孤高的物理學家:許文格(三) 獨向斜陽嘆白頭

上一回阿文介紹了許文格建立可重整化的量子電動力學的過程，其實這只是他學術生涯的初期，他在哈佛大學物理任教了二十五年，這段期間他發表了一百二十多篇學術論文，大部分都與量子場論有關，這些論文充滿許文格的獨特風格，行文簡潔優雅但卻不易理解，往往必須咀嚼再三才能體會其中深意，再加上許文格他行事低調，所以他的許多貢獻多遭到忽視，阿文忝為許文格的徒孫，還在各校園教了幾年的量子場論，在此不自量力，試著將這些精妙的內容介紹給諸位看官，寫得不清楚的地方，還請大家海涵，也請方家賜教，不吝指正才好。

在這些論文中，最長的系列首推 "The theory of quantized field"，一共有六篇，第一篇是在1951年發表，最後一篇則是在1954年發表。這一系列的文章可以稱得上是許文格的扛鼎之作。在1951年發表的第一篇中，許文格將他研究量子電動力學的心得加以推廣，從傳統的拉格蘭日函數出發，許文格提出了新的作用量原理來統攝量子系統的行為，重點在於這個作法不需仰賴任何的"對應原理"，換句話說，不必訴諸量子理論與古典物理的關聯，等於是開宗明義地宣稱:量子理論由此開始!其實許文格的量子作用量原則與費恩曼的路徑積分公式有異曲同工之妙，兩人的靈感都是來自狄拉克在1932年發表的一篇論文"On the Lagrangian in Quantum Mechanics"。但是費恩曼的路徑積分直接給出了從此態到彼態的機率振幅，而許文格則是由他的量子作用量原則導出機率振幅該滿足的微分方程。這一點與與古典力學的精神如出一轍，許文格很自豪他的作法是漢密爾頓思想的一脈相傳呢!三年後當第二篇發表時，自旋半整數的場與自旋整數的場，自然而然地出現並分別遵循反對易關係與對易關係! 這是第一個將包立的自旋統計定理推廣到粒子有交互作用情況下的證明。反觀在費恩曼的路徑積分公式中則必須引入所謂Grassmann 數才能將自旋為半整數的場給包含進來。事實上第二篇論文還蘊含了TCP定理的證明，所謂TCP定理是指物理定律在經過空間反轉，電荷共軛以及時間反轉後依然相同。但是這個功勞一般都被算在包立與G.Lueder 的名下，雖然他們的文章是在三年後發表的，但是許文格沒有具體地將TCP定理寫出來，也只能地徒呼負負了。隔一個月後再發表的第三篇則是提出了一組描寫波色子的新基底，後來被稱為是Coherent state (相干態)。同年發表的第四篇與第五篇則是著重在費米場以及建構散射過程的S矩陣，隔年一月發表的第六篇則是將前五篇的結果運用到量子電動力學上。除了這六篇之外，相關的著作還有"On Green's functions of quantized fields I + II". (1951)許文格在這裡利用他最擅長的變分原理推出一組無限多的方程式，場論中不同的格林函數必須滿足這些方程式。之前Freeman Dyson 也導出類似的方程式，但是他是以從費恩曼圖出發，在微擾展開的架構下得到的，但是許文格的作法不需要微擾展開，是更一般化的作法，這組方程式被稱為Dyson-Schwinger equation。有趣的是這一系列文章後來成了許文格學生心目中的"武功秘笈"，而熟悉這些秘笈的師兄們就被戲稱為"大祭司"(High priest) 頗有地下宗教的感覺吧。

但是論到許文格最優美的傑作，應該算是發表於1950年的這篇"On gauge invariance and vacuum polarization"。許文格利用所謂的proper-time formalism 漂亮地得到許多令人驚訝的結果。舉例來說，如果要算兩個光子的彈性碰撞，通常需要計算四個光子與一個封閉電子正子迴圈相耦合的費恩曼圖，這可是很麻煩的計算，然而利用許文格的方法，卻可以輕鬆地得到結果!事實上，許文格在論文第三段就得到所謂的Euler-Heisenberg Lagrangian，這是Werner Heisenberg 與Hans Heinrich Euler 在1936年研究真空中電磁場的非線性行為所得到的結果。論文第五段則是有關介子衰變成兩個光子，這部分當時沒有人注意到，二十年後大家才知道這與費米子造成的對稱破壞(Anomaly)是有關聯的，最有名的卻是最後一段，許文格計算在固定電場下單位時間單位體積下產生電子正子對的機率！這個結果被稱為許文格機制 (Schwinger Mechanism)， 而論文的附錄則是利用proper-time formalism 推出著名的電子的(g-2)值，許文格只花了一頁就推出來了!!
 

許文格之墓（圖片來源：https://www.findagrave.com/memorial/42435632/julian-seymour-schwinger/photo）
 

五零年代初期許文格的創造力源源不絕，像是Lippmann-Schwinger 方程式是他與他的學生Bernard Abram Lippmann (比許文格大四歲呢) 提出的，任何學過量子力學的散射理論的人應該都學過吧！這個積分方程式其實不過就是附上特定邊界條件的薛丁格方程式，但是實際上卻非常好用。此外，隨著測量計算的進步，許文格與他的兩個助手Robert Kaplus 還有Abraham Klein (他是許文格的學生，也是阿文的師祖!) 一起用之前在"On gauge invariance and vacuum polarization"新創的方法算Lamb位移算到下一階，得到的結果是1058.42MHz，當時的實驗值是1062±5 MHz，但是這個結果使用的第四階的電子磁耦極矩(Robert Kaplus 與 N.M.Kroll算的)是錯的，這個錯誤則是等到1957年許文格的學生Charles Sommerfield 發現的。

當1956年弱作用的宇稱不守恆被發現後，許文格寫了一篇"Spin, statistics and the TCP theorem"，重新省思自旋統計定理與TCP定理之間的關係，這一篇短文投到了 the Proceeding of the National Academy of Science，(三年後他與他的學生L. Brown 進一步寫了一篇"Spin and statitics"，還投道日本的期刊上。)值得一提的是他在這篇論文中提到了量子理論的數學架構應該可以把原子實驗的測量所形成的代數關係當作起點來建構，這一點形成了他後來企圖撰寫一本令自己滿意的量子力學教科書的出發點。這一點我們會再談到。這篇短文的另一個副產品則是將歐幾理德空間的量子場論的誕生。量子場論一般是定義在閔考夫斯基空間中，要定義在歐幾理德空間並不是做一個解析延拓就好了，量子場的分類是依照羅倫茲群的表現(表現是數學用語，指的是與群的元素相對應的矩陣)，而羅倫茲群是與閔考夫斯基空間密不可分的，許文格在1958年的這篇"On the Euclidean structure of relativistic field theory"中許文格證明了，雖然作用在四維歐幾理德空間與羅倫茲群擁有不同的"表現"，但是以物理的眼光來看的話，如果只看在物理上有意義的"表現"，則兩者可以一一對應。這個工作在當時還看不出有什麼用處，但是隨著歐幾理德空間的量子場論的各項拓樸性質被研究以及晶格量子場論的長足發展，歐幾理德空間的量子場論已經成為現代念物理的博士生都非得熟悉不可的東西了。

許文格對以局所場(local field)為基礎的量子場論有所懷疑應該是從1959年所發表的論文"Field theory commutators"開始。許文格研究了量子電動力學中的能量動量張量與局所場組成的向量流(vector current)的對易關係，發現了無法讓相對論不變性與能量必須正定(大於零)同時成立的奇怪結果!這個結果被稱為Schwinger term。這個古怪的效應當時並沒有得到太多注意，原因之一是如果使用包立等人發明的"正規化"(Pauli-Villar regularization) 程序這個項就消失了，所以一般都認為它只是個數學的畸形產物，沒有什麼物理意義，許文格在1962年寫了兩篇論文深度討論這個結果，但沒引起太多廻響。到了七零年代 科學家研究包含質量為零的費米子的量子電動力學系統時才發現，如果使用包立正規化時，照說該守恆的軸向量流(axial current)居然不守恒，後來才了解到不管用哪一種正規化的手段都無法讓向量流與軸向量流都守恆，這個微妙的量子場論的結果現在被稱為Anomaly。上過阿文的量子場論的學生們都不陌生吧！

約莫同時許文格也對規範場論中傳遞作用力的向量玻色子的質量提出令人訝異的研究結果。當時大家都認定向量玻色子(如光子)質量必定為零，理由時如果在阿格蘭日函數給向量玻色子加上一個質量項的話，馬上就破壞規範不變性，然而許文格卻證明了當耦合係數不小時，向量玻色子有可能質量不為零! 這篇論文"Gauge invariance and mass" (1962) 短短一頁半的論文卻是後世許多物理學家靈感的泉源喔。沒多久許文格在1+1維(一維空間+時間)的量子電動力學(費米子質量設為零)中不但證明了光子有質量而且還具體算出來了。這個簡單但充滿驚奇性質的系統被稱為是Schwinger model。而這篇論文"Gauge invariance and mass (II)" (1962) 則成為引用次數最高的一篇文章!許文格也針對非對易規範場論(就是楊振寧與Robert Mills 提出的 Yang-Mills theory)的量子化做了一番研究，一口氣寫了三篇文章，當時許文格嘗試將自旋為一的ρ介子當作是弱作用的向量玻色子，而ρ介子質量則是由類似Schwinger model 中的光子一般擁有質量，換句話說他相信非對易規範場在強耦合的情況下能賦予向量玻色子質量，這種效應是非微擾的效應，稱之為Dynamical mass generation，這個想法仍然在粒子物理界中相當受到重視呢。當然啦，ρ介子不是向量玻色子，想法再精妙，老天爺不賞臉也是不算數的。

精通量子場論的許文格還嘗試為場論開疆闢土，像是他在1961年發表在Journal of Mathematical Physics (數學物理期刊)的 "Brownian motion of a quantum oscillator"就提出能夠運用在非平衡系統的場論方法，稱為 Closed time Paths integral formalism (CTPI) ，現在多稱之為Schwinger-Keldysh formula。Leonid Keldysh 是蘇聯物理學家，這個方法引入了一個擁有兩個Branch 的contour，一個Branch 時間向前，一個時間向後，而兩點之間的格林函數則寫成一個二乘二的矩陣，這是因為一個點可以取在任一個Branch上，這個方法阿文是拿到博士以後在法蘭克福自己學的，當時真是讚嘆到不行呀! (其實許文格關於統計物理著墨不多，但是他與學生Paul Martin，Gordon Baym 都對統計物理頗有貢獻。)
 

接著許文格寫了兩篇嘗試量子化重力場的文章，許文格將廣義相對論中時空的測度張量當作是量子化的對象，然後將廣義相對論寫成非對易規範場論的形式，主要是利用所謂tetrads of vierbeins 這個數學工具。當然許文格沒有完成量力重力的理論，事實上到今天為止，量子重力理論還是許多理論物理學家的夢想呢。把他稱是二十一世紀的聖杯，也不為過吧。而在1965年完成的"Magnetic charge and quantum field theory"則是他最後運用傳統的局所場的算子形式的量子場論的工作，他嘗試以量子場論的方法來研究之前狄拉克以量子力學的方法所提出的"磁單極"。許文格漂亮地證明了只有遵循狄拉克提出的電荷磁單極量子化關係，相應的電磁場的對易關係才不會違反相對論!
 

圖片來源：https://www.findagrave.com/memorial/42435632/julian-seymour-schwinger/photo

五零年代中葉到七零年代可以說是粒子物理的黃金時期，許文格當然也沒有置身事外，他最重要的貢獻莫過於提出統一電磁作用力與弱作用力的絕妙想法。這首次出現在他的論文"A theory of fundamental interactions"(1957)中。在這篇論文中，許文格假設了一個包含三個分量，自旋為一的向量場，第三個分量是光子，其他兩個則是負責傳遞弱作用的向量玻色子。這樣電磁作用與弱作用就統一在一起，而相應的對稱群是SU(2)。(這是因為SU(2) 有三個generator，每個generator對應一個向量玻色場，量子化後即是向量玻色子)換言之，電磁弱作用統攝在一個規範群為SU(2)的非對易規範場論。除了這個創見之外，這篇文章還假設了一個純量場σ，許文格讓費米子與這個純量場耦合，而費米子就是透過σ場的真空期望值獲得質量。這樣子費米子就能在擁有手徵對稱的情況下得到質量，(在標準模型中費米子質量是這麼來的，只是不是靠σ場，而是靠希格子場)此外他的模型中與電子一同出現的(反)微中子與渺子一同出現的(反)微中子被當作是兩種不同的粒子。當許文格的學生Sheldon Glashow還記得他在博士口試時被楊振寧問到為何這兩種微中子不同時，還是許文格跳出來接話的呢。Glashow 自然是順利拿到學位。不過許文格無法解釋負責弱作用的那兩個向量玻色子的質量是怎麼來的，這正是他研究規範場的質量的動機。另一個棘手的問題是如何讓宇稱在弱作用不守恒，卻在電磁作用中守恆。Sheldon Glashow 後來將許文格的SU(2) 理論擴充成SU(2)xU(1)，這樣就有四個自旋為一的向量玻色子，三個負責弱作用，一個負責電磁作用，前三個分量就是正負W玻色子以及一個電中性的向量玻色子，但是為了讓宇稱能在弱作用被破壞，但是在電磁作用中守恆，Glashow 必須讓SU(2)中電中性的向量玻色子與U(1)對應的向量玻色子混合，一個便是Z玻色子，一個便是光子。Glashow在1961年提出這個理論，但是還無法說明W與 Z玻色子的質量是怎麼來的，因為 電弱理論本質上還是個規範場論，而電弱理論耦合係數小於一，Dynamical mass generation派不上用場的。1964年 Higgs 機制被提出來，三年後美國物理學家Weinberg與巴基斯坦的物理學家 Abdus Salam 將兩者結合提出Weinberg-Salam 模型，後來荷蘭物理學家Gerard 't Hooft 在1971年證明 Weinberg-Salam 模型是可重整化的理論之後 電弱統一理論才真正被物理界接受。Weinberg, Salam 與Glashow 在1979年拿到諾貝爾獎，'t Hooft則是在1999年才得獎。

許文格在哈佛的這段時間一共有六十八個博士生在他手下畢業，最著名的莫過於上面所提的Sheldon Glashow，他在1979年榮獲諾貝爾物理獎。許文格還有三名學生後來也得了諾貝爾獎，他們分別是Roy Glauber (2005年 物理獎) Benjamin Roy Mottelson (1975年 物理獎，1950年博士) 與 Walter Kohn (1998年 化學獎).。有趣的是Roy Glauber 是因為量子光學的貢獻而得獎，Benjamin Roy Mottelson 是因為原子核的研究而得獎，Walter Kohn則是因為發展密度泛函理論而得獎，領域天差地別，也是一絕。說起許文格與他的博士生相處也是饒富趣味，根據Glashow的回憶，當時哈佛一大堆學生要跟許文格，結果許文格一口氣把學生全叫進辦公室，一個人一個問題，然後跟學生說，回去做，有問題下周再來討論。許文格給的問題都非常困難，想來應該有不少人知難而退吧。而許文格與學生每次討論的時間聽說非常短，然而許文格的建議往往一針見血，切中問題的核心，有這種神人級的指導教授，是吉是凶? 應該是因人而異吧。
 

許文格在1965年與費恩曼，朝永振一郎一起獲得諾貝爾獎，大約從此時起許文格開始醉心於建構所謂的"source theory"，雖然許文格對這個理論非常自豪，無奈整個物理界的反應可以說是令人難堪地冷淡。大略地說，這個理論使用source 來取代場論中的流(current)(這些流原本是兩個定義在同一個時空點的局所場算子的乘積，許文格認定這種定義在同一個時空點的算子乘積正是場論發散的來源，而我們可以避免它們，改用source 照樣可以得到相應的格林函數，而高能量的自由度可以與低能量的物理有效地隔開。source theory能導出所有之前一般場論的結果，但是相較於一般利用費恩曼圖的作法，source theory 顯得又複雜又古怪，自然得不到眾人的青睞。許文格在六零年代末不斷使用source theory 處理各種問題，企圖說服物理界它的優越性，無奈是白忙一場。就在這樣的氣氛下，許文格在1971年應加州大學洛杉磯分校的邀請，離開了哈佛。Steve Weinberg 接收了他在哈佛的辦公室，在裡頭還發現了一雙鞋，挑釁意味濃厚呀: Can you fit in? (阿文戲翻成:你行嗎?) 他還出了三卷的"Particles, Sources and Fields" ，阿文的書架上有第二卷，書的扉頁寫著"If you cannot join 'em, beat 'em"，可以感受到祖師爺的火氣呀。

許文格到達洛杉磯當天就遇上了規模6.6的地震，似乎不是個好兆頭呀。雖然許文格持續使用source theory 來處理各種問題，對當時的粒子物理的發展也都持續在關注，但是過去的榮景不再，好漢空有一身絕妙武功，就是無法再度轟動武林。他晚年的時候對Thomas-Fermi 原子模型，Casmir 效應等產生濃厚的興趣，依然著作不輟，但是與物理主要的發展漸行漸遠，尤其在1989年冷核融合成功的消息傳出後，許文格熱情地為他們辯護，還寫了一些文章大聲疾呼冷核融合不是不可能的事，當其他實驗組無法重覆Stanley Pons 與Martin Fleischmann 的結果時，許文格還是深信冷核融合還是可能的。這件事使得他與科學界的關係更為惡化，他在洛杉磯待了二十三年，於1994年七月十六日因胰臟癌在洛杉磯過世，享壽七十六。阿文在他過世後幾個禮拜後才第一次踏上美國領土，緣悭一面，自是沒有機會拜見祖師爺了。
 

雖然許文格的文章寫得密不通風，十分嚴謹，向來以難懂著稱，常讓人不得其門而入。但是他的授課卻是非常地著名，幾乎成了傳奇。據說他可以滔滔不絕，左右開弓，在黑板寫滿了方程式，卻讓學生聽得如癡如醉。據說他歷年來上課，只有一個學生敢打斷他上課而問問題，結果呢? 許文格無視這個學生，繼續講下去!還有人回憶他上課時堂下一片寂靜，除了粉筆在黑板上的聲音以及沙沙的抄筆記聲外，偶爾只會傳來一些消化不良的學生的打嗝聲。許文格總是準時上課，時間一到，丟下粉筆，一溜煙就跳上他心愛的跑車上不見了!他的授課往往別出心裁，依著他獨特的思路，引導聽眾深入課程的核心，雖然他在生前就嘗試要將他的電動力學以及量子力學的授課筆記寫成書，但是都沒有成書，因為許文格都不滿意，一直修改，最後只好放棄。然而今天我們還是可是買到這些許文格眼中未完成的"殘稿"，因為在許多人眼中(包含阿文喔)，它們已經是寫得很完美的書了。只能說許文格這位物理學大師真的是一位性情中人，也是一位無可救藥的完美主義者呀！不由得想起這句原本詠鷺的詩句，一生清意無人識，獨向斜陽嘆白頭。各位看官，你同意嗎?

參考資料:

(一) 中文 英文 日文 德文 維基相關條目

(二) J. Mehra and K.A.Milton: Climbing the mountain

(三) Selected paper s on Quantum Electrodynamics edited by J. Schwinger

(四) H.A.Kramers, between tradition and revolution by M. Dresden

(五) QED and the men who made it by S.S. Schweber

(六) Early Quantum Electrodynamics: A Sourcebook  by Arthur I. Miller

(七) Schwinger’s Quantum Action Principle From Dirac’s formulation through Feynman’s path integrals, the Schwinge Keldysh method, quantum field theory, to source theory by K.A. Milton

延伸閱讀
孤高的物理學家:許文格 (一) 晝伏夜出的天才
孤高的物理學家:許文格 (二) 邁向巔峰