉換成先前二維簡諧振子，秒殺這個本徵值問題。如果你以為魔術師的戲法已經傾囊而出的話，那你就錯了，因為接著許文格繼續利用拋物線座標（parabolic coordinate）來處理庫倫力，手到擒來，馬上得到大家熟悉的氫原子能階。其實使用拋物線座標的用意不是為了炫技，而是要處理固定電場下的氫原子本徵態。許文格巧妙地得到史塔克第一階效應的結果，卻不必實際用上微擾理論，非常有趣！當然除了固定電場的情況之外，固定磁場，甚至固定的電磁場的情況，都在這一章徹底處理掉啦。最後一節，許文格只花五頁就將庫倫散射給處理掉了。但是這其實是在考驗讀者的複變實力，櫻井純的書可是花了一整章處理這個主題。許文格最早期的工作就是處理核子的散射，但是在這本書卻只是輕輕放下，因為他把它留到下一章了。

第三部分的標題是相互作用的粒子。與前兩部分一樣，包含了四章。第一章是兩個帶電粒子的系統。除了庫倫散射以外，許文格還考慮了額外的短距離作用力對散射的影響。這當然是來自質子散射的實際考量。再來則是關於全同粒子的散射。比較特殊的第五節，許文格介紹了拉普拉斯-龍格-冷次向量(Laplace–Runge–Lenz (LRL) vector)。這個向量只在庫倫力場下是守恆的。當年包立就是利用拉普拉斯-龍格-冷次向量是守恆的事實，用矩陣力學推出氫原子能階的。這個向量其實根本既不是拉普拉斯，也不是龍格，更不是冷次發現的。1710年，在一個不著名的義大利學刊(Giornale de Letterati d'Italia)裡，約翰·白努利的學生，尤拉的遠親，瑞士學者雅各布·赫爾曼(Jakob Hermann, 1678－1733)最先發表了關於LRL向量的論文。當時他在帕度亞大學任教。在推導一個軌道方程式的過程中，他計算出LRL向量的大小；並且推導出此案例與橢圓軌道離心率的關係。稍後，赫爾曼把這結果告訴約翰·白努利。白努利又更進一步地推導出LRL向量的方向。所以，LRL向量是赫爾曼和白努利共同發現的。但是拉普拉斯在十八世紀末用分析的手法再次提出。二十世紀初，美國科學家吉布斯，應用他發明的向量分析，推導出同樣的向量。後來，卡爾·龍格(Carl David Tolmé Runge，1856－1927)將吉布斯的推導，納入自己所寫的一本廣受歡迎的，關於向量的德文教科書裡，成為其中的一個例題。1924年，威廉·冷次(Wilhelm Lenz，1888－1957)發表了一篇關於氫原子的舊量子論的論文。在這篇論文中，他引用龍格所寫的教科書的例題為參考。所以包立在1926年的工作也不是天外飛來一筆。因為包立在漢堡大學當過冷次的助手呢!阿文當年曾把用矩陣力學解出氫原子能階當作期末take home 的題目呢。這章最後則是以在弱電場與弱磁場下的氫原子能階當作尾聲。這些材料依阿文之見，應該移到第八章的結尾應該更適宜。

第三部分的第二章討論的是全同粒子。玻色子用先前在第一部分第二章的創生子與毀滅子就順利得到適當的表現。那麼費米子呢? 許文格在第二節介紹了喬丹-維格納變換（Jordan-Wigner transformation)，將自旋算符映射到費米子的創生和毀滅算子。利用創生子與毀滅子，許文格開始介紹場的動力學，拿來處理量子多體問題。到了下一章，一個實際的多體系統果然出現了，就是多電子原子。首先上場的是哈特里－福克（Hartree-Fock method）法，這個方法將每個電子看做是在其他所有電子構成的平均勢中運動的粒子，並且首先提出了迭代法的思路。哈特里將電子漢密爾頓算子分解為若干個單電子漢密爾頓算子的和，每個單電子漢密爾頓算子中只包含一個電子的坐標，因而多電子系統的波函數可以表示為單電子波函數的簡單乘積，這就是哈特里方程式。但是由於哈特里沒有考慮電子波函數的反對稱要求，1930年，哈特里的學生弗拉基米爾·福克和約翰·斯萊特分別提出了考慮包立原理的自洽場迭代方程式和單行列式型多電子體系波函數，這就是今天的哈特里-福克方程式。但是哈特里與福克的方法需要事先決定平均勢的形式，所以許文格緊接著介紹湯馬斯-費米模型。(Thomas-Fermi model)。Thomas和Fermi 在1920年代發展的湯馬斯-費米模型是將一個原子的動能表示成電子密度的泛函，並加上原子核-電子和電子-電子交互作用（兩種作用都可以通過電子密度來表達）的古典表達來計算原子的能量。 湯馬斯_費米模型雖然是很重要的第一步，但是由於沒有考慮哈特里-福克理論指出的原子交換能而受到限制。1928年保羅·狄拉克在該模型基礎上增加了一個交換能泛函項。 這些發展都包含在這一章。很少的量子力學會討論這項內容。許文格的學生華特·科恩（Walter Kohn，1923－2016）後來就是將湯馬斯-費米模型發展成密度泛函理論而得到諾貝爾化學獎。有趣的是許文格在UCLA的時候對湯馬斯-費米模型又重燃興趣，這大概也是他在量子力學的課堂上會花那麼多時間討論這個主題的原因吧。

身為量子電動力學的創立者，讀者們當然期待許文格總要對電磁場的量子化有一番獨到的見解吧。大師當然不會讓我們失望，最後一章就是電磁輻射。他選擇庫倫規範寫下作用量後，用量子作用量原理將躍遷振幅寫成兩部分的乘積：一是光子的部分，一是吸收放射光子的物質的部分，前者可以用創生子，毀滅子來描寫，後者還是要用非相對論性量子力學來處理。許文格不但得到了貝特當年的再重整化電子質量，連著名的蘭姆位移都寫出來了。(當然，只有寫出非相對論的部分)。最後一節則是著名的湯木生散射（Thomason scattering）公式。量子電動力學的祖師爺不是當假的呀。

寫到這裡，阿文都有點心動，想來用這本書來教量子力學了。遺憾的是，現在許多大學的研究所必修課程以經將量子力學給踢出去了。就算是過去常用的櫻井純的量子力學的教科書也開始被嫌太難而改用別的課本了。我想當今杏壇有勇氣用許文格這本大作教書的人應該不存在吧。然而阿文也相信，真正的教育不會消失，只是會轉移陣地。在這個資訊量爆炸的時代，想學物理的人想必依然散佈在各個角落，而許文格的這本書應該能夠滿足他們的需求。而讀完了這本，下一本就該是量子場論了。因為許文格的風格重視代數的層面，可以算是最容易通往量子場論的一條康莊大道。事實上，許文格的量子運動學雖然看起來艱深，但是只要適當地簡化潤飾，大可當作出學量子物理的入門。就像我們學習牛頓力學，早就將當年亞理斯多德，乃至於笛卡爾的物理學拋諸腦後，單刀直入。量子力學即將邁入第二個百年，也許我們也該準備一個徹底”量子”的教材給下一代的物理學家才是，您同意嗎？