利用電子電路系統探索擾動熱力學物理

簡介擾動熱力學(Stochastic thermodynamics)

熱力學發展初期,與生活的經驗和應用息息相關，主要聚焦於如何從帶有大量熱能的環境取得動力，驅動工業發展。所有系統要取得動力，都受限於兩項定律，能量守恆、以及熱無法憑空轉成動力，分別稱為熱力學第一及第二定律。生活上經驗的系統，通常由巨量基本物質組成，在微觀上是十分巨大的系統，第二定律的本質，是封閉系統允許的微觀狀態數目 Ω，隨時間只增不減，或最多維持不變。由於系統微觀狀態數目通常非常龐大，熱力學習慣以亂度S取代 ( 也稱為熵 )，兩者相關性為 S=k_B ln Ω ，其中 k_B =1.38 10^-23 J/K  為波茲曼常數。

考慮一個巨觀系統與環境有熱交互 用, 當兩個系統達到熱平衡 (thermal equilibrium) 時,兩系統允許的微觀狀態數目已達極大值,此時觀察系統的物理變量,如溫度、壓力、體積等,會維持不變。但微觀上,系統與環境間一直有物質和能量的交換，只是巨觀上不易察覺，導致物理量似乎隨時間恆常不變，然而實際上在平均值附近仍有非常小尺度的變動。若縮小系統尺寸，其物理變量受環境影響，變動的行為會越來越明顯，因此在描述微小系統行為時，擾動的表現變得不可忽略。自然界中著名的例子是花粉的布朗運動。微米尺度的花粉顆粒，在液體中受大量液體分子隨機的熱碰撞，作無規則的鋸齒運動。有趣的是，此無序運動有極為精確的物理及統計描述。此外，一個物體運動時，因阻力造成的耗散，使物體逐漸趨於平衡不動，分子隨機碰撞也是阻力與耗散的微觀成因。漲落耗散定理 (fluctuation-dissipation theorem) 巧妙地將兩個自然界接近平衡狀態的微觀現象─擾動與耗散─成功地連結。


熱力學對平衡系統的描述,可擴展到具有動態變化 (dynamics) 的系統。準平衡過程 (quasi-equilibrium process) 描述系統受到隨時間的操控,過程中系統物理量會有變化，但操控緩慢且可逆 (reversible)。操控過程中系統持續維持平衡狀態。平衡狀態與準平衡過程具有一項共同特徵，系統混亂程度隨著時間維持不變。熱力學非常成功地描述系統在平衡狀態及準平衡過程的行為。

然而，自然界各類系統的進程，以及人類生活中發展的各項活動，通常不會小心翼翼的維持平衡的限制，也不會戰戰兢兢的操控改變過程，因此多數活動並不屬於平衡狀態與準平衡過程。當系統狀態隨時間常有顯著甚至是劇烈變化，伴隨著物質或能量在不同系統間流動，這樣的過程屬非平衡狀態 (nonequilibrium state) 的範疇。相較平衡狀態和準平衡過程，非平衡狀態更為複雜與多元,尚未有理論可完美說明非平衡狀態的行為,僅確知封閉系統的亂度隨時間持續增加,受熱力學第二定律的規範。但究竟依甚麼規律增加,是統計物理學家希望理解的問題,且並未有成熟定論。20 多年前,統計物理學家開始發展出較第二定律更嚴謹,廣泛適用於非平衡狀態,甚至是遠離平衡狀態的熱力學理論_[1]。其中最經典的例子為 Jarzynski 恆等式 (Jarzynski equality)_[2] 及 Crooks 漲落定理 (fluctuation theorem)_[3]。

在第一個例子中，Jarzynski 發現熱力學準平衡過程物理量變化，可由大量非平衡過程的統計結果得出。在第二個例子裡，Crooks 說明任何熱力學過程，系統作功量或亂度變化的機率分布，必須遵守的規律。這兩項適用於非平衡系統的理論，是第二定律更普及化的描述。特別在實驗上要驗證作功量或亂度的分布，系統尺寸要夠小，才容易明顯觀察到擾動分布，所以漲落定理的發展與擾動熱力學息息相關。非平衡系統是熱力學研究的新興領域，挑戰著頂尖的物理學家們。理解只有單個或數個自由度微觀系統的非平衡表現，相信有助於推廣至對巨觀非平衡系統的認識。



擾動熱力學更引入了資訊的概念。約一個半世紀以前,英國大物理學家馬克士威(J. Maxwell) 提出一個假想實驗：把處在平衡態、高能量與低能量均勻分布的氣體系統，經由一位精靈 (Maxwell demon) 判讀氣體分子運動速度並控制閥門，將高能量與低能量分子分開，產生亂度較低的新狀態，可用以作功。一個世紀前西拉德(L. Szilard) 提出的單分子引擎，是馬克士威精靈的變形,定量說明經由量測分子位置，引擎可藉由吸熱對外做功。這類型的假想實驗系統，彷彿可無償獲取作功能力，違反第二定律的規範，困惑物理學家近一世紀。半世紀前，在 IBM 工作的藍道爾(R. Landauer) 提出，要初始化一個二位元記憶體，必伴隨產生一定量的廢熱，此發現開啟了資訊熱力學的先河。藉著機率統計學的橋接,物理學家漸漸明白資訊與熱力學之間的關聯性 ^[4]，當資訊使用納入考量後，第二定律仍是正確無誤，並發現資訊熱力學應用在能源汲取的潛力。


要在微觀系統進行實驗研究擾動熱力學，學者大多選用機械系統，例如微米尺度膠體粒子 (colloidal particles)，搭配光鉗 (optical tweezers) 運用，可近似為綁在一條線性彈簧的單一微小粒子，在平衡點附近受液體分子隨機碰撞，進行不規則來回運動。

這樣的系統，是一個研究擾動熱力學的理想實驗平台。藍道爾的記憶體重設理論，即以此系統驗證確認^[5]。電子電路的物理行為常可類比於機械系統，例如電感電容振盪電路，可類比於彈簧質點振盪系統。只有數個自由度、擾動明顯的微觀機械系統，也有對應的電子電路類比。相較於機械系統，電子電路常具有裝置簡易、易引入系統間耦合、擴充方便等優勢。例如圖一 (b) 描述兩個分別接觸溫度不同的熱庫 (heat reservoir) 的布朗運動粒子，經由一條彈簧彼此連結的玩具模型。以過阻尼 (overdamped) 的條件去設定實驗,亦即粒子的質量微小、慣性作用不明顯的情況下,去探討僅透過兩個運動自由度的導熱行為，但此基本概念在實驗上要成功實現卻極端困難。圖一 (a) 的電路系統，則是兩個電阻電容電路分別接觸溫度不同的熱庫，經由第三個電容彼此耦合。在物理與數學描述上，圖一 (a) 電路系統，完全等同於圖一 (b) 機械系統。但實驗上，電路系統已成功達成 ^[6]，相關非平衡擾動熱力學理論也可經由實驗確認。本文即主要介紹利用電子電路系統探索非平衡擾動熱力學及資訊熱力學的進展案例。


 

電阻電容電路

我們首先來理解一個非常簡單的電路─單一電阻電容電路─處於平衡態的擾動行為。近一個世紀前，兩位美國貝爾實驗室 (Bell Laboratory) 的物理學家，強森(J. Johnson) 與尼奎斯特 (H. Nyquist)，發現任意一個導體，無論其材料組成為何，都會產生熱雜訊，強度與其平衡溫度 T 有關,此現象的基本物理與黑體輻射雷同。此熱雜訊能以電壓形式呈現,具有隨機亂數表現，在時刻 t 的強度為ξ (t) ,其統計行為滿足以下數學形式：



其中 ... 代表平均值；R 為導體電阻；δ (t ) 是狄拉克 δ 函數 (Dirac delta function)。這兩個統計形式代表其電壓雜訊強度平均值為零，強度平方均值正比於溫度及電阻，且雜訊無時間相關性。圖二 (a) 並聯一個電阻 R 與一個電容 C，形成電阻電容 (RC) 電路。參照克希荷夫電路定律，支配此系統隨時間變化的運動方程式為：
 

其中 q (t) 表示在時刻 t 電容上的蓄電量；表示流經電路的電流；與 qt (C) 分別為電阻及電容的兩端電壓。此運動方程式與單一布朗運動粒子受到線性彈簧影響，系統處於過阻尼情況的運動方程式完全對應，q 與布朗運動粒子座標位置 x 的地位相當。圖二 (b) 為取自 R=9.47MΩ、C=41.9pF、T=296K 電路，q 對 t 的運動軌跡範例，顯示在熱雜訊影響下，此系統在平衡點 q=0 附近的隨機運動行為。

根據漲落耗散定理，q 出現的機率分布 P(q) 是變異數 的高斯分布，其中
   




 

接著我們探討應用電路系統理解非平衡擾動熱力學的實驗範例。圖三 (a) 描述一個二維空間中的粒子,同時與兩個溫度各是 T₁、T₂ 的熱庫進行熱交換，在 x₁ 及 x₂ 方向的隨機作用力分別是η₁及η_2，其強度與相關性依循
其中 γ 是阻尼係數,並且粒子受位能形式為 
其中 是在 x_i 方向的阻力。值得留意的是,由於 k₁₂≠0,位能主軸方向,與 x₁ 及x₂、兩個熱庫造成隨機作用力的方向不一致，造成粒子受到來自於兩個熱庫的力矩作用，產生繞著位能最低點轉動的平均運動行為，故命名此系統為布朗旋轉器 (Brownian gyrator)。要讓兩個溫度不同熱庫，依照提案同時影響一個布朗運動粒子，實驗上非常困難，至今尚未在實驗上使用真實熱庫實現此項理論提案。

有趣的是，圖一 (a) 所描繪分別受 T₁、T₂ 兩個溫度不同熱庫影響，實驗上已可以成功實現的耦合電阻電容電路，其基本物理及數學描述，與圖三 (a) 的布朗旋轉器完全吻合。要了解此非平衡電路系統的動力行為，可根據克希荷夫電路定律，寫下其運動方程式 ^[6,8]：

 


其中 q₁ 及 q₂ 分別是累積在電位為 V₁ 及 V₂ 兩個電路節點的電荷量；q_i是流過電阻 R_i 的電流；

 


是儲存在 C₁、C₂、C 三個電容的靜電能；ξi 是電阻 R_i 受溫度 T_i 的熱庫影響，產生的電壓雜訊，其強度與相關性滿足
實驗上，我們運用記錄兩個電路節點電位 V₁, V₂,並透過 q₁, q₂ 與 V₁, V₂ 的轉換關係, 
 


圖三 (c) 是同一電路，連續紀錄 8 分鐘的運動行為統計，其中色階圖代表系統出現在各個位置的機率 P(q₁,q₂) ,箭頭向量顯示系統出現在各個位置的平均機率流方向與大小
為系統在各個位置的平均運動速度。從電路版布朗旋轉器的機率流行為可清楚觀察出由T₁2所引發的旋轉現象。系統明顯處於非平衡態，溫差越大，旋轉速度越快。當溫度相同時，旋轉現象隨之消失，系統處於平衡狀態，即使系統擾動仍十分明顯。電路系統實現了微機械系統至今無法實現的最簡單熱機提案。

 

此外，此電路系統的實驗結果，同時驗證了其他數項非平衡擾動熱力學的理論，例如在此電路僅透過兩個運動自由度平均導熱率
 
 ,非常接近理論預測值
此系統的亂度變化量分布,與代表普及化第二定律的漲落定理預期吻合 [6]。實驗上電路系統對確認非平衡擾動熱力學物理有關鍵性的貢獻。

單電子元件

電荷已知是不連續的物理量,在導體中的導電載子通常是電子,攜帶最小基本電量e = -1.60×10^-19C(0.160 aC)。在上述的電阻電容電路,在室溫附近因熱擾動造成的電荷量的擾動尺度,約為數千個電子攜帶的電荷量。電容因單一電子的充電量增減,對應儲存靜電能的變化尺度,稱為充電能量 (charge energy) E_c= e² /2C。若縮小電路尺寸,使電路中的電容值減小,E_c 則相應上升,電路中的充電量因單一電子造成的差異可以變得至關重要。當 E_c>>k_BT 、充電能量比環境熱擾動的對應能量更大時，因單一電子進出電容所需的能量代價高於熱擾動所能提供，所以電路中的充電量幾乎無法與環境有熱交換而有任何改變。這樣的狀況將使得元件中的電荷數目變得非常穩定。結果導致與系統相關的電荷量，都必須以單個電子的變化來考慮，此類型的微小電子電路統稱為單電子元件 (single-electron device)。


全世界有若干介觀物理實驗室，具有成熟技術製作單電子元件，並在元件中觀察及控制單電子轉移。單電子箱 (single-electron box, SEB) 是最基本的單電子元件，我們利用圖四、取自參考資料 ^[9] 的實驗結果，做單電子箱的基本介紹。圖四 (a) 是單電子箱的基本電路圖。藍色部分是單電子箱的主要結構，一個微小金屬塊 (metal island)，藉由一個穿隧介面 (tunnel junction) 與另一個金屬塊連結。電子可以經由穿隧介面在兩個金屬塊間進出。假若整個單電子箱呈電中性，我們定義 n 為右側金屬塊多餘電子數目 (ne為電荷量淨值 )，-n 為左側金屬塊多餘電子數目，n 代表單電子箱的電子分布組態。外部控制的閘極電壓 V_g，可經由一個電容 C_g，支配微小金屬塊的電位。儲存在單電子箱各個電容的靜電能總和 U，隨電子組態 n 及閘極電壓 V_g 的關係，經適當運算，扣除與組態 n 無關的參考值，可表示為
其中 E_c ≡ e² /2C_tot；C_tot為單電子箱所有電容總和：n_g≡ C_gV_g稱為無單位 (dimensionless)的閘極電壓。當單電子箱與溫度 T 的環境達熱平衡，每個組態出現的機率，正比於波茲曼因子 (Boltzmann factor), 當操控系統在 n_g = 0.5 附近，且 k_BT<<E_c

時，只需考慮能量最低的 n= 0,1、兩種出現機率不為零的有效的電子組態。圖四 (c) 黑色曲線描述 E(n=0) 及 E (n= 1) 對 於 n_g 的關係,兩個狀態的能量差
 
當 n_g = 0.5 時，兩個組態能量相同，出現機率各為 1/2，此操作點稱為簡併點 (degenerate point)。受限於元件製程精度，C_tot 最小能做到的尺度約為 1 fF(10^-15F) 等級，要達到單電子元件工作的條件 k_BT<<E_c ,元件必須在極低溫環境操作。

單電子電晶體 (single-electron transistor, SET) 是一種三極單電子元件，對於微小電位變化非常靈敏，已被發展成電荷偵測元件，將之置於單電子箱附近，單電子箱因單一電荷的進出，會影響單電子電晶體在固定偏壓下的電流大小。在圖四 (a) 的電路，單電子電晶體以電容形式與單電子箱耦合，用於偵測單電子箱因單一電荷進出的狀態變化，持續記錄單電子電晶體電流 I_det，即可監控單電子箱的電荷狀態。圖四 (b) 是取自E_c =111 μeV 、T =100 mK ( k_BT= 8.62 μeV) 單電子箱電路基本操作的實驗結果。紅色曲線表示 n_g 隨時間 t 的控制，藍色曲線表示 I_det 隨 t 的紀錄。若 I_det < −19 pA ,表示單電子箱處在 n = 0 組態，反之，則 n = 1。一開始 t ≈ 0s 時,設定系統在 n_g = 0.35 < 0.5，此時E(n=0) I_det 隨 t 的紀錄，單電子箱處在 n = 0，能量較低的組態。之後隨時間 t 將 n_g = 0.35 線性調整至 n_g = 0.5 ,在 ng 變化過程中, E(n＝1)  與 E(n= 0)  愈來愈接近,逐漸出現兩個電子組態間的躍遷,有一些時間單電子箱出現在 n = 1 組態,而且出現比例愈來愈高。t ≈ 8s 後,系統固定在 n_g = 0.5 ,單電子箱在 n = 0 與 n = 1 兩組態變動,出現機率各占一半。 n_g < 0.5 ,單電子箱多在 n = 0 狀態，n_g 愈小, Ｅ(n= 1) 和E(n= 0) 差距愈大，出現在 n = 0 的機率 P(n= 0) 愈高，反之亦然，如此，調整 n_g 可以控制單電子箱的電子組態。


在單電子箱的操作過程中，伴隨著系統能量變化 ΔE，以及功 W 與熱 Q 的進出。圖四 (c) 的藍色曲線，描述圖四 (b) 在 n_g 操縱過程中，系統在兩個電子組態的躍遷及系統的能量變化。根據電子組態軌跡，可計算出功與熱。閘極電壓 n_g 改變造成的系統能量變化，是因閘極電壓源對系統作功
 

發生電子組態躍遷造成的系統能量變化,是源於系統與環境的熱交換 Q = ± ∆E₀₁(n_g) 。整個過程滿足熱力學第一定律  ∆E= W+Q 。

   

芬蘭 Aalto University 的 Prof. Jukka Pekola 團隊是建構與操縱單電子元件的箇中翹楚。近年來利用單電子元件平台,操縱並觀察其熱力學行為,驗證多項非平衡擾動熱力學及統計力學理論。例如驗證 Jarzynski 恆等式與 Crooks 漲落定理 ^[10,11]及驗證 Lee-Yang zeros 單位圓定理 ^[12]。並且更進一步,進行資訊熱力學的驗證與資訊熱機的實現。圖五介紹一個經典範例,以單電子箱為主體實現西拉德熱機引擎 ^[13]。圖五 (a)由左到右,為西拉德單分子引擎的原始提案，引擎運轉一個周期中，四個主要階段的概念示意圖，單個氣體分子在一汽缸內運動與碰撞，與溫度 T 的環境達熱平衡，分子因運動可能出現在左或右側。

第一階段，氣體分子侷限在汽缸內，出現在左、右兩側的機率各占一半，此時資訊熱機精靈觀察確定分子位置。

第二階段，在汽缸中央架設活塞，將汽缸分隔為左、右兩側，並根據分子出現的位置，架設與活塞連動的重物，如圖範例，分子在左側，則重物置於左側，反之亦然。

第三階段，壓力高的汽缸恆溫膨脹，帶動活塞由壓力高向壓力低方向移動，膨脹過程中吸收環境的熱能，對重物做功。

第四階段，活塞移動到底，左右汽缸達到平衡，若膨脹為可逆過程，從環境吸收的熱能 Q，及對重物做功總量 −W,都等同於 −W＝Q＝ k_BＴ ln(Ｖ_f /V_i ) =k_BＴln 2,其中V_i = V/2 是壓力高的汽缸膨脹前體積,V_f =V 是膨脹後體積。之後移除活塞與重物，分子自由擴散，完成一個循環，回到第一階段，重複下一個循環。西拉德單分子引擎每完成一個循環，可以吸收環境的熱能對外做功，主因於第一階段精靈執行二分法的準確量測，並根據量測結果的操作設計，回饋使用資訊

 

對外作功 −W = k_BTI = k_BT ln 2,此為資訊熱機的精髓 ^[9]。但二分法量測結果必須置放於二位元記憶體中，搭配藍道爾的記憶體重設理論，二位元記憶體重設時，會釋放 k_BT ln 2 的廢熱,故熱力學第二定律依然成立。西拉德單分子引擎概念簡單，但實驗上難度極高，原始提案版本至今尚未實現。在單電子箱的簡併點 n_g = 0.5 ,量測其電子組態，出現在 n = 0 及 n = 1 的機率各占一半，與西拉德單分子引擎的分子位置二分法量測概念相近，故 Aalto University 的 Prof.Pekola 團隊提出單電子版本西拉德引擎。圖五 (b) 是單電子版本西拉德引擎,在一個循環內的四個階段，單電子箱在組態 n = 0( 電子在左側能井 ) 及 n = 1( 電子在右側能井 )對應的能量分布。

第一階段，控制單電子箱在簡併點n_g = 0.5,量測其電子組態。
第二階段，根據量測得知的電子組態,回饋控制 n_g 輸出，如圖範例量測得 n = 0，控制 n_g = 0.35 ,使系統的能量降低，此過程閘極電壓源對系統作負功，若量測得 n = 1 組態，則顛倒 n_g 的操控,設定至 n_g = 0.65 。
第三階段,控制 n_g 朝 0.5 移動，過程中有閘極電壓源對系統作功造成的系統能量變化，也有與環境的熱交換引發電子組態躍遷造成的系統能量變化，環境流入系統的熱總和Q > 0 。
第四階段,回到 n_g = 0.5、第一階段開始時的狀態，重複下一個循環。

圖五 (c) 是用來實現西拉德引擎的單電子元件的影像圖，影像中左上角是一個單電子箱，右下角是單電子電晶體，負責扮演資訊熱機精靈，監控單電子箱的電荷狀態。圖五 (d) 展示操作單電子西拉德引擎四個循環及過程中系統電子組態紀錄，其中第一、二、四個循環，根據在 n_g = 0.5時電子組態為 n = 0 的量測結果，快速回饋操控 n_g = 0.35 ,再緩慢回到 n_g = 0.5,第三個循環, n_g = 0.5 時電子組態為 n = 1, 回饋操控 n_g = 0.65 。每完成一個循環，系統回到原來狀態，∆ E= 0 ，系統對外做功總和 −W= Q >0 ,不過每次循環對外做功的量值不同。圖五 (e) 是操作數千次循環 W 的統計圖，W 出現的機率多數集中在 −k_BT ln 2附近,正是因為資訊熱機原理，少數分布在正值，源於資訊精靈量測回饋時偶爾出錯。


以單電子元件為平台的資訊熱力學元件，甚至已直接應用在極低溫環境下致冷，元件在 62mK 的環境下工作時,可再將鄰近環境降溫 0.8 Mk^[14]。此外，還有其他多樣微電子元件或電路，也被使用來研究非平衡擾動物理或資訊熱力學，例如使用二維電子氣體量子點轉熱為功 ^[15,16]，以及演示以超導電路人造原子設計為主的資訊熱機 ^[17]。


結語

在使用微觀系統研究擾動熱力學蓬勃發展之際，量子力學也悄悄地影響這個領域，畢竟封閉微觀系統的行為深受量子力學的影響。超導電路人造原子的量子同調性已被實驗確認，並大量應用在資訊處理的發展，相信在量子擾動熱力學的研究發展，超導量子電路將扮演不可或缺的角色。擾動熱力學的發展不僅是自然科學的探索，也可能與產業及生活息息相關，例如發電機或熱機，循環速率愈高，輸出功率愈大；可逆性(reversibility) 愈佳，熱功轉換效率愈高。但是循環速率與可逆性常常呈現負相關。微觀熱機的熱功轉換效率高，常常逼近可逆過程極限，如何推廣至巨觀熱機，並掌握循環速率與可逆性的相關性，對優化熱裝置的性能至關重要，希望非平衡擾動熱力學的發展，也會為未來的能源產業發展指引明路。

 

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作者  陳永富、張昕
國立中央大學物理系